Phát triển năng lực học sinh giỏi tiểu học qua một số bài toán hình học

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH GIỎI TIỂU HỌC 
QUA MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC 
------------------------ 
 I. Chứng minh một số ñịnh lí hình học bằng kiến thức toán tiểu học. 
 1. Chứng minh ñịnh lí ñường trung bình của hình thang: 
 Bài toán1: Cho hình thang ABCD (AB//CD); M,N lần lượt là ñiểm giữa các cạnh bên AD và 
BC. Chứng minh: 
 a) 
 2
CDAB
MN
+
=
 b) MN // AB và CD (trong toán tiểu học chưa sử dụng kí hiệu //) 
 Hướng chứng minh: 
 a) 
2
CDAB
MN
+
= 
 Nối các ñiểm như hình vẽ: BI và CH là các 
ñường vuông góc kẻ từ B và C xuống MN. 
 S(BMN) = S(CMN) (chung ñường cao hạ từ MN xống BC; ñáy NB = ñáy NC). 
 Suy ra BI = CH = 1/2 h ( S(BMN) = S(CMN), 2 tam giác chung ñáy MN- h là ñường cao hình 
thang ABCD). 
 Khi nối AN và DN, chứng minh tương tự ta ñược các ñường vuông góc hạ từ A và D xuống 
MN bằng nhau và cũng bằng 1/2 h.(I) 
 )MCD()MAB()BMC()ABCD(
SSSS ++=
 
 
2
2/hxCD
2
2/hxAB
2
hxMN
2
hx)CDAB(
++=
+
 (II) 
 (II) = (AB+CD) x h = MN x h + AB/2 x h + CD/2 x h 
 = h x ( MN + 
2
CDAB+
) ( một số nhân với một tổng) 
 AB+CD = MN + 
2
CDAB+
 ( chia cả 2 vế cho h) 
 MN = (AB+CD) - 
2
CDAB+
 ( tìm số hạng chưa biết trong một tổng) 
 MN = 
2
CDAB+
 b) MN//AB (và CD) 
 Khi nối AN và DN (theo I), ta có S(ANM) = S(DMN) (hai tam giác chung ñường cao hạ từ 
N xuống AD, ñáy AM = ñáy DM. 
 Hai tam giác AMN và DMN có diện tích bằng nhau, chung ñáy MN nên có các ñường 
cao hạ từ A và D xuống MN bằng nhau và bằng 1/2 h) (III) 
 Từ (III) và (a) ta có AE = BI và cùng vuông góc với AB và MN. 
 Vậy MN // AB và CD. 
 2. Chứng minh tích chất ba ñường trung tuyến của tam giác. 
 Bài toán 2: Cho tam giác ABC. M,N là ñiểm giữa các cạnh AC và BC. Nối AN,BM cắt nhau 
tại O. 
A B 
N H 
C D 
M 
E I 
a) Chứng minh ON = 1/2 OA; OM = 1/2 OB. 
b) Nối CO kéo dài cắt AB tại E, chứng minh AE = BE; OE = 1/2 OC. 
Hướng chứng minh: 
 a) ON = 1/2 OA; OM = 1/2 OB 
 S(ANC) = S(BMC) ( ñều bằng 1/2S(ABC) - dễ 
dàng chứng minh). 
 S(ANC) và S(BMC) có S(MONC) chung, nên 
 S(AOM) = S(BON). 
 Từ ñây dễ dàng chứng minh: 
 S(AOM) = S(MOC) = S(CON) = S(NOB) 
 Suy ra S(CON) = 1/2 S(AON); 2 tam giác cùng ñường cao hạ từ C xuống AN nên ñáy ON = 1/2 
ñáy OA. 
 Chứng minh tương tự với 2 tam giác COB và COM ta ñược OM = 1/2 OB. 
 b) EA = EB; OE = 1/2 OC. 
 Theo chứng minh trên, S(AOC) = S(BOC); 2 tam giác có chung ñáy OC nên ñường cao hạ từ A 
và B xuống EC bằng nhau. 
 Do ñó S(AEO) = S(BEO) ( chung ñáy EO, ñường cao bằng nhau). Hai tam giác có diện tích 
bằng nhau, chung ñường cao hạ từ O xuống AB nên 2 ñáy bằng nhau: EA = EB. 
 * Chứng minh tương tự câu a ta có OE = 1/2 OC. 
 3. Chứng minh ñịnh lý Talet 
 Bài toán 3: Cho tam giác ABC, trên AB lấy các ñiểm M,N sao cho AM = 1/2 AB; AN = 3/4 
AB. Từ M,N kẻ các ñường song song với BC lần lượt cắt AC tại P và Q. 
 Chứng minh: AP = 1/2 AC; AQ = 3/4 AC. 
 Hướng chứng minh: 
 a) AP = 1/2 AC 
 Nối BP, MC. 
 S(AMP) = S(BMP) ( MA = MB, chung ñường 
cao hạ từ P xuống AB). (*) 
 S(BMP) = S(CMP) (chung ñáy MP, ñường cao 
hạ từ B và C xuống MP bằng nhau do MP 
song song với BC). (**) 
 Từ (*) và (**) ta có S(PMC) = S(PMA) 
 2 tam giác PMC và PMA có diện tích bằng nhau, chung ñường cao hạ từ M xuống AC nên 
có ñáy bằng nhau: AP = PC 
 AP = 1/2 AC. 
 b) AQ = 3/4 AC 
 Nối BQ, NC, tương tự theo ý a) ta dễ dàng chứng minh ñược AQ = 3/4 AC. 
 Lưu ý: ðối với học sinh tiểu học, khi ñưa ra các bài toán trên và hướng dãn học sinh giải, 
GV cần chú ý: 
 + Không nói ñây là các bài toán chứng minh ñịnh lý hình học, vì học sinh tiểu học chưa 
hiểu thế nào là ñịnh lý, mặt khác, học sinh không ñược sử dụng kết quả ñã chứng minh ñể áp 
dụng trực tiếp vào các bài toán có vận dụng kiến thức liên quan. GV cần nêu tình huống kích 
A 
M
C 
N B 
O 
E 
A 
P 
C B 
N 
M 
Q 
thích học sinh: giải ñược mỗi bài toán trên các em hoàn thành một nội dung toán học mà cấp 
học trên có thể các em phải học 1-2 tiết. 
 + Chưa cần thết phải tường minh nội dung các ñịnh lý trong các bài toán vì dễ tạo rối cho 
học sinh, như bài toán 3 không nên ñưa yêu cầu bài toán: Chứng minh: 
AC
AQ
AB
AN
;
AC
AP
AB
AM
== 
 II. Một số bài toán vận dụng phương pháp chứng minh từ các bài toán phần I: Các bài 
toán sau ñây vừa vận dụng phương pháp chứng minh các ñịnh lí trên ñây vừa hình thành cho 
học sinh năng lực biết “ xoay trở” các hình ñể tìm ra yếu tố liên quan (ñường cao, ñáy, diện 
tích) làm ñiều kiện giải quyết yêu cầu bài toán. 
 Bài toán 4: (Tạp chí GD tháng 5/2008-trang 19) 
 Cho tam giác ABC. M là trung ñiểm canh AC; O là trung ñiểm của BM; AO cắt BC tại N. 
 Chứng minh BN = 1/3 BC. 
 Hướng chứng minh: (Trong TCGD 5/2008, tác giả chứng minh qua chứng minh 3 ñiểm 
thẳng hàng), ta có thể chứng minh như sau: 
 Theo bài ra ta dễ dàng chứng minh ñược các 
tam giác BOA; AOM; MOC; COB có diện 
tích bằng nhau. 
 Từ ñó chứng tỏ rằng S(BOA) = 1/2 S(AOC); 
 Hai tam giác chung ñáy OA nên ñường cao 
hạ từ B xuống AN bằng 1/2 ñường cao hạ từ 
C xuống BN. 
 S(BON) = 1/2 S(CON) ( chung ñáy ON, tỷ lệ ñường cao là 1/2). 
 Hai tam giác BON và CON có tỷ lệ diện tích là 1/2, chung ñường cao hạ từ O xuống BC nên 
tỷ lệ 2 ñáy là 1/2: BN = 1/2 NC, hay BN = 1/3 BC. 
 Bài toán 5: Cho tam giác ABC. Trên AC lấy E sao cho AE = 1/2 EC, trên BC lấy D sao cho 
CD = 1/2 BD. BE cắt AD tại O. 
 So sánh OB với OE. 
 ( ðề thi lí thuyết GVDG Quảng Trạch, QB năm học 2002-2003). 
 Hướng giải: 
 S(ABE) = 1/2 S(EBC) ( chung ñường cao hạ từ 
B xuống AC, AE = 1/2 EC) 
 AM = 1/2 CN. 
  S(ABO) = 1/2 S(BOC) ( chung ñáy OB, tỷ lệ 
ñường cao là 1/2). 
 S(ABE) = S(ADC) (cùng bằng 1/3 S(ABC)), 2 
hình có S(AOE) chung nên S(EODC) = S(AOB) = 
1/2 S(BOC). 
 S(DOC) = 1/3 S(DOC) (chung ñường cao hạ từ O xuống BC, CD = 1/3 BC). 
 S(EOC) = S(EODC) - S(ODC) = 1/2 S(BOC) - 1/3 S(BOC) = 1/6 S(BOC). 
 2 tam giác BOC và COE có chung ñường cao là CN, tỷ lệ diện tích là 1/6  tỷ lệ ñáy là 1/6. 
 OE = 1/6 OB. 
 Hoàng Thanh Cương 
 Trường TH Quảng Lộc, Quảng Trạch, Quảng Bình. 
 Email: thanhcuong19@ymail.com 
A 
M 
C 
N B 
O 
A 
E 
C 
D B 
O 
N 
M