Toán học - Phần chuyên đề về phân số

Phòng giáo dục và đào tạo hưng hà
Trường tiểu học điệp nông
!
ă
Tác giả: trần xuân kháng
 Đơn vị: Trường Tiểu học Điệp Nông
Dạng 1: Các bài toán về cấu tạo phân số :
A. Các kiến thức cần ghi nhớ :
1. Thương của phép chia số tự nhiên cho số tự nhiên (khác 0) có thể viết thành phân số, tử số là số bị chia, MS là số chia a : b = ( với b ạ 0 )
- Mẫu số b chỉ số phần = nhau lấy ra từ 1 đơn vị, tử số a chỉ số phần lấy đi.
2. Mỗi số tự nhiên có thể viết thành phân số mẫu số là 1 : a = 
3. Phân số nào có tử số nhỏ hơn mẫu số thì nhỏ hơn 1; phân số nào có tử số lớn hơn mẫu số thì lớn hơn 1,àphan số nào có tử số bằng mẫu số thì bằng 1.
4. Nếu nhân cả tử số và mẫu số của 1 phân số với một số tự nhiên khác 0 thì được phân số bằng phân số đã cho : ạ 0 )
5. Nếu chia cả tử số và mẫu số của phân số đã cho với 1 số tự nhiên ạ 0 ( gọi là rút gọn phân số ) thì được phân số bằng phân số đã cho.
 ( m ạ 0 )
6. Nếu cộng cả tử số và mẫu số của phân số với cùng 1 số (hoặc trừ cả tử số và mẫu số ) cùng một số thì hiệu giữa mẫu số và tử số không thay đổi.(với phân số < 1 )
B. Các ví dụ :
Ví dụ 1 : Rút gọn các phân số sau :
 a. = 
 b. = 
Ví dụ 2 : Cho phân số , cộng thêm vào tử số và mẫu số của phân số đó với 1 số tự nhiên ta được phân số bằng . Tìm số đó
Giải : Hiệu của mẫu số và tử số của phân số là :
 7 - 3 = 4 ( đơn vị )
?
 Khi cộng vào tử số và mẫu số với cùng 1 số thì hiệu của mẫu số và tử số vẫn không thay đổi. Nếu coi tử số của phân số mới là 7 phần thì mẫu số của nó là 9 phần.
 Tử số
Ta có sơ đồ : 
 4
 Mẫu số
?
 Số phần bằng nhau của mẫu số hơn số phần bằng nhau của tử số là :
 9 - 7 = 2 ( phần )
Tử số của phân số mới là : 4 : 2 x 7 = 14
Số cộng thêm vào là : 14 -3 =11
 Đáp số : 11
Ví dụ 3 : Cho phân số .Tìm phân số bằng phân số đã cho biết rằng mẫu số của phân số đó lớn hơn tử số của nó là 1995 đơn vị. 
 Giải 
 Nếu ta coi mẫu số của phân số phải tìm là 14 phần thì tử số của phân số đó là 11 phần như thế.
Hiệu số phần bằng nhau là : 14 - 11 = 3 (phần)
Tử số của phân số phải tìm là : 1995 : 3 x 11 = 7315
Mẫu số là : 1995 + 7315 = 9310
Vậy phân số phải tìm là : 
C. Các bài tập luyện tập
Bài 1: Rút gọn các phân số sau :
 a. b. c. 
Bài 2 : Tìm phân số biết tổng của tử số và mẫu số bằng 40 và rút gọn phân số đó thì được . 
 	Gợi ý
- Coi tử số của phân số phải tìm là 3 phần thì mẫu số là 5 phần
- áp dụng toán tìm 2 số khi biết tổng và tỷ số của 2 số đó để tìm tử số và mẫu số của phân số mới. Đáp số : 
Bài 3 : Cho phân số . Trừ cả tử số và mẫu số của phân số đó cho cùng 1 số tự nhiên ta được phân số bằng . Tìm số đó.
Gợi ý : - Khi trừ cả tử số và mẫu số của phân số đi cùng 1 số thì hiệu của mẫu số và tử số không thay đổi.
- Tìm hiệu của mẫu số và tử số của phân số 
- Coi tử số của phân số mới là 3 phần thì mẫu số là 5 phần .
 áp dụng bài toán tìm 2 số khi biết hiệu và tỷ số của 2 số để tìm tử số (hoặc mẫu số). Lấy tử số cũ trừ đi tử số mới ta được số phải tìm
 Đáp số : 28
Bài 4 : Cho phân số . Cộng vào tử số 1 số nào đó và mẫu số trừ đi số đó ta được phân số bằng . Tìm số đó ?
 Đáp số : 1
Bài 5 : Hãy tìm một số nào đó sao cho khi tử số và mẫu số của phân số cùng trừ đi số đó thì được phân số mới bằng .
 Đáp số : 19
Bài 6 : Tìm một số sao cho cả tử số và mẫu số của phân số cùng trừ đi số đó thì được phân số mới bằng .
 Đáp số : 28
Bài 7 : Tìm 1 phân số bằng sao cho mẫu số của nó lớn hơn tử số 114 đơn vị .
 (Giải tương tự ví dụ 3) Đáp số : 
Bài 8 : Tìm 1 phân số bằng sao cho tổng của tử số và mẫu số của phân số ấy bằng 1000.
 	(HD tương tự bài 2) 
 Đáp số : 
Bài 9 : Tìm 1 phân số bằng ; biết rằng khi ta cộng thêm vào tử số và mẫu số của phân số đó với cùng 1 số tự nhiên ta được phân số.
HD : Nhận xét là phân số chưa tối giản ta phải rút gọn 
 áp dụng giải như ví dụ 2 
 Đáp số : 1
Bài 10 : Tìm phân số bằng phân số , biết rằng khi ta trừ cả tử và mẫu của phân số đó đi cùng 1 số tự nhiên ta được phân số bằng .
Gợi ý : Xét hiệu của mẫu số và tử số của phân số bằng 4
Xét hiệu số phần bằng nhau giữa mẫu số và tử số của phân số mới là : 37 - 21 = 16. Ta thấy hiệu của mẫu số và tử số của phân số nhỏ hơn hiệu số phần số lần là :
 	16 : 4 = 4 ( lần )
 Vậy phân số phải tìm là : 
Số trừ đi là : 60 - 21 =39 hoặc 76 - 37 = 39
Dạng 2 : Các bài toán về so sánh phân số 
A. Kiến thức cần ghi nhớ :
1. Muốn quy đồng mẫu số của 2 phân số, ta nhân cả tử số và mẫu số của phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ 2. Nhân cả mẫu số và tử số của phân số thứ hai với mẫu số của phân số thứ nhất.
2. Quy đồng tử số: Nhân cả mấu số và tử số của phân số thứ nhất với tử số của phân số thứ hai. Nhân cả mẫu số và tử số của phân số thứ hai với tử số của phân số thứ nhất.
3. Khi so sánh 2 phân số :
- Có cùng mẫu số : Ta so sánh 2 tử số, phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn.
- Không cùng mẫu số : Trước hết ta qui đồng mẫu số rồi so sánh như trường hợp trên.
4. Các phương pháp sử dụng so sánh phân số 
- Vận dụng quy tắc so sánh ở phần 3.
- Nếu 2 phân số có cùng tử số phân số nào có mẫu số nhỏ hơn thì lớn hơn.
- So sánh qua 1 phân số trung gian.
 	< và < thì <
- So sánh hai phần bù với 1 của mỗi phân số
 	 1- 
- So sánh " phần hơn " với 1 của 1 phân số
 	 < thì <
B. Các ví dụ
VD1 : So sánh 2 phân số và 
Giải :Cách 1: Quy đồng mẫu 2 phân số
 ; ; < . Vậy : < 
Cách 2: Quy đồng tử số 2 phân số:
 = ; = ; < Vậy : < 
Cách 3: Tìm và so sánh phần bù tới 1của hai phân số;
 1 - = ; 1 - = mà > nên < 
VD 2 :Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự từ nhỏ đén lớn: ; ; 
Cách 1: Quy đồng mẫu số: = ; = ; = 
 < < nên < < .
Cách 2: Quy đồng tử số: = ; = ; = 
 	 Mà < < nên < < . 
Cách 3: 1- = ; 1- = ; 1- = 
Mà < < nên < < 
Cách 4: Lấy phân số làm phân số trung tâm :
Ta có: nên < < 
Ví dụ 3: Hãy tìm 5 phân số khác nhau nằm giữa hai phân số :
	a. và 	b. và 
 Giải : a. Ta có : = , = 
Vậy = < < < < < < = 
 b. Ta có : = = ; = = 
 Vậy :
 = < < < < < < = 
C. Các bài luyện tập:
Bài 1. Hãy so sánh các phân số sau bằng nhiều cách:
 a. và b. và 
 Bài 2. Hãy so sánh các phân số sau bằng cách nhanh nhất:
 a. và ; b. và ; c. và 
Bài 3. Xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần:
 a. ; ; ; ; ; ; ; ; .
 b. ; ; ; ; . c. ; ; ; .
Bài 4. Xếp các phân số sau theo thứ tự giảm dần:
 	a. ; ; . 	b. ; . .
Bài 5. Hãy chứng tỏ các phân số sau đều bằng nhau:
a. ; ; ; 
b. ; ; ; c. ; ; .
Bài 6. Hãy viết 10 phân số khác nhau nằm giữa hai phân số:
 a. và b. và 
Bài 7. Hãy tìm 5 phân số có tử số chia hết cho 5 và nằm giữa hai phân số : 
 a. và b. và 
Dạng 3: Thực hành các phép tính trên phân số.
A. Kiến thức cần ghi nhớ :
1. Phép cộng : Muốn cộng hai phân số có cùng mẫu số, ta cộng hai tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số.
 + = 
Muốn cộng hai phân số khác mẫu số, ta quy đồng mẫu số rồi cộng hai phân số đó .
 + = 
2. Phép trừ (tương tự như phép cộng)
3. Phép nhân: Muốn nhân hai phân số, ta nhân tử số với tử số, mẫu số nhân với mẫu số 
 x = 
4. phép chia: Muốn chia một phân số cho một phân số, ta lấy phân số thứ nhất nhân với phân số thứ hai đảo ngược .
 : = x = 
5. Các tính chất của phép tính trên phân số .
a. Tính chất giao hoán 
 + = + ; x = x 
b.Tính chất kết hợp:
 + = + ; 
c. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:
 x = x + x 
B. Các ví dụ:
Vd 1.Tính giá trị của các biểu thức sau đây bằng cách nhanh nhất:
a. + + + + + ; b. x x x x 
HD : áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng , phép nhân phân số .
 Giải.
a. + + + + + = + + 
 = + + = 1 + 2 + 2= 5
b. x x x x = x 
=
Vd 2: Tính nhanh.
 a/ 	b/ 
 Giải:
a/ = 
b/ = 
Vd 3:	Tính nhanh hiệu sau: 
 Giải
 =
Vd 4: Điền dấu ( ) vào ô trống:
 ; ; 
	 ; 
 Giải
====
====
====
====
 ; ; 
====
====
====
 ; 
Vd 5: Tính nhanh:
HD giải. Phân tích: ; 
	 Vậy: 
= 
= 
Vd 6: Tính nhanh tổng sau:
HD: Dựa vào ví dụ 3 để phân tích và giải
	Ta thấy: ; ; 
Từ các kết quả trên suy ra
C. Các bài luyện tập.
Bài 1: Tính nhanh
a/ b/
c/ 
Bài 2. Tính nhanh.
a/ b/ c/ 
Bài 3. Tính bằng cách thuận tiện nhất.
 a/ b/ 
Bài 4. Tính nhanh các dãy tính sau:
a/
b/ 
Gợi ý: phân tích các mẫu số thành tích 2 số tự nhiên liền nhau:
	Chẳng hạn: 30 = 5 x 6; 42 = 6 x 7; 56 = 7 x 8
c/ 
Gợi ý: 
Dạng 4: Các bài toán điển hình về phân số:
Vd 1: Trung bình cộng của 3 phân số = . Trung bình cộng của phân số thứ nhất và phân số thứ hai là , của phân số thứ hai và phân số thứ ba là . Tìm 3 phân số đó.
Hd giải: Vận dụng kiến thức về số trung bình cộng để giải.
Tổng của 3 phân số là 
Tổng của phân số thứ nhất và phân số thứ hai là: 
Phân số thứ 3 là: 
Tổng của phân số thứ hai và phân số thứ ba là: 
Phân số thứ nhất là: 
Phân số thứ hai là:
Đáp số: , và 
Vd 2: Một người bán cam lần thứ nhất người đó bán số cam. Lần thứ hai bán số cam thì còn lại 12 quả. Hỏi người đó đem bán bao nhiêu quả cam?
 Hd giải:
	Cả hai lần người đó bán số phần cam là: (số cam)
	12 quả cam ứng với số phần cam là: (số cam)
	Người đó đem bán số quả cam là: (quả cam)
	Đáp số: 45 quả cam.
Vd 3: Người công nhân thứ nhất sửa xong một đoạn đường trong 4 giờ. Người công nhân thứ hai có thể sửa xong đoạn đường đó trong 6 giờ. Nếu hai công nhân cùng làm thì đoạn đường được sửa xong trong bao lâu? 
	Hd giải:
- Tìm số phần đường sửa được của mỗi người trong 1 giờ.	 - Cả hai người sửa trong một giờ được bao nhiêu phần đường? 
- Tìm thời gian để hai người sửa xong đoạn đường.
Giải: Trong một giờ, công nhân thứ nhất sửa được là: (đoạn đường).
	Trong một giờ , công nhân thứ hai sửa được là : (đoạn đường).
Trong một giờ , cả hai công nhân sửa được là: (đoạn đường).
Thời gian để hai công nhân cùng sửa xong là:
	1 giờ = 60 phút ⇒
	Đáp số: 2 giờ 24 phút.
Vd 4: Một cửa hàng bán vải, buổi sáng bán được tấm vải, buổi chiều bán được số vải còn lại, thì tấm vải còn lại 20m. Hỏi tấm vải dài bao nhiêu mét và mỗi lần bán bao nhiêu mét ?
Hd giải: Tìm số phần tấm vải còn lại sau buổi sáng.
	 Tìm số phần tấm vải bán buổi chiều.
	 Tìm số phần tấm vải bán hai buổi sáng và chiều.
	 Tìm số phần tấm vải bán hai buổi sáng và chiều.
	 Tìm số phần tấm vải ứng với 20m.
	 Tìm số mét của tấm vải và số vải bán được của mỗi buổi.
Giải: Sau khi bán buổi sáng, còn lại số phần tấm vải là: (tấm vải).
	Số phần tấm vải bán được buổi chiều là: (tấm vải).
	Cả sáng và chiều bán được số phần tấm vải là (tấm vải).
	Số phần tấm vải ứng với 20m vải là: (tấm vải).
Tấm vải dài là:
	Buổi sáng bán được số mét vải là: 
Vậy buổi chiềubán được 12 mét vải.Đáp số: tấm vải: 44 m; sáng :12m ;chiều : 12m.
Vd 5: Trong phong trào thi đua lập thành tích chào mừng ngày 20/ 11, học sinh một trường tiểu học đạt số điểm 10 như sau: Số điểm 10 của khối Một bằng tổng số điểm 10 của 4 khối còn lại. Số điểm 10 của khối Hai bằng tổng số điểm 10 của 4 khối còn lại. Số điểm 10 của khối Ba bằng tổng số điểm 10 của 4 khối còn lại. Số điểm 10 của khối Bốn bằng tổng số điểm 10 của 4 khối còn lại và khối Năm đạt 101 điểm 10. Hỏi toàn trường đạt bao nhiêu điểm 10 và mỗi khối đạt bao nhiêu điểm 10 ?
Hd giải: - Tìm số phần điểm 10 của mỗi khối so với tổng số điểm 10 của toàn trường (dùng sơ đồ đoạn thẳng).
	 - Tìm tổng số phần điểm 10 của 4 khối: 1, 2, 3, 4.
	 - Tìm phân số chỉ số điểm 10 của khối Năm.
	 - Tìm số điểm 10 của 5 khối ⇒ tìm số điểm 10 của mỗi khối.
Giải: Số điểm 10 của khối Một bằng tổng số điểm 10 của 4 khối còn lại. 
⇒ Ta có: Khối Một có số điểm 10: 
 Số điểm 10 của 4 khối còn lại:
 Vậy số điểm 10 của khối Một = tổng số điểm 10 của toàn trường.
Tương tự như vậy ta có: 
Số điểm 10 của khối Hai bằng số điểm 10 của toàn trường.
Số điểm 10 của khối Ba bằng số điểm 10 của toàn trường.
Số điểm 10 của khối Bốn bằng số điểm 10 của toàn trường.
	Phân số chỉ tổng số điểm 10 của 4 khối trên là:
	 (tổng số điểm 10 của cả trường)
	Phân số chỉ số điểm 10 của khối Năm là:
	 (tổng số điểm 10 của cả trường)
	Số điểm 10 của toàn trường là: (điểm 10)
	Số điểm 10 của khối Một là: 420 x = 105 (điểm 10)
	Số điểm 10 của khối Hai là: (điểm 10)
	Số điểm 10 của khối Ba là: (điểm 10)
	Số điểm 10 của khối Bốn là: (điểm 10)
	Đáp số: Toàn trường: 420(điểm 10)
	Khối Một : 105 (điểm 10)
	Khối Hai : 84 (điểm 10)
	Khối Ba : 70 (điểm 10)
	Khối Bốn: 60 (điểm 10).
C. Các bài luyện tập.
1/ Trung bình cộng của 3 phân số bằng . Nếu tăng phân số thứ nhất lên hai lần thì trung bình cộng bằng . Nếu tăng phân số thứ hai lên hai lần thì trung bình cộng bằng . Tìm 3 phân số đó ?
 Đáp số: phân số thứ nhất: , phân số thứ hai: , phân số thứ ba: 
2/ Một người bán vịt, lần thứ nhất bán số vịt, , lần thứ hai bán số vịt, , lần thứ ba bán 36 con thì vừa hết. Hỏi người đó đã bán bao nhiêu con vịt ?
	Đáp số: 70 con vịt.
3/ Một cửa hàng bán một tấm vải làm 3 lần. Lần thứ nhất bán tấm vải và 5 mét. Lần thứ hai bán chỗ vải còn lại và 3 mét. Lần thứ ba bán 17 mét thì hết tấm vải. Hỏi lần thứ nhất, lần thứ hai mỗi lần bán bao nhiêu mét vải ?
	Đáp số: Lần 1 : 25 m
. Lần 2 : 18 m
4/ Một cái bể được bắc hai vòi nước chảy vào bể. Vòi thứ nhất chảy một mình sau 7 giờ thì đầy bể. Vòi thứ hai chảy đầy bể sau 5 giờ. Hỏi nếu mở cả hai vòi cùng chảy một lúc thì sau bao lâu sẽ đầy bể ?	Đáp số: 2 giờ 55 phút.
5/ Trong tháng thi đua vừa qua, khối 4 của trường Tiểu học Sen Chiểu có 3 lớp 4 A, 4B, 4 C. Số điểm 10 của lớp 4A bằng số điểm 10 của hai lớp còn lại. Số điểm 10 của lớp 4B bằng số điểm 10 của hai lớp còn lại. Hỏi mỗi lớp đạt được bao nhiêu điểm 10 ? Biết nếu lớp 4C giành thêm 20 điểm 10 nữa thì số điểm 10 của lớp 4C là số nhỏ nhất có 3 chữ số.
	Đáp số: 4A: 64 điểm 10
	 4B: 48 điểm 10 ; 4C : 80 điểm 10.
6/ An mua sách hết số tiền An có, mua vở hết số tiền còn lại. Sau khi mua vở và sách An còn lại 3000 đồng. Hỏi An có bao nhiêu tiền ?.
	Đáp số: 36.000 đồng.
7/ ở một cái hồ có hai vòi nước. Vòi thứ nhất chảy đầy hồ trong 5 giờ, vòi thứ hai tháo hết hồ đầy nước trong 7 giờ. Nếu hồ không có nước, mở cả hai vòi thì trong bao lâu sẽ đầy hồ ? 
 Đáp số: