Các phương pháp giải toán tiểu học

GIẢI TOÁN TẠO LẬP SỐ
Trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi ở tiểu học, dạng toán “Tạo lập số” được đề cập ngay từ lớp 1. Càng lên lớp trên thì cấu trúc của dạng toán này yêu cầu phức tạp hơn. Vậy việc dạy và học toán “Tạo lập số” như thế nào cho có hiệu quả cao. Chúng ta hãy cùng trao đổi qua các bài toán sau :
Bài toán 1 : Cho các chữ số 1, 3, 5.
a) Lập các số có 3 chữ số từ những chữ số trên.
b) Lập các số có 3 chữ số khác nhau từ những chữ số trên.
Phân tích :
a) Các số lập được thỏa mãn các điều kiện :
- Có 3 chữ số.
- Từ các chữ số đã cho.
- Mỗi chữ số có thể lặp lại trong mỗi số.
Như vậy ta có sơ đồ hình cây như sau :
b) Các số lập được thỏa mãn các yêu cầu sau :
- Có 3 chữ số.
- Từ các chữ số đã cho.
- Mỗi chữ số chỉ xuất hiện một lần ở mỗi số (khác ý a).
Ta có sơ đồ sau :
Giải : Nhìn vào sơ đồ hình cây (1) ta thấy :
a) Các số có 3 chữ số thỏa mãn yêu cầu đầu bài là : 111, 113, 115, 131, 133, 135, 151, 153, 155, 311, 313, 315, 331, 333, 335, 351, 353, 355, 511, 513, 515, 531, 533, 535, 551, 553, 555.
b) Nhìn vào sơ đồ hình cây (2) ta có ngay các số thỏa mãn đầu bài là :
135, 153, 315, 351, 513, 531.
Nhận xét : Phân tích theo sơ đồ hình cây ta nên vẽ theo thứ tự từ bé đến lớn (hoặc từ lớn đến bé). Như vậy sẽ rất thuận lợi nếu bài toán yêu cầu sắp xếp các số lập được theo một thứ tự.
Bài toán 2 :
a) Có bao nhiêu số có 3 chữ số được lập thành từ những chữ số lẻ ?
b) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau được lập thành từ những chữ số lẻ ?
Phân tích : 
- Bài toán này không cho trước các chữ số để lập số, vì vậy ta phải có bước tìm ra chữ số cần lập hoặc tìm ra số lượng chữ số.
- Bài toán không yêu cầu lập số cụ thể mà chỉ yêu cầu tìm ra số lượng số.
Lời bàn : Ta có nên lập các số đó ra rồi đếm không ?
- Nếu đề toán cho ít chữ số thì ta có thể làm theo cách đó. Nhưng có nhiều chữ số thì làm theo cách đó quả là mất thời gian thậm chí không liệt kê ra hết được. Vậy có cách nào và lập luận thế nào cho chuẩn xác ?
Nhìn vào bài toán 1 ta thấy nếu các chữ số đã cho mà khác 0 thì :
- Có bao nhiêu chữ số sẽ có bấy nhiêu cách chọn hàng cao nhất, có bấy nhiêu cách chọn hàng cao thứ nhì cho mỗi cách chọn hàng cao thứ nhất, có bấy nhiêu cách chọn hàng cao thứ ba cho mỗi cách chọn hàng cao thứ nhất, thứ nhì... (Nếu là các chữ số không nhất thiết phải khác nhau ở mỗi số).
- Có bao nhiêu chữ số thì có bấy nhiêu cách chọn hàng cao thứ nhất, số cách chọn hàng cao thứ nhì cho mỗi cách chọn hàng cao thứ nhất sẽ kém đi 1, số cách chọn hàng cao thứ ba cho mỗi cách chọn hàng cao thứ nhất, thứ nhì sẽ kém đi 2,... Nếu là các chữ số phải khác nhau ở mỗi số)
- Số lượng số chính bằng tích của các cách chọn.
Giải : Từ sự phân tích trên ta có thể đưa ra một cách giải chuẩn xác như sau :
a) Có 5 chữ số lẻ là 1, 3, 5, 7, 9. Với 5 chữ số đó ta có đúng 5 cách chọn chữ số hàng trăm. Với mỗi cách chọn chữ số hàng trăm ta có đúng 5 cách chọn chữ số hàng chục. Với mỗi cách chọn chữ số hàng trăm, hàng chục ta có đúng 5 cách chọn chữ số hàng đơn vị. Mỗi cách chọn cho ta đúng một số. Vậy có tất cả : 5 x 5 x 5 = 125 (số) thảo mãn đề bài.
b) Với 5 chữ số trên ta có đúng 5 cách chọn chữ số làm hàng trăm. Sau khi đã chọn chữ số làm hàng trăm ta còn 5 - 1 = 4 (chữ số) nên có đúng 4 cách chọn chữ số làm hàng chục. Sau khi đã chọn chữ số làm hàng trăm, hàng chục rồi ta còn 5 - 2 = 3 (chữ số) nên có đúng 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị. Mỗi cách chọn cho ta đúng 1 số.
Vậy có tất cả : 5 x 4 x 3 = 60 (số) thỏa mãn đề bài.
Đáp số : a) 125 số ; b) 60 số
Chú ý : Nếu trong các chữ số đã cho có chữ số 0 thì cần lưu ý chữ số 0 không được đứng làm hàng cao nhất.
Các em thử vận dụng linh hoạt cách giải trên để giải các bài toán tạo lập số gắn với nhiều điều kiện khác xem nhé. Thành thạo loại toán này các em sẽ giải được nhiều bài toán thực tế rất lí thú đấy.
Chúc các em thành công !
SỬ DỤNG CHẶN TRÊN, CHẶN DƯỚI TRONG GIẢI TOÁN
Có thể nói khi giải các bài toán ở tiểu học, sử dụng chặn trên, chặn dưới giúp cho việc giải nhiều bài toán trở nên sáng sủa, mạch lạc và có một tác dụng không nhỏ đối với việc rèn tư duy toán học cho học sinh tiểu học. Tuy nhiên thủ thuật trên chỉ là một bước trong dãy các bước giải một bài toán vì thế nó ít được lưu ý với học sinh. Để giúp các bạn học sinh làm quen với phép suy luận trên, chúng ta hãy cùng nhau giải một số bài toán sau :
Bài 1 : Tìm abc , biết:
abc + ab + c = 263.
Bài giải :
Cách 1 : (Sử dụng chặn trên)
Có : abc nhỏ hơn hoặc bằng 262 . Vậy a = 1 ; 2.
*a = 1 : 1bc + 1b + c = 263
100 + b x 10 + c + 10 + b + c = 263
110 + b x 11 + c x 2 = 263 (cấu tạo thập phân của số)
b x 11 + c x 2 = 263 - 110 (tìm số hạng chưa biết)
b x 11 + c x 2 = 153
Vì 153 lẻ, c x 2 chẵn nên b x 11 lẻ.
Vậy b = 1 ; 3 ; 5 ; 7.
Kiểm tra b = 1 ; 3 ; 5 ; 7 loại.
*a = 2 : 2bc + 2b + c =263
200 + b x 10 + c + 20 + b + c = 263
220 + b x 11 + c x 2 = 263 (cấu tạo thập phân của số)
b x 11 + c x 2 = 263 - 220 (tìm số hạng chưa biết)
b x 11 + c x 2 = 43
Vì 43 lẻ, c x 2 chẵn nên b x 11 lẻ.
b x 11 < 44. Vậy b = 1 ; 3.
Nếu b = 1 : 11 + c x 2 = 43
c x 2 = 43 - 11
c x 2 = 22 (loại)
Nếu b = 3 : 33 + c x 2 = 43
c x 2 = 43 - 33
c x 2 = 10
c = 10 : 2
c = 5
Vậy abc = 235.
Thử lại : 235 + 23 + 5 = 263 (đúng).
Cách 2 : (Sử dụng chặn trên và chặn dưới)
Có : abc nhỏ hơn hoặc bằng 263 Vậy a nhỏ hơn hoặc bằng 2.
Vì 199 + 19 + 9 = 227 < 263
Vậy suy ra a > 1.
Vậy a = 2 trở về trường hợp 2 cách 1.
Bài 2 : Một hình chữ nhật có chiều dài 50 m. Giữ nguyên chiều dài và tăng chiều rộng thêm 10 m, ta được hình chữ nhật mới, hình chữ nhật mới này có diện tích bằng diện tích hình vuông có cạnh lớn hơn 53 m. Biết số đo cạnh hình vuông là số tự nhiên, hãy tìm chiều rộng của hình chữ nhật đã cho ?
(Đề thi học sinh giỏi Hà Nội, 1984 - 1985)
Bài giải : Gọi ABCD là hình chữ nhật ban đầu (AB = 50 m) ; ABMN là hình chữ nhật mới.
Diện tích hình chữ nhật DCMN là : 50 x 10 = 500 (m2)
Diện tích hình chữ nhật ABCD không vượt quá : 50 x 50 = 2500 (m2)
Vậy diện tích hình chữ nhật mới không vượt quá : 2500 + 500 = 3000 (m2)
Biết số đo của cạnh hình vuông là số tự nhiên lớn hơn 53 m. Vậy cạnh hình vuông là 54 m thì diện tích hình chữ nhật mới là : 
54 x 54 = 2916 (m2) < 3000 m2
Nếu cạnh hình vuông là 55 m thì diện tích hình chữ nhật mới là : 
55 x 55 = 3025 (m2) > 3000 m2.
Vậy diện tích hình chữ nhật mới là 2916 m2.
Chiều rộng hình chữ nhật cũ là :
2916 : 50 - 10 = 48,32 (m).
Đáp số : 48,32 m.
Bài 3 : Một cơ quan tổ chức đi trồng cây. Một phần ba số nhân viên mang theo con, nhưng chỉ mang theo 1 con. Nhân viên nam trồng 13 cây, nhân viên nữ trồng 10 cây, trẻ em trồng 6 cây.
Hỏi cơ quan đó có bao nhiêu nhân viên nam ? Bao nhiêu nhân viên nữ ? Biết họ trồng được tất cả 216 cây.
(Đề thi học sinh giỏi liên tỉnh ở Hồng Công)
Bài giải :(Dùng chặn trên, chặn dưới).
Theo đề bài, một nhân viên nam trồng nhiều cây hơn một nhân viên nữ nên bằng phép thử, ta biết được :
Số nhân viên ít hơn 18 người vì nếu số nhân viên bằng 18 người thì số cây trồng ít nhất (khi nhân viên toàn nữ) là:. Gi sử số nhân viên ít nhất là 18 thì số trẻ em ít nhất là : 10 x 18 + 6 x (18 : 3) = 216 (cây) đúng bằng số cây của đầu bài.
- Số nhân viên phải nhiều hơn 14 người vì nếu số nhân viên băng 14 người thì số câu trồng được nhiều nhất (khi nhân viên toàn nam) là: 13 x 14 + 6 x (14 : 3) =210 (cây) (nhỏ hơn 216 cây)
Theo đề bài lại có: 1/3 số nhân viên có mang theo con. Vậy số nhân viên phải chia hết cho 3, do đó số nhân viên phải bằng 15.
Số con mang theo là: 15 : 3 = 5 (con)
Số cây mà nhân viên trồng là: 216 - 6 x 5 = 186 (cây)
Gi sử 15 nhân viên toàn là nam thì số cây trồng được là : 13 x 15 = 195 (cây)
Số nhân viên nữ là : (195 - 186) : (13 - 10) = 3 (nhân viên)
Số nhân viên nam là : 15 - 3 = 12 (nhân viên)
Thử lại : 12 x 13 + 3 x 10 + 5 x 6 = 216 (đúng).
Đáp số : nhân viên nữ : 3 ; nhân viên nam : 12.
Như vậy qua 3 bài toán ở những dạng khác nhau, việc sử dụng chặn trên, chặn dưới giúp chúng ta giải được bài toán và hạn chế được số trường hợp cần thử chọn.
Sau đây là một số bài toán để các em vận dụng.
1. a) Điền chữ số vào dấu (?) trong .trường hợp sau : ?? + ?? = ?97.
b) Tìm số nguyên nhỏ nhất sao cho tổng các chữ số của nó bằng 22.
2. Giả sử A là số có hai chữ số, B là tổng các chữ số của A ; C là tổng các chữ số của B. Tìm A biết A = B + C + 51.
3. Tìm a, b, c biết : abc x (a + b + c) = 1000.
4. Tìm một số tự nhiên, biết tổng của số đó và tổng các chữ số của nó bằng 1987.
TOÁN VỀ CÁC ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN,TỈ LỆ NGHỊCH
      Bài viết số 1:
         Chương trình Toán lớp 4, 5 đã giới thiệu về hai đại lượng tỉ lệ thuận, đó là hai đại lượng mà đại lượng này tăng (hoặc giảm) bao nhiêu lần thì đại lượng kia cũng tăng (hoặc giảm) bấy nhiêu lần. Những cặp đại lượng tỉ lệ thuận thường gặp là: thời gian đi và quãng đường đi được (trong chuyển động đều), số lượng một loại hàng và số tiền hàng, độ dài cạnh hình vuông và chu vi hình vuông, số người làm và sản phẩm làm được (khi năng suất mọi người như nhau), số sản phẩm và lượng nguyên vật liệu để sản xuất ra sản phẩm,....
         Nếu biết cặp giá trị tương ứng của hai đại lượng tỉ lệ thuận và một giá trị nữa của đại lượng này thì ta có thể tìm được giá trị tương ứng của đại lượng kia (bài toán tìm giá trị đó thường gọi là bài toán tam suất đơn thuận). Chúng ta có 2 cách giải các bài toán dạng này, đó là phương pháp rút về đơn vị và phương pháp tìm tỉ số.
         Ví dụ 1:
          May ba bộ quần áo như nhau hết 15 mét vải.
         Hỏi may 9 bộ quần áo như thế hết mấy mét vải ?
        Tóm tắt:         3 bộ quần áo hết 15 m vải
                              9 bộ quần áo hết ? m vải
         Lời giải :
        * Cách rút về đơn vị
         May một bộ quần áo hết:                         15 : 3 = 5 (m)
         May 9 bộ quần áo như thế hết:                 5 x 9 = 45 (m)
        * Cách dùng tỉ số
        9 bộ quần áo gấp 3 bộ quần áo số lần là:   9 : 3 = 3 (lần)
         Số mét vải may 9 bộ quần áo đó là:       15 x 3 = 45 (m)
           Những bài toán cơ bản về hai đại lượng sẽ làm cơ sở để ta giải quyết các bài toán xuất hiện ba đại lượng mà hai đại lượng bất kì đều tỉ lệ thuận.
         Ví dụ 2 : Nếu 5 người, mỗi người làm việc trong 6 giờ thì được nhận 150000 đồng. Hỏi : Nếu 15 người, mỗi người làm việc trong 3 giờ thì được nhận bao nhiêu t ... ệch nhau, chẳng hạn hai chuyển động có vận tốc khác nhau, hai công cụ lao động có năng suất khác nhau, hai loại vé có giá tiền khác nhau ...
Ta thử đặt ra một trường hợp cụ thể nào đó không xảy ra, không phù hợp với điều kiện bài toán, một khả năng không có thật , thậm chí một tình huống vô lí. Tất nhiên giả thiết này chỉ là tạm thời để chúng ta lập luận nhằm đưa bài toán về một tình huống quen thuộc đã biết cách giải hoặc lập luận để suy ra được cái phải tìm. Chính vì thế mà phương pháp giải toán này phải đòi hỏi có dức tưởng tượng phong phú, óc suy luận linh hoạt...
Những bài toán giải được bằng phương pháp giả thiết tạm có thể giải bằng phương pháp khác. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, cách giải bằng giả thiết tạm thường gọn gàng và mang tính "độc đáo".
Ví dụ : Trước hết, ta hãy xét một bài toán cổ quen thuộc sau đây:
vừa gà vừa chó
Bó lại cho tròn
Ba mươi sáu con
Một trăm chân chẵn
Hỏi mấy gà, mấy chó?
Cách 1:
(Cách giải quen thuộc)
Rõ ràng 36 con không thể là gà cả (vì khi đó có 2 x 36 = 72 chân!), cũng không thể là chó cả (vì khi đó có 4 x 36 = 144 chân!).
Bây giờ ta giả sử 36 con đều là chó cả (đây là giả thiết tạm), thì số chân sẽ là: 4 x 36 = 144 (chân).
Số chân dôi ra là: 144 - 100 = 44 (chân)
Sở dĩ như vậy là vì số chân của mỗi con chó hơn số chân của mỗi con gà là: 4 - 2 = 2 (chân).
Vậy số gà là: 44:2 = 22 (con).
Số chó là: 36 - 22 = 14 (con).
Cách 2:
Ta thử tìm một giả thiết tạm khác nữa nhé.
Giả thiết, mỗi con vật được "mọc" thêm một cái đầu nữa ! khi đó, mỗi con có hai đầu và tổng số đầu là:
2 x 36 = 72 (đầu)
Lúc này, mỗi con gà coá hai đầu và hai chân , Mỗi con chó có hai đầu bốn chân. Vởy số chân nhiều hơn số đầu là:
100 - 72 = 28 (cái)
Đối với gà thì số chân bằng số đầu, còn đối với chó có số chân nhiều hơn số đầu là:
4 - 2 = 2 (cái)
Suy ra số chó là:
28:2 = 14 (chó)
Số gà là: 36 - 14 = 22 (gà).
Cách 2:
Bây giờ ta giả thiết một tường họp thật vô lí nhé! Ta giả thiết mỗi con vật đều bị "chặt đi" một nửa số chân. Như vậy, mỗi con chó chỉ còn có hai chân và mỗi con gà chỉ con một chân. tổng số chân cũng chỉ còn một nửa, tức là:
100 : 2 = 50 (chân 0.
Bây giờ, ta lại giả thiết mỗi con chó phải "co" một chân lên để mỗi con vật chỉ có một chân, khi đó 36 con vật có 36 chân. Như vậy, số chân chó phải "co" lên là:
50 - 36 = 14 (chân). Vì mỗi con chó có một chân "co" nên suy ra có 14 con chó.
Vậy số gà là: 36 - 14 = 22 9con).
Cách 4:
Gợi ý : Giả sử mỗi con gà "mọc thêm" 2 chân, khi đó cả 36 con đều có 4 chân và tổng số chân là:
4 x 36 = 144 (chân)...
Mời các bạn tiếp tục đọc lập luận, đồng thời xét xem điều giả thiết tạm thời này dựa vào cách giải nào đã biết).
Cách 5:
Gợi ý : Giả sử mỗi con chó "bị chặt đi" 2 chân, khi đó cả 36 con đều có 2 chân và tổng số chân là:
2 x 36 = 72 (chân)...
(Mời bạn đọc tiếp tục lập luận, sau đó cũng xét xem giả thiết tạm thời này đã dựa vào cách giải quen thuộc nào nhé.)
Sau đây là một số bài vận dụng:
Bài tập 1:
Rạp Kim Đồng một buổi chiếu phim bán được 500 vé gồm hai loại 2000đ và 3000đ. Số tiền thu được là 1120000đ. Hỏi số vé bán mỗi laọi là bao nhiêu?
(Trả lời: 380 vé và 120 vé).
bài tập 2:(bài toán cổ)
Quýt ngon mỗi quả chia ba
Cam ngon mỗi quả chia ra làm mười
Mỗi người một miếng, trăm người
Có mười bẩy quả, chia rồi còn đâu!
Hỏi có mấy quả cam, mấy quả quýt?
(Trả lời: 7 quả cam, 10 quả quýt!)
Toán Suy luận logic
Logic toán ra đời từ hơn 2300 năm trước, khởi nguồn được nghiên cứu bởi nhà toán học người Hy Lạp Aristotle (384 - 322 trước Công nguyên). Trong logic toán, người ta phân tích, suy luận để chỉ ra các luận cứ đúng hay sai. Sau đây, chúng tôi sẽ giới thiệu một số bài toán dành cho học sinh tiểu học mà lời giải sử dụng suy luận logic. 
Bài toán 1. Ba bạn tên Đỏ, Xanh, Vàng mặc áo màu đỏ, xanh, vàng đến một buổi dạ hội. Bạn mặc áo màu xanh nói với bạn tên Vàng: "Cả ba chúng ta đều không mặc màu áo đúng với tên của mình". Hỏi màu áo của mỗi bạn đang mặc?
Bài làm. Vì bạn Vàng không mặc áo màu xanh và màu vàng nên mặc áo màu đỏ. Từ đó bạn Xanh không mặc áo màu xanh và màu đỏ nên mặc áo màu vàng. Bạn Đỏ mặc áo xanh.
Bài toán 2. Ba học sinh A, B, C gặp nhau sau giờ học. Cả ba bạn đều bị dính phấn màu lên mặt. Khi gặp nhau, ba bạn nhìn nhau và cùng cười. Mỗi bạn đều nghĩ rằng hai bạn cười nhau, còn mặt mình không bị dính phấn màu. Bỗng nhiên bạn A không cười nữa vì biết mặt mình cũng bị dính phấn. Hỏi bạn đã suy luận như thế nào? 
Bài làm. Nếu mặt bạn A không bị dính phấn thì khi bạn B cười, bạn C sẽ biết mặt mình bị dính phấn, điều tương tự khi bạn C cười. Nhưng vì cả hai bạn B và C đều cười nên bạn A suy luận thấy cả ba bạn mặt đều dính phấn, tức là mình cũng bị nên không cười nữa.
Bài toán 3. Ở một vương quốc nọ, nhà vua có ba cô công chúa. Chị cả luôn nói thật, cô thứ hai thì lúc thật lúc dối, cô út thì luôn nói dối. Một nhà thông thái được nhà vua hứa gả cho một cô, ông không muốn chọn cô thứ hai (vì còn phải biết đường đối phó chứ). Khi cả ba cô cùng xuất hiện, nhà vua cho ông được hỏi một câu với một trong ba công chúa. Theo bạn thì nhà thông thái phải hỏi câu nào để chọn được vợ như ý muốn? 
Bài làm. Gọi 3 cô gái là A, B, C. Ông sẽ hỏi cô A: "B có phải chị của C hay không?". Nếu cô A trả lời: "Sai" thì ông sẽ cưới B về làm vợ. Có ba trường hợp: Nếu cô A là cả thì B là cô út; nếu cô A là thứ hai thì cô B là cả hoặc út; Nếu cô A là út thì cô B là cả. Nếu cô A trả lời: "Đúng" thì ông sẽ chọn cô C. Có ba trường hợp: nếu cô A là cả thì C là cô út; nếu cô A là thứ hai thì cô C là cả hoặc út; nếu cô A là út thì cô C là cả.
Bài toán Ba vị thần sau đây nổi tiếng nhất trong những bài toán về suy luận logic.
Bài toán 4. Trong một ngôi đền cổ có ba vị thần giống hệt nhau. Thần Thật thà luôn nói thật, thần Dối trá luôn nói dối và thần Khôn ngoan lúc nói thật lúc nói dối. Có một nhà hiền triết đến thăm đền. Ông đã hỏi các vị thần và nhận được câu trả lời khi hỏi thần bên trái: - Ai ngồi cạnh ngài? - Đó là thần Thật thà. Ông hỏi thần ngồi giữa: - Ngài là ai? - Ta là thần Khôn ngoan. Sau cùng ông hỏi thần bên phải: - Ai ngồi cạnh ngài? - Đó là thần Dối trá. Nghe xong, nhà hiền triết đã xác định được các vị thần. Hỏi nhà hiền triết đã suy luận như thế nào?
Bài làm. Nếu bên trái là thần Thật thà thì ông sẽ luôn nói đúng nên không trả lời bên cạnh ông là thần Thật thà. Nếu ông ngồi giữa là thần Thật thà thì ông sẽ trả lời là: - Ta là thần Thật thà. Vì cả 2 khả năng trên đều không xảy ra nên bên phải là thần Thật thà. Vì ông này luôn nói thật nên ở giữa là thần Dối trá. Từ đó suy ra bên trái là thần Khôn ngoan.
Bài toán 5. Có 3 cái hộp kín được dán các nhãn: Trắng - Trắng, Đen - Đen và Trắng - Đen. Trong 3 hộp thì một hộp chứa 2 bóng trắng, một hộp chứa 2 bóng đen, hộp còn lại chứa 1 bóng trắng, 1 bóng đen. Biết các nhãn đều dán sai. Hỏi phải lấy ra một quả bóng từ hộp có nhãn nào để chỉ một lần lấy bóng mà không được nhìn vào trong hộp, ta có thể xác định được đúng bóng chứa trong cả 3 hộp? 
BÀI TOÁN VỀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Ở LỚP 3
Ở lớp 3 học sinh được học về phép chia có dư, cách thực hiện phép chia có dư, mối quan hệ giữa số dư và số chia. Trong quá trình luyện tập, thực hiện về phép chia có dư học sinh được làm quen với phép chia có dư. Việc giải bài toán này không có gì khác biệt so với “giải bài toán về phép chia hết”. Do đặc điểm của cách diễn đạt về phép chia nên cách trình bài giải có khác nhau.
Ví dụ 1 : Có 31 mét vải, may mỗi bộ quần áo hết 3 mét vải. Hỏi có thể may được nhiều nhất bao nhiêu bộ quần áo như thế và còn thừa mấy mét vải ?
Bài giải : Thực hiện phép chia ta có : 31 : 3 = 10 (dư1). Vậy có thể may được nhiều nhất là 10 bộ quần áo như thế và còn thừa 1 mét vải.
Đáp số : 10 bộ, thừa 1 mét vải. Trong bài giải có hai điểm khác với việc trình bày bài giải bài toán đơn là : Kết quả của phép tính không ghi tên đơn vị, câu trả lời đặt sau phép tính.
Ví dụ 2 : Một lớp học có 33 học sinh. Phòng học của lớp đó chỉ có loại bàn 2 chỗ ngồi. Hỏi cần có ít nhất bao nhiêu bàn học như thế ?
Bài giải :
Thực hiện phép chia ta có : 33 : 2 = 16 (dư 1). Số bàn có 2 học sinh ngồi là 16 bàn, còn 1 học sinh chưa có chỗ ngồi nên cần có thêm 1 bàn nữa.
Vậy cần số bàn ít nhất là :
16 + 1 = 17 (cái bàn)
Đáp số: 17 cái bàn.
Trong bài giải này ngoài phép tính chia có dư, còn có phép cộng kết quả phép chia đó với 1 (cần lưu ý học sinh : số 1 này không phải là số dư).
Ví dụ 3 : Đoàn khách du lịch có 50 người, muốn thuê xe loại 4 chỗ ngồi. Hỏi cần thuê ít nhất bao nhiêu xe để chở hết số khách đó ?
Bài giải :
Thực hiện phép chia ta có : 50 : 4 = 12 (dư 2). Có 12 xe mỗi xe chở 4 người khách, còn 2 người khách chưa có chỗ nên cần có thêm 1 xe nữa.
Vậy số xe cần ít nhất là :
12 + 1 = 13 (xe).
Đáp số : 13 xe ô tô.
Ví dụ 4 : Cần có ít nhất bao nhiêu thuyền để chở hết 78 người của đoàn văn công qua sông, biết rằng mỗi thuyền chỉ ngồi được nhiều nhất là 6 người, kể cả người lái thuyền ?
Bài giải :
Mỗi thuyền chỉ chở được số khách nhiều nhất là :
6 - 1 = 5 (người)
Thực hiện phép chia ta có : 78 : 5 = 15 (dư 3). Có 15 thuyền, mỗi thuyền chở 5 người khách, còn 3 người khách chưa có chỗ ngồi nên cần có thêm 1 thuyền nữa.
Vậy số thuyền cần có ít nhất là :
15 + 1 = 16 (thuyền).
Đáp số : 16 thuyền.
Trong 4 ví dụ trên câu hỏi của bài toán về phép chia có dư đều có thuật ngữ “nhiều nhất” hoặc “ít nhất”. Tuy nhiên cũng có bài toán về phép chia có dư mà không cần có các thuật ngữ đó.
Ví dụ 5 : Năm nhuận có 366 ngày. Hỏi năm đó gồm bao nhiêu tuần lễ và mấy ngày ?
Bài giải :
Một tuần lễ có 7 ngày.
Thực hiện phép chia ta có : 366 : 7 = 52 (dư 2). Vậy năm nhuận gồm 52 tuần lễ và 2 ngày.
Đáp số : 52 tuần lễ và 2 ngày.
Ví dụ 6 : Hôm nay là chủ nhật. Hỏi 100 ngày sau sẽ là thứ mấy của tuần lễ ?
Bài giải :
Một tuần lễ có 7 ngày.
Thực hiện phép chia ta có : 100 : 7 = 14 (dư 2). Sau đúng 14 tuần lại đến ngày chủ nhật và hai ngày sau là ngày thứ ba. Vậy 100 ngày sau là ngày thứ ba trong tuần lễ.
Đáp số : ngày thứ ba.
Xin giới thiệu cùng bạn đọc tham khảo một bài toán hay trong Kì thi Olympic Đông Nam á năm 2003 (Toán Tuổi thơ số 40) :
Bài toán : Một xe buýt cỡ vừa có thể chở 30 hành khách, một xe buýt cỡ nhỏ có thể chở 8 hành khách, một xe buýt cỡ lớn có thể chở 52 hành khách. Hỏi cần bao nhiêu xe buýt cỡ lớn để chở được tất cả hành khách của 8 xe buýt cỡ vừa đầy hành khách và 13 xe buýt cỡ nhỏ đầy hành khách ?