Tính tuổi và cách giải bài toán tìm hai số khi biết hai tỉ số

 Tính tuổi và cách giải bài toán tìm hai số khi biết hai tỉ số
 Trong chương trình toán tiểu học, các bài toán có liên quan đến tỉ số chiếm khá nhiều. Song các bài toán “Tìm hai số khi biết hai tỉ số’’ lại chưa dạy ở chương trình sách giáo khoa nên học sinh còn lúng túng khi gặp phải các bài toán dạng này ở các kì thi học sinh giỏi.
 Để học sinh có cơ sở và quen dần với cách giải các bài toán “Tìm hai số khi biết hai tỉ số’’, tôi xin phép nêu ra một vài bài toán và các bước giải. Mong được các bạn đồng nghiệp tham khảo và góp ý bổ sung, nhằm góp phần giúp học sinh giải các bài toán tính tuổi thường gặp trong thực tế dễ dàng hơn.
 Bài 1: Hiện nay tuổi mẹ gấp 4 lần tuổi con. Trước đây 6 năm tuổi con bằng lần tuổi mẹ lúc đó. Tính tuổi hiện nay của mỗi người.
 Bài 2: Tuổi con hiện nay bằng hiệu số của tuổi bố và tuổi con. Bốn năm trước, tuổi con bằng hiệu số của tuổi bố và tuổi con. Hỏi khi con bằng hiệu số của tuổi bố và tuổi con thì tuổi của mỗi người là bao nhiêu?
 Bài 3: Hiện nay tỉ số giữa tuổi em và tuổi anh là . Sau 14 năm nữa thì tỉ số giữa tuổi em và tuổi anh là . Tính tuổi của mỗi người hiện nay.
 * Để giải các bài toán dạng này, ta có thể vận dụng và phối hợp các phương pháp thường dùng sau:
 - Phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng kết hợp với sự thay đổi các phần được biểu thị hoặc vẽ thành các nhóm biểu thị từng điều kiện của bài toán hoặc vẽ từng giai đoạn của tình huống theo bài toán.
 - Phương pháp khử, phương pháp thay thế.
 - Phương pháp giả thiết tạm.
 - Có thể đưa về dạng “Tìm hai số biết tổng, hiệu và tỉ số của hai số đó’’ đã được học.
 Với bài toán 1, tôi đưa ra các bước giải như sau:
Cách 1: Vì 13 - 1 = 12 nên trước đây 6 năm tuổi mẹ nhiều hơn12 lần tuổi con lúc đó.
 Vì 4 -1 = 3 nên hiên nay tuổi mẹ nhiêu hơn 3 lần tuổi con lúc này. Vì hiệu số tuổi mẹ và tuổi con là một số không đổi , nên 12 lần tuổi con trước đây bằng 3 lần tuổi con hiện nay. Vì 12 : 3 = 4 (lần) nên tuổi con hiện nay gấp 4 lần tuổi con trước đây 6 năm. Ta có thể vẽ sơ đồ minh hoạ như sau:
 6 năm
 Tuổi con hiện nay
 Tuổi con 6 năm trước
 Tuổi con hiện nay là: 6 : (4 - 1) x 4 = 8(tuổi)
 Tuổi mẹ hiện nay là: 8 x 4 = 32(tuổi)
Cách 2: Vẽ sơ đồ tuổi mẹ và tuổi con hiện nay như sau:
 6 6 6 6 
Tuổi mẹ 
 6 
Tuổi con
 Giả sử tuổi mẹ trước đây 6 năm cũng vẫn gấp 4 lần tuổi con lúc đó. Như vậy trước đây 6 năm tuổi mẹ phải bớt đi là 6 x 4 = 24 (tuổi). Nhưng 6 năm trước đây tuổi mẹ chỉ bớt 6 tuổi nên hiệu hai số đó là: 24 - 6 = 18 (tuổi).
Vì 13 - 4 = 9 nên 9 lần tuổi con trước đây 6 năm biểu thị cho 18 tuổi.
Do đó tuổi con trước đây 6 năm là: 18 : 9 = 2 (tuổi)
Vậy hiện nay tuổi con là: 2 + 6 = 8 (tuổi)
Hiện nay tuổi mẹ là: 8 x 4 = 32 (tuổi)
Cách 3: Tương tự cách 2.
 Giả sử tuổi mẹ hiện nay cũng gấp 13 lần tuổi con hiện nay như vậy từ 6 năm trước đây cho đến bây giờ tuổi mẹ phải tăng thêm là: 6 x 13 = 78 (tuổi)
 Nhưng 6 năm qua, tuổi mẹ chỉ tăng thêm 6 tuổi nên hiệu hai số đó là:
 78 - 6 = 72 (tuổi)
 Vì 13 - 4 = 9 (tuổi) nên 9 lần tuổi con hiện nay biểu thị cho 72 tuổi. Do đó tuổi con hiện nay là: 72 : 9 = 8 (tuổi) 
 Tuổi mẹ hiện nay là: 8 x4 = 32 (tuổi) 
Cách 4: Vì nên trước đây 6 năm, tuổi con kém tuổi mẹ lúc đó.
 Vì nên hiện nay tuổi con kém tuổi mẹ lúc này.
 Vì tuổi con kém tuổi mẹ (hiệu số) là số không đổi nên tuổi mẹ trước đây đúng bằng tuổi mẹ hiện nay.
 Biểu thị tuổi mẹ trước đậy là 13 phần bằng nhau thì tuổi mẹ hiện nay là 16 phần như thế.
 Tuổi mẹ hiện nay là: 6 : (16 - 13) x 16 = 32 (tuổi)
 Tuổi con hiện nay là: 32 : 4 = 8 (tuổi) 
Cách 5: Trước đây 6 năm tuổi con bằng (hiệu số tuổi của mẹ và con)
 Hiện nay tuổi con bằng (hiệu số tuổi của mẹ và con) 
 Vì hiệu số tuổi của mẹ và con là không đổi và cách đây 6 năm
 nên (hiệu số tuổi của mẹ và con)
 Do đó hiệu số tuổi của mẹ và con là: (tuổi)
 Tuổi con hiện nay là: 24 x = 8 (tuổi)
 Tuổi mẹ hiện nay là: 8 x 4 = 32 (tuổi)
 Đối với bài toán 2 giải các cách sau:
Cách 1: Hiệu số tuổi của bố và con không đổi. Trước đây 4 năm tuổi con bằng hiệu này, do đó 4 năm chính là: (hiệu số tuổi bố và con)
 Số tuổi của bố hơn tuổi con là: = 24 (tuổi)
 Khi tuổi con bằng hiệu số tuổi của bố và con thì tuổi con là: 6 (tuổi)
 Lúc đó tuổi bố là: 6 + 24 =30 (tuổi)
Cách 2: Giả sử hiệu số tuổi của bố và con là 12 phần thì trước đây 4 năm tuổi con gồm: = 4 (phần)
 Hiện nay tuổi bố gồm (phần)
 Số phần tăng thêm là 6 - 4 = 2 (phần)
 Có số phần tăng thêm là do con tăng 4 tuổi. 
 Vậy bố hơn con số tuổi là (4 : 2) x 12 = 24 (tuổi) 
Khi con bằng hiệu số tuổi của bố và con thì tuổi con là: 24 x = 6 (tuổi)
 Lúc đó tuổi bố là: 6 + 24 = 30 (tuổi)
Đối với bài toán 3 ngoài các cách giải của bài 1, ta có thể giải như sau:
 Ta có sơ đồ tuổi hiện nay:
 Tuổi em 
 Tuổi anh	
 Vậy tuổi em hiện nay bằng (hiệu số của tuổi anh và tuổi em)
 Sau 4 năm nữa ta có sơ đồ: 
 Tuổi em 
 Tuổi anh 
 Vậy: Tuổi em sau này bằng 4 (hiệu số của tuổi anh và tuổi em)
 Vì hiệu số tuổi của anh và em luôn không thay đổi nên so với tuổi em hiện nay thì tuổi em sau này gấp (lần)
Vậy đối với tuổi em ta có sơ đồ
 Tuổi em hiện nay 
 Tuổi em sau này 
 14 năm
 Suy ra tuổi em hiện nay là: 14 : (8 - 1) = 2 (tuổi)
 Tuổi anh hiện nay là: 2 x 6 = 12 (tuổi)
Cách 2, cách 3 mời các bạn giải tiếp và thực hành với bài toán sau:
 Trước đây 5 năm thì tỉ số tuổi mẹ và tuổi con là 6. Sau đây 5 năm thì tỉ số tuổi mẹ và tuổi con là . Tính tuổi mẹ, tuổi con hiện nay.
 (Mẹ 35 tuổi; con 10 tuổi)
 * Trên đây, chỉ là một số cách giải mà tôi đã thực hiện hướng dẫn học sinh qua một số năm học gần đây. Tôi thấy thực sự có hiệu quả vì mỗi học sinh có thể chọn cho mình cách giải dễ hiểu nhất đối với bản thân các em khi làm bài toán “Tính tuổi có liên quan đến hai tỉ số ”. Tôi thiết nghĩ có nhiều cách giải khác hay hơn của các bạn. Rất mong được các bạn đồng nghiệp góp ý bổ sung để chúng ta cùng nhau nâng cao chất lượng dạy học. c