Sáng kiến kinh nghiệm Suy luận và chứng minh trong dạy học toán Tiểu học

MỤC LỤC
	Trang
	Lời nói đầu	1
	Mở đầu	2
	Nội dung
	Chương 1 Suy luận và chứng minh	4
	1.1 Quy tắc suy luận	4
	1.2 Suy luận 	6
	1.2.1 Suy luận diễn dịch	6
	1.2.2 Suy luận nghe có lý	7
	1.3 Chứng minh	8	
	Chöông 2 Suy luận và chứng minh trong dạy học toán tiểu học	10
	2.1 Suy luận và chứng minh trong dạy học mạch số học	10
	2.1.1 Suy luận quy nạp	10
	2.1.2 Suy diễn	12
2.1.3 Tương tự ------------------------------------------------------------------.12
	2.2 Suy luận và chứng minh trong dạy học mạch yếu tố hình học	-13
	Kết luận 	17
	Tài liệu tham khảo 	18
LỜI NÓI ĐẦU
Để nâng cao năng lực chuyên môn nghiệp vụ, đáp ứng được những đổi mới về nội dung - phương pháp dạy học, kiểm tra kết quả giáo dục theo chương trình và sách giáo khoa tiểu học mới, trong những năm gần đây Bộ giáo dục và Đào tạo đã tạo điều kiện để giáo viên cập nhật kiến thức và phương pháp dạy học bằng nhiều hình thức, trong đó chú trọng công tác nghiên cứu khoa học cho giáo viên.
 Nhờ vào sự nổ lực học tập của bản thân và sự học hỏi, trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp trong những năm giảng dạy chương trình lớp 4, 5, đã giúp tôi thấy được các dạng “Suy luận và chứng minh” rất cần thiết cho việc dạy – học toán tiểu học.
“Suy luận và chứng minh trong dạy học toán tiểu học”. Theo tôi, việc hiểu được và phân tích được các dạng suy luận và chứng minh trong việc dạy học hình thành kiến thức mới hay giải một bài toán nói chung, toán tiểu học nói riêng là hết sức cần thiết cho một người giáo viên. Chúng ta có hiểu được cơ sở lý luận, bản chất của vấn đề thì mới có thể dạy đúng, hơn nữa còn có thể tìm cách sử dụng các phương pháp dạy hay hơn, giúp các em học sinh hình thành kĩ năng suy luận, phân tích vấn đề, tiếp cận vấn đề và giải quyết vấn đề chính xác, nhanh gọn hơn, nhưng vẫn phải bảo đảm việc dạy học đó là phù hợp với nhận thức theo các đặc điểm tâm sinh lí của học sinh tiểu học.
Đề tài gồm 19 trang, được cấu tạo thành hai chương. Chương 1 tóm tắt một số kiến thức cơ sở về Suy luận và Chứng minh trong logic mệnh đề; chương 2 nói về Suy luận và Chứng minh đã được vận dụng trong việc dạy học toán trong chương trình tiểu học hiện hành, với những minh họa cụ thể và được phân tích các bước suy luận cẩn thận, chi tiết. Dù chưa được đầy đủ nhưng cũng đủ đại diện, tiêu biểu cho cả chương trình toán tiểu học
Do hạn chế nhất định cho nên bài viết nên không tránh những sai sót, rất mong nhận được những ý kiến đóng góp chân thành của thầy cô và bạn, để bản thân nhận thức vấn đề được sâu sắc, phục vụ cho việc dạy học tốt hơn.
Xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo đã có những đóng góp quý báu, gíúp cho tôi hoàn chỉnh nội dung này.
Daklak, ngày 9 tháng 7 năm 2010
	 Người thực hiện
 Dương Đức Dũng
MỞ ĐẦU
Lí do chọn đề tài
Toán học là bộ môn có tính trừu tượng và khái quát cao, không dễ gì lĩnh hội tức thì được. Với lứa tuổi của học sinh tiểu học từ (6 – 11 tuổi). Tư duy của các em còn mang tính cụ thể nên việc giúp các em nhận thức được kiến thức tóan học mang tính nền móng, làm tiền đề cho việc phát triển năng lực học toán sau này, dể giúp các em biết phân tích, suy luận và giải quyết các tình huống dù đơn giản xảy ra trong học tập và trong cuộc sống.
Muốn các em có được phương pháp học và cách trình bày bài toán cần gì? trước hết người dạy phải có hiểu biết nhất định về suy luận và chứng minh, am hiểu về việc vận dụng chúng trong chương trình toán tiểu học, để từ đó tìm cách thích hợp mà truyền đạt cho học sinh mình dạy, có như thế các em mới có phương hướng tiếp thu vấn đề được tốt nhất.
Nội dung toán học rất rộng, cách giải toán cũng phong phú, chúng ta cần có phương pháp giúp các em suy luận, phân tích và vận dụng chúng vào việc học cũng như giải quyết các vấn đề đơn giản trong cuộc sống. 
Mong muốn của bản thân góp thêm hành trang cho các em vào đời và đặt thêm viên gạch lót nền cũng như mang lại niềm vui cho các em trong việc học toán, vì thế tôi đã chọn toán học làm đề tài nghiên cứu với nhan đề: “Suy luận và chứng minh trong dạy học toán tiểu học”.
2. Lịch sử vấn đề
Phương pháp luận về Suy luận và chứng minh đã có từ rất lâu, và được áp dụng vào mọi ngành, mọi nơi trong cuộc sống, trong đó có toán học. Suy luận và chứng minh trong dạy học toán tiểu học cũng được nhiều người nghiên cứu, đăng tải rải rác trong một số tạp chí chuyên ngành Giáo dục tiểu học, song cũng chưa được hệ thống và cũng không ít giáo viên tiểu học chưa được nghe, đọc đến vấn đề đó. Vì thế tôi muốn tìm hiểu, nghiên cứu thêm và hệ thống lại, nhằm giúp cho bản thân và đồng nghiệp có một tài liệu để vận dụng được phần nào vào công tác giáo dục của mình. 
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đề tài này nghiên cứu về các dạng suy luận và chứng minh tiềm ẩn trong chương trình toán tiểu học. Chương trình nghiên cứu là nội dung toán học trong chương trình tiểu học hiện hành (CTTH 2010).
4. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
4.1 Mục đích 
Nghiên cứu đề tài này nhằm bổ sung, tăng cường sự hiểu biết của tác giả về các daïng suy luận và chứng minh được vận dụng vào việc dạy học toán ở tiểu học.
Hy vọng sản phẩm này sẽ là tư liệu tham khảo cho các bạn là giáo viên tiểu học, và cho cho những ai quan tâm đến việc học toán của con em mình.
4.2 Nhiệm vụ
Đề tài sẽ thể hiện các nội dung: 
	- Tóm tắt một số khái niệm cơ bản về suy luận và chứng minh.
	- Việc thể hiện của suy luận và chứng minh, vận dụng chúng trong dạy học toán theo chương trình tiểu học.
5. Phương pháp nghiên cứu
Một số phương pháp đã được sử dụng để hoàn thành đề tài:
	- Thu thập, phân loại các tài liệu liên quan đến dề tài.
	- Hệ thống các nội dung kiến thức, các dạng suy luận và chứng minh.
	- Phân tích các bước suy luận và chứng minh trong các bài dạy hình thành kiến thức mới, giải toán tiểu học.
	- Tìm hiểu thực tiễn dạy học ở trường tiểu học qua các thầy cô giáo có kinh nghiệm.
NỘI DUNG
CHƯƠNG 1
 Suy luận và chứng minh
Quy tắc suy luận
Định nghĩa
Cho A, B, C là những công thức. Nếu tất cả các hệ chân lý của các biến mệnh đề có mặt trong các công thức đó làm cho A, B nhận giá trị chân lý bằng 1 cũng làm cho C nhận giá trị chân lý bằng 1 thì ta nói có một quy tắc suy luận từ các tiên đề A, B dẫn tới hệ quả lôgic C của chúng.
Ta ký hiệu là hoặc A, B C
Từ định nghĩa ta dễ dàng thấy rằng để chứng minh là một quy tắc suy luận ta chỉ cần lập bảng giá trị chân lý đối với các công thức A, B, C. Trong đó chỉ ra rằng mỗi khi A, B nhận giá trị chân lý bằng 1 thì C cũng nhận giá trị chân lý bằng 1.
Dưới đây ta trình bày những quy tắc thường dùng:
	(1) 	(Quy tắc suy luận Modus ponens)
(2) 	 	(Quy tắc kết luận ngược Modus Lollens)
(3) 	 (Quy tắc suy luận bắc cầu)
(4) 	 
(5) 
(6) 
(7) 
	(8) 
	(9) 
	(10) 
	(11) 
	(12) 
	(13) 	(Quy tắc phản đảo)
	(14) , 	 
	(15) 
	Các quy tắc chứng minh phản chứng:
(16) 	 
(17) 
(18) 
(19) 
(20) 	
Ví dụ 1.1
Chứng minh rằng ta có quy tắc suy luận 
sau đó nêu ví dụ minh hoạ về vận dụng quy tắc đó trong suy luận toán học.
Ta có bảng chân lý
p
q
r
p q
q r
p r
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
Nhìn vào bảng trên ta thấy mỗi khi p q và q r nhận giá trị chân lý bằng 1 thì p r cũng nhận giá trị chân lý bằng 1
Vậy ta có quy tắc suy luận 	(quy tắc suy luận bắc cầu)
Nếu ta chọn
- “p q” là mệnh đề “Nếu a chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3”
- “q r” là mệnh đề “Nếu a chia hết cho 3 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho 3”
áp dụng quy tắc suy luận bắc cầu ta có: “Nếu a chia hết cho 6 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho 3”
Ví dụ 2.2
Chứng minh rằng ta có quy tắc suy luận sau:
Nêu ứng dụng của nó trong suy luận toán học.
Ta có bảng giá trị chân lý sau:
p
q
p q
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
Từ bảng trên ta suy ra quy tắc suy luận
Ta đã biết “nếu a chia hết cho 3 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho 3”
Số 146 có tổng các chữ số không chia hết cho 3 nên số 146 không chia hết cho 3.
Suy luận:
Suy luận là rút ra một mệnh đề mới từ một hay nhiều mệnh đề đã biết. Những mệnh đề đã có gọi là tiền đề, một mệnh đề mới được rút ra gọi là kết luận của suy luận.
Hai kiểu suy luận thường gặp là: suy luận diễn dịch (hay còn gọi là suy diễn) và suy luận nghe có lý (hay suy luận có lý).
1.2.1 Suy luận diễn kịch
Suy luận diễn dịch (hay còn gọi là suy diễn) là suy luận theo những quy tắc suy luật tổng quát (của lôgíc mệnh đề). Trong suy luận diễn dịch, nếu các tiền đề đúng thì kết luận rút ra cũng phải đúng.
Trong lôgíc vị từ, ngoài những quy tắc suy luận của lôgíc mệnh đề ta thường gặp và vận dụng hai quy tắc suy luận dưới đây:
1) (1)
Có nghĩa là nếu P(x) đúng với mọi x X và a X thì P(a) là mệnh đề đúng
	2) (2)
Có nghĩa là: Nếu P(x) Q(x) đúng với mọi x Î X và P(a) đúng thì Q(a) cũng là mệnh đề đúng.
Ví dụ 1.3
- Mọi số tự nhiên có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì nó chia hết cho 9.
- Số 432135 có tổng các chữ số chia hết cho 9.
Vậy 432135 chia hết cho 9.
Ví dụ 1.4
Nếu tứ giác là hình thoi thì hai đường chéo của nó vuông góc với nhau.
- Tứ giác ABCD là hình thoi.
Vậy AC ^ BD.
Trong hai ví dụ nêu trên, các tiền đề đều đúng, ta đã vận dụng các quy tắc suy luận (1), (2) vừa nêu trên. Vì vậy các kết luận của chúng phải đúng.
Ví dụ 1.5
- 672 chia hết cho 3.
- 672 chia hết cho 4
Vậy 672 chia hết cho 3 và 4.
Trong ví dụ này, các tiền đề đều đúng, ta đã vận dụng quy tắc suy luận: 
Ví dụ 1.6 Từ các tiền đề
- Nếu a chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3.
- Nếu a chia hết cho 3 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho 3.
Ta rút ra kế luận: "Nếu a chia hết cho 6 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho 3".
ở đây các tiền đề đều là những định lý đã được chứng minh trong toán học. Ta đã vận dụng quy tắc suy luận bắc cầu:
1.2.2 Suy luận nghe có lý
Suy luận nghe có lý (hay còn gọi là suy luận có lý) là suy luận không theo một quy tắc suy luận tổng quát nào. Nó chỉ xuất phát từ những tiền đề đúng để rút ra một kết luận. Kết luận này có thể đúng mà cũng có thể sai.
Mặc dầu suy luận nghe có lý có hạn chế nêu trên nhưng nó có ý nghĩa rất quan trọng trong khoa học và đời sống: giúp chúng ta từ những quan sát cụ thể có thể rút ra những giả thuyết, phán đoán để rồi sau đó tìm cách chứng minh chặt chẽ giả thuyết đó. Nó đặt cơ sở cho nhiều phát minh trong khoa học.
Trong toán học, hai kiểu suy lu ...  số học. Chẳng hạn:
Ví dụ 2.6 Viết tiếp hai số hạng của dãy số sau:
	1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8.......................
Ta nhận xét 
	- Số hạng thứ ba là 3 = 1 + 2
	- Số hạng thứ tư là 5 = 2 + 3
	- Số hạng thứ năm là 8 = 3 + 5
Vậy quy luật của dãy số đã cho là: Kể từ số hạng thứ ba, mỗi số hạng bằng tổng của hai số hạng đứng liền trước nó.
áp dụng quy luật trên ta có:
- Số hạng thứ sáu là: 5 + 8 = 13
- Số hạng thứ bảy là: 8 + 13 = 21
Vậy dãy số cần tìm là: 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21
ở đây ta đã dùng quy nạp không hoàn toàn để tìm ra quy luật của dãy số (với tiền đề là các nhận xét phân tích ở trên).
Ví dụ 2.7 Thay a bởi chữ số thích hợp để nhận được số tự nhiên n = chia hết cho 3.
Vì n chia hết cho 3 nên 2 + 7 + a = 9 + a chia hết cho 3. Bằng phương pháp thử chọn ta tìm được a = 0; 3; 6; 9
Vậy các số cần tìm là 270; 273; 276 và 279
Trong ví dụ này ta đã dùng phép quy nạp hoàn toàn để tìm các giá trị thích hợp của a
2.1.2 Suy diễn
Phép suy diễn được sử dụng trong các tiết luyện tập: vận dụng một quy tắc đã được thiết lập để giải bài tập.
Cấu trúc của các phép suy luận ở đây thường là:
Tiền đề 1: Là quy tắc hoặc tính chất, .... đã được thiết lập
Tiền đề 2: Một tình huống cụ thể phù hợp với quy tắc trên
Kết luận: Vận dụng quy tắc trên để xử lý tình huống của bài toán
Ví dụ 2.8
Tính giá trị biểu thức bằng cách thuận tiện nhất
	 47 x 234 + 234 x 53
	= 234 x 47 + 234 x 53
	= 234 x (47 + 53)
	= 234 x 100 = 23400
ở đây ta đã hai lần áp dụng phép suy diễn:
	- Vận dụng tính chất giao hoán của phép nhân
	- Vận dụng quy tắc nhân một số với một tổng
Ví dụ 2.9 	Tìm x
x: 25 + 12 = 60
 x: 25 = 60 - 12
 x: 25 = 48
 x = 48 x 25
	 x = 1200
ở đây ta đã hai lần áp dụng phép suy diễn:
	- Vận dụng quy tắc tìm một số hạng trong phép cộng
	- Vận dụng quy tắc tìm số bị chia
Ví dụ 1.10	Khoanh tròn vào chữ đặt trước số chia hết cho 5
13450
13408
7945
7954
ở đây ta vận dụng phép suy diễn, trong đó tiền đề 1 là dấu hiệu chia hết cho 5 và tiền đề 2 là mỗi số trong đề bài.
2.1.3 Phép tương tự
Phép tương tự được sử dụng thường xuyên trong dạy học mạch số học. Chẳng hạn:
- Từ quy tắc cộng các số có hai chữ số, dùng phép tương tự ta xây dựng quy tắc cộng các số có ba, bốn và nhiều chữ số.
Cũng tương tự đối với các phép tính
- Từ quy tắc so sánh các số có bốn chữ số, dùng phép tương tự ta xây dựng quy tắc so sánh các số có nhiều chữ số
- Từ quy tắc tìm số hạng trong phép cộng, dùng phép tương tự ta xây dựng quy tắc tìm thừa số trong phép nhân
2.2 Suy luận và chứng minh trong dạy học mạch yếu tố hình học
Cũng tương tự mạch số học, trong dạy học các yếu tố hình học cũng như giải toán có nội dung hình học ta thường vận dụng các phép suy luận quy nạp (hoàn toàn và không hoàn toàn), suy diễn và phép tương tự. Dưới đây là một số ví dụ minh hoạ cho sự vận dụng đó.
Ví dụ 2.11
Khi dạy xây dựng công thức tính chu vi hình chữ nhật, thông qua bài toán “Tính chu vi hình chữ nhật ABCD có chiều dài 4dm và chiều rộng 3dm”. Bằng cách quan sát trên hình vẽ và một số phép biến đổi, học sinh tính được chu vi hình chữ nhật là 
 (4 + 3) x 2 = 14 (dm)
Từ đó rút ra quy tắc: “Muốn tính chu vi hình chữ nhật, ta lấy chiều dài cộng với chiều rộng rồi nhân 2” 
	 P = (a + b) x 2
ở đây ta sử dụng phép quy nạp không hoàn toàn
Tiền đề 1: Hình chữ nhật có chiều dài bằng 4dm và chiều rộng 3dm thì có chu vi bằng (4 + 3) x 2 (= 14 dm) 
Kết luận: Hình chữ nhật có chiều dài a và chiều rộng b có chu vi là 
 (a + b) x 2
Ví dụ 2.12
Khi dạy xây dựng công thức tính diện tích hình chữ nhật, thông qua bài toán “Tính diện tích hình chữ nhật ABCD có chiều dài 4 cm và chiều rộng 3cm”.
Bằng cách quan sát và phân tích trên hình vẽ, học sinh tính được diện tích của hình chữ nhật bằng 12cm2. Từ nhận xét 12 = 4 x 3
Từ đó rút ra quy tắc: “Muốn tính diện tích hình chữ nhật, ta lấy chiều dài nhân với chiều rộng (với cùng một đơn vị đo)
 	S = a x b
ở đây ta sử dụng phép quy nạp không hoàn toàn:
Tiền đề 1: Hình chữ nhật có chiều dài 4 cm và chiều rộng 3cm thì có diện tích bằng:	4 x 3 (= 12 cm2)
Kết luận: Hình chữ nhật có chiều dài a và chiều rộng b thì có diện tích là 
 a x b
Ví dụ 2.13
Cho 9 điểm phân biệt. Khi nối tất cả các điểm với nhau ta được bao nhiêu đoạn thẳng?
Giải: Ta có thể giải bài toán này theo cách sau
- Khi có 2 điểm thì ta được 1 đoạn thẳng. Ta biểu diễn
 1 = 0 + 1
- Khi có 3 điểm thì ta được 3 đoạn thẳng.
 3 = 0 + 1 + 2
- Khi có 4 điểm thì ta được 6 đoạn thẳng.
 6 = 0 + 1 + 2 + 3
- .
	Từ đó ta kết luận
- Khi có n điểm thì ta được số đoạn thẳng là T
 T = 0 + 1 + 2 + 3 + . + (n – 1) 
 T = n(n –1) : 2
	áp dụng quy luật trên, với 9 điểm thì khi nối lại ta được số đoạn thẳng là:
9(9 – 1) : 2 = 36 (đoạn thẳng)
Nhận xét: 
Trong bài giải này ta đã hai lần dùng phép quy nạp không hoàn toàn, với các kết luận rút ra đều đúng
	- Lần 1: Khi có n điểm thì số đoạn thẳng là 0 + 1 + 2 + 3 + . + (n – 1) 
- Lần 2: Công thức tính tổng: 1 + 2 + 3 + . + (n – 1) = n(n –1) : 2
Và sau đó ta đã vận dụng phép suy diễn, trong đó tiền đề 1 là “Khi nối n điểm
phân biệt với nhau thì số đoạn thẳng là n(n –1) : 2”, tiền đề 2 là một trường hợp cụ thể với n = 9 để kết luận số đoạn thẳng có được là:
 9(9 – 1) : 2 = 36 (đoạn thẳng)
Chúng ta có thể giải bài toán ở Ví dụ 2.13 này và phân tích các bước suy luận và chứng minh trong cách giải đó nếu sử dụng cách giải bài toán ở Ví dụ 2.14 sau đây	
Ví dụ 2.14
Cho n điểm trong mặt phẳng (n ³ 2). Hỏi khi nối n điểm đó với nhau ta sẽ được bao nhiêu đoạn thẳng?
Ta chứng minh số đoạn thẳng đếm được khi nối n điểm đó với nhau là:
S = 
Với n = 2 nối hai điểm cho trước ta được một đoạn thẳng. Ta có:
1 = 
Vậy công thức trên đúng với n = 2.
Giả sử công thức trên đúng với n = k. Tức là khi nối k điểm cho trước trong mặt phẳng ta được 
 đoạn thẳng.
Giả sử trong mặt phẳng cho trước k + 1 điểm, khi nối k điểm đầu với nhau (theo giả thiết ở phần trên) ta được:
 đoạn thẳng. Bây giờ ta nối điểm thứ k + 1 với k điểm còn lại ta được thêm k đoạn thẳng nữa. Vậy số đoạn thẳng đếm được khi nối k + 1 điểm đó với nhau là:
 (đoạn)
Vậy công thức trên đúng với n = k + 1.
Từ đó suy ra: Nếu cho trước n điểm phân biệt trong mặt phẳng thì nối chúng với nhau ta sẽ được đoạn thẳng.
Từ kết quả trong Ví dụ 2.15, áp dụng với n =9, ta có đáp số của bài toán ở Ví dụ 2.14 là 
 9(9 – 1) : 2 = 36 (đoạn thẳng)
Theo cách giải này, ta đã hai lần vận dụng phép suy diễn, nghĩa là cả bài giải là một chứng minh. 
Ví dụ 2.15
Cho tam giác ABC có diện tích 100cm2. Trên AB lấy điểm M sao cho AM = MB, trên BC lấy điểm N sao cho BN = NC và trên AC lấy điểm P sao cho AP = PC. Nối M với N, N với P và P với M. Tính diện tích tam giác MNP.
Giải: Nối A với N (hình 2.1). Ta có:
	SABN = SANC (chung đường cao hạ từ A và
cạnh đáy BN = NC).
	Suy ra SABN = 100 : 2 = 50 (cm2).
	SNAM = SNMB (chung đường cao hạ từ N và
cạnh đáy AM = MB).
	Suy ra SNMB = 50 : 2 = 25 (cm2).
	Tương tự ta có: SPNC = SAMP = 25 (cm2).
	Vậy SMNP = SABC - (SNMB + SPNC + SAMP)
 = 100 - (25 + 25 + 25) = 25 (cm2). 
Trong bài giải này ta đã hai lần dùng phép suy diễn với cùng tiền đề 1 là “Hai tam giác có cùng số đo cạnh đáy và có cùng số đo đường cao thì có diện tích bằng nhau”, các tiền đề 2 tương ứng là “ABN và ANC có chung đường cao hạ từ A và cạnh đáy BN = NC”, “NAM và NMB có chung đường cao hạ từ N và cạnh đáy AM = MB”; từ đó có các kết luận tương ứng là “ABN = ANC”, “NAM = NMB”. Và cũng dùng phép tương tự, “tương tự” ở đây là với phương pháp làm giống như trên ta cũng suy ra được SPNC = SAMP = 25 (cm2).
Ví dụ 2.16
Cho một mảnh bìa hình tam giác. Hãy cắt nó thành hai tam giác có diện tích bằng nhau.
Giải: Trên cạnh BC ta lấy điểm I sao cho BI = IC (hình 2.2)
Nối AI, ta có SACI = SABI (vì hai tam giác ACI và ABI có chung đường cao hạ từ A và các cạnh đáy CI = BI)
cắt theo chiều mới thì ta được theo yêu cầu của bài mới.
Trong cách giải này ta cũng dùng phép suy diển như trong bài toán trên (ví dụ 2.15). 
Hiện nay bằng phép suy luận, xét với các cạnh còn lại của ABC ta còn có hai cách giải sau đây(minh hoạ cách hình 2.3 và hình 2.4)
A
B
C
J
A
B
C
K
H-2.3
H-2.4
KẾT LUẬN
Nội dung nghiên cứu đã hoàn thành cơ bản, theo mục đích và nhiệm vụ đề ra trong luận văn này, đó là thành quả của một quá trình lao động cật lực của bản thân và cũng có phần hổ trợ quan trọng quí báu của nhiều thầy cô.
Chương 1 của của bài viết đã thể hiện tóm tắt các khái niệm về suy luận và chứng minh, đủ để làm cơ sở cho việc nghiên cứu các ứng dụng của nó trong dạy học toán chương trình tiểu học đã đề cập đến trong chương 2.
Trọng tâm của luận văn nằm ở chương 2: Các dạng suy luận, các mảng nội dung kiến thức có vận dụng suy luận và chứng minh. Trong chương trình này tác giả đã phân tích được các bước suy luận, các chứng minh trong từng dạng bài: Hình thành kiến thức mới, giải toán, cũng có hệ thống kiến thức trong từng mảng nội dung kiến thức: số học, có nội dung hình học.
Đặc biệt, một trong những điều tác giả làm được và cũng tâm đắc nhất trong bài nghiên cứu này là tìm hiểu minh họa vấn đề suy luận và chứng minh tiềm ẩn trong dạy học toán tiểu học qua các ví dụ cụ thể, tiêu biểu trong chương trình toán tiểu học hiện hành. Nó giúp cho người dạy cũng như người học hiểu rõ hơn về từng dạng suy luận, các chứng minh được vận dụng có chủ ý của các tác giả sách giáo khoa toán tiểu học.
Những gì làm được chỉ có vậy và cũng chưa hẳn là tối ưu, chưa đáp ứng được hết những gì thầy hướng dẫn yêu cầu; còn những điều mà tác giả chưa làm được cũng không ít, chẳng hạn phân tích các bước suy luận trong dạy học nội dung có yếu tố thống kê,  Những gì chưa làm được là do hạn chế về năng lực của bản thân và cũng chưa hội đủ một số điều kiện khác.
Để kết thúc bài viết này, một lần nữa cho tôi kính lời cảm ơn đến quý thầy cô đã hướng dẫn, góp phần cho tôi ngày càng tiến bộ hơn trong học tập và cuộc sống.
Và cũng không thể không nói lời cảm ơn đến bè bạn đã có những đóng góp để tôi có được kết quả này.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Đỗ Đình Hoan (chủ biên) 
 Sách Giáo khoa Toán 1, 2, 3, 4, 5; NXBGD.
[2] Trần Diên Hiển - Tô Văn Dung
 Toán và PPDH toán ở tiểu học, NXBGD, 2006
[2] Trần Diên Hiển 
 Các bài toán về suy luận lôgic, NXB ĐHSP, 2002
[3] Trần Diên Hiển 
 Thực hành giải toán Tiểu học - Tập 2, NXB ĐHSP, 2004
[4] Phan Hữu Chân - Nguyễn Tiến Tài
 Số học và Lôgic toán, NXBGD.