Định hướng học sinh tiểu học mở rộng cách so sánh phân số

Định hướng học sinh tiểu học
mở rộng cách so sánh phân số
A. Đặt vấn đề:
Bậc tiểu học là bậc học nền tảng trong hệ thống giáo dụa quốc dân, đặt cơ sở ban đầu cho việc giáo dục toàn diện nhân cáhc học sinh. ậ tioêủ học cùng với môn Tiếng Việt, môn Toán có vị trí vô cùng quan trọng, thời gian dành cho môn toán chiếm tỉ lệ khá cao trong chương trình (mỗi tuần 5 tiết)
Khả năng giáo dục nhiều mặt cvủa môn Toán rất to lớn, nó có nhiều khả năng phát triển khả năng tư duy lo gíc, bồi dưỡng và phát triển những thao tác trí tuệ cần thiết để nhận thức thế giới hiện thực như trừu tượng hoá, khái quát hoá, phân tích tổng hợp, so sánh dự đoán, chứng minh bác bỏ. Nó có vai trò to lớn trong việc rèn phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phjương pháp giải quyết vấn đề có căn cứ khoa học, toàn diện chính xác. Vì vậy vấn đề bồi dưỡng học sinh có khả năng tư duy sáng tạo, vận dụng linh hoạt các kiến thưcvs đã học và phát huy tính tích cực hoạt động của học sinh là vấn đề đáng coi trọng ở bậc tiểu học.
 Năm học 2006 -2007 là năm học hoàn thành chương trình thay sách ở bậc Tiểu học. Nếu coi giai đoạn các lớp 1, 2, 3 là giai đoạn học tập cơ bản thì có thể gọi giai đoạn các lớp 4, 5 là giai đoạn học tập sâu với ý nghĩa và vẫn dạy học các kiến thức và kỷ năng có bản của môn Toán nhưng ở mức độ sâu hơn, khái quát hơn, tường minh hơn. Qua hai năm tôi được tiếp cận với chương trình SGK Toán 4, 5 mới, tôi nhận thấy Toán 4, 5 kế thừa, phát huy phương pháp dạy học Toán đã sử dụng ở các lớp 1, 2, 3. Đồng thời tăng cường các phương pháp dạy học giuíp các em tự nêu nhận xét, rút ra các quy tắc, các công tbhức ở dạng khái quát. Đây là cơ hội tiếp tục phát triển năng lực trừu tượng hoá, khái quát hoá trong học tập môn Toán ở giai đoạn học tập sâu. 
Theo tôi trong dạy Toán 4 năm kiến thưcá về phân số vừa trừu tượng, vừa đa dạng nhất là phần so sánh phân số. ở phần này có nhiều dạng bài tập rất trừu tượng đòi hỏi hoạc sinh phải có tính suy luận mới làm được. Vì vậy tôi nhận thấy việc định hướng để học sinh làm được cvác bài tập so sánh phân số là công việc rất quan trọng. Nó là cơ sở để học sinh vận dụng giải các bài toán khác. Vậy làm thế nào để giúp học sinh có kỷ năng làm các bài tập so sánh phân số là điều tôi luôn trăn trở trong quá trình dạy học và bồi dưỡng học sinh giỏi. Chính điều đó đã thôi thúc tôi chọn đề tài: “Định hướng học sinh Tiểu học mở rộng cách so sánh phân số” làm đề tài nghiên cứu của mình.
B. Giải quyết vấn đề:
I. Cơ sở thực tế:
Nhiều năm qua, trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy khi gặp dạng Toán so sánh phân số học sinh tỏ ra rất lúng túng, các em thường quy đồng mẫu số hoặc quy đồng tử số để so sánh. TRong chương trình Toán tuổi thơ, Toán nâng cao có nhiều bài toán so sánh phân số nếu học sinh chỉ áp dụng tính chất cơ bản của pơhân số, quy đồng tử số, quy đồng tử số thì các em gặp nhiều khó khăn và có thể làm rất rườm rà. Nhiều bài Toán yêu cầu so sánh mà không quy đồng, không những học sinh không làm được mà nhiều giáo viên vẫnm còn băn khoăn trăn trở. Trong thực tế nội dung chương trình SGK chỉ đưa ra một số dạng so sánh phân số cơ bản. Với thời lượng hạn hẹp ở lớp giáo viên chưa đầu tư, mở rộng nâng cao nên khi gặp dạng Toán này phần lớnm học sinh không làm được, nhiều giáo viên cũng không thể đưa ra được cách so sánh nhanh nhất. Tôi thiết nghĩ để so sánh hai phân số có rất nhiều cách. Nếu giáo viên không hệ thống cho học sinh các dạng so sánh thì học sinh thật là khó khăn và dễ chán khi gặp dạng toán bnày. Đứng trướng thực trạng này tôi đã mạnh dạn đưa ra các giải pháp mở rộng cachs so sánh phân số để hướng dẫn học sinh làm các bài tập so sánh phân số một cách nhanh nhất.
II. Biện pháp thực hiện
1. Đối tượng nghiên cứu:
Để thực hiện được ý nghuyện của mình tôi đã nghiên cứu chuyên đề bồi dưỡng Toán 4, 5 đồng thời đúc rút qua nhiều năm bồi dưỡng học sinh giỏi, qua học hỏi bạn bè đồng nghiệp. Năm học 2006 – 2007 tôi trực tiếp giảng dạy lớp 4A vừa đảm đương trách nhiệm tổ nghiệp vụ môn Toán của trường. Tôi đã lấy lớp 4A và lớp 5A làm thực nghiệm bằng cách định hướng các cách so sánh phân số nhằm giúp học sinh nhận ra dấu hiệu về các cách so sánh đó tôi thấy chất lượng khá khả quan.
2. Một số dạng so sánh và dấu hiệu nhận ra các dạng so sánh đó
Phần I: Các dạng so sánh phân số cơ bản 
Cách 1: So sánh hai phân số cùng mẫu: Hai phân số cùng mẫu thì phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
Ví dụ: So sánh hai phân số và 
Ta so sánh tử số: Vì 3 < 5 nên < 
Cách 2: So sánh hai phân số cùng tử số:
Hai phân số cùng tử số thì phân số nào có mẫu số bé hơn thì phân số đó lớn hơn
Ví dụ: So sánh hai phân số và 
Ta so sánh mẫu số: Vì 7 > 5 nên < 
Cách 3: Quy đồng mẫu số: Nếu hai phân số khác mẫu số, ta quy đồng mẫu số các phân số đó rồi so sánh mẫu số các phân số đó (theo cách 1)
VD: So sánh hai phân số: và 
Bước 1: Quy đồng mẫu số hai phân số: = = 
 = = 
Bước 2: 
So sánh: Ta có nên > 
Cách 4: Quy đồng tử số : 2 phân số khác tử số ta quy đồng tử số các phân số đó rồi so sánh mẫu số của 2 phân số đó (theo cách 2)
Vd: so sánh 2 phân số và 
Bước 1: Quy đồng tử số = =
b) so sánh: Vì nên 
cách 5: So sánh với 1:
cách này chỉ so sánh khi phân số < 1 và phân số lớn hơn 1
nếu phân số này < 1 thì phân số này bé hơn phân số kia.
Vd: và ta có : Vì < 1 < nên < .
* với các dạng so sánh phân số cơ bản mà trong sách giáo khoa đã đưa ra trên khi gặp một số bài toán so sánh phân số phức tạp ở trong các đề thi học sinh giỏi, toán tuổi thơ, sách nâng cao, học sinh có thể thựchiện được một cách nhanh do đó trong quá trình giảng dạy qua học hỏi đồng nghiệp tôi ghĩ rằng để giúp học sinh dễ giàng thực hiện các dạng toán so sánh phâ n ssố đó bằng cách hướng dẫn cho học sinhmột số dạng mở rộng so sánh phân số như sau: 
Phần 1: Dạng mở rộng 
Cách 6: so sánh phần bù đến đơn vị (Phần thêm vào phân số để bằng 1) 
Ta tìm phần bù bằng cách tìm hiệu của 1 và mỗi phân số đó.
Nếu phân số nào có phần bù lớn hơn thì phân số đó bé hơn
 Nếu Phân số nào có phần bù bé hơn thì phân số đó lớn hơn
Vd: so sánh 2 phân số và 
Bưỡc 1: Tìm phần bù: 1- = 
 1- = 
bước 2: so sánh : Vì 
* Nhận xét: Khi nào sao sánh phần bù cách này chỉ dùng so sánh khi 2 phân số cần so sánh đều nhỏ hơn 1 và hiệu giữa mẫu số và tử sổ của 2 phân số đó đều bằng nhau.
Qua đó ta mở rộng cho học sinh dạng toán: 
Vd2: Sắp xếp các phân số theo thứ tự từ bé đến lớn 
a) và 
b) 
Trong các phân số sắp xếp : và ; 
Phân số nào bé nhất; Phân số nào lớn nhất
Cách 7: So sánh “phân số” với 1 của mỗi phân số 
Ta tìm phần hơnm bằng cách tìm hiệu giữa mỗi phân số với 1.
Nếu phân số nào có phần hơn lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
Nếu phân số nào có phần hơn bé hơn thì phân số đó bé hơn.
Vd: So sánh 2 phân số : và 
Bước 1: Tìm phần hơn : - 1 = 
Bước 2: So sánh vì > nên 
Nhận xét: Cách này sử dụng khi nào?
Cách này chỉ dùng khi các phân số cần so sánh đều lớn hơn 1 và hiệu giữa tử số và mẫu số của các phân số đều bằng nhau.
Qua đó ta mở rộng cho học sinh dạng toán : 
Bài 1: Hãy viết các phân số sau theo thứ tự tăng dần:
a) 
b) 
Bài 2: Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự bé dần: 
hướng dẫn: Có thể so sánh phần hơn với 
Có thể nhân các phân số đó với 2 rồi so sánh với 1
Lưu ý: So sánh phần hơn với khi hiệu giữa tử số và mẫu số của các phân số đó đều bằng nhau, phân số đó phải có mẫu số là số chẵn
Cách 8: Nhân 2 phân số với cùng một số tự nhiên để đưa về so sánh phần hơn hoặc phần bù 
Nhân 2 phân số với cùng một số tựnhiên để đưa về dạng so sánh phần bù 
Vd: So sánh 2 phân số:
 và 
Nhận xét: 27: 13 = 2 dư 1 ; 15:7 = 2 dư 1 
Bước 1: ta nhân 2 phân số đó với 2 : 
 x 2 = ; x 2 = 
Bước 2: Tìm phần bù
Ta thấy : 1 - = 
Bước 3: So sánh:
Vì nên 
Do: nên 
* Nhận xét: Cách này thực hiện khi thương giữa mẫu số và tử số của mỗi phân số bằng nhau và có số dư bằng nhau
Nhân 2 phân số với cùng một số để so sánh phần hơn.
Vd: so sánh 2 phân số:
 và 
Bước 1: Nhân 2 phân số đó với 4
 x 4 = ; x 4 = 
Bước 2: Tìm phần hơn:
Bước 3: So sánh
Vì nên 
Do 
* Nhận xét: Cách này thực hiện khi lấy tử số nhân với số đó trừ đi mẫu của mỗi phân số đó thì có kết quả bằng nhau
Bài tập mở rộng: Sắp xếpn các phân số sau theo thứ tự từ bé đến lớn :
a) 
b) 
Cách 9: So sánh với phân số trung gian thứ 3( Phân số ở giữa 2 phân số)
a) Chọn phân số trung gian thứ 3 có cùng tử số với 1 trong 2 phân số đã cho và có cùng mẫu số với phân số còn lại: 
so sánh: 
Bước 1: Chọn phân số trung gian:
(hoặc chọn phân số trung gian là: )
Bước 2: So sánh:
Ta có: nên 
* Nhận xét: Cách này chỉ sử dụng khi tử số của phân số này lớn hơn tử số của phân số kia hoặc mẫu số của phân số này < mẫu số của phân số kia.
Ví dụ mở rộng: Trong các phân số sau phân số nào bé nhất?
b) chọn một phân số trung gian thứ 3 thể hiện mối quan hệ giữa tử số và mẫu số cảu mỗi phân số đó
+ Ta chọn phân số trung gian bằng cách tìm thương giữa mẫu số và tử số nhưng thương giữa mẫu số và tử số của phân số kia phải bé thua ( hoặc lớn hơn) nhưng thương giữa mẫu số và tử số của phân số này
vd1: So sánh : 
xét thương của 13 và 6 lớn hơn 2, thương của 17 và 9 < 2 
Bước 1: Vậy ta chọn phân số trung gian là 
Bước 2: ta có: = 
 = 
Bước 3: So sánh:
Vì 
Vd2: so sánh 
Bước 4: Xét thương của 38 và 13 bé hơn 3; Thương 45 và 14 bé hơn 3.
Ta chọn làm phân số trung gian
B3: So sánh: = 
= 
B4: so sánh vì: 
Tương tự có thể chọn phân số trung gian là: 
Bài tập mở rộng:
Tìm 5 phân số khác nhau giữa 2phân số ta chọn:
a) b) 
	với biểu thức này tìm phân số trung gian, cho học sinh nhân cả tử số và mẫu số của mỗi phân số cùng một tử số khác 0 để có khoảng cách tử số và phân số dãn rộng ra :
Cụ thể bài tập trên ta nhân cả tử số và mẫu số của mỗi phân số là 6:
Ta có thể làm như sau:
a. 
Ta có: 
Vậy 5 phân số ở giữa là: ; ; ; ; 
b. Giải tương tự câu a
Bài 2: So sánh hai phân số: và 
Hướng dẫn: Ta nhân cả tử số và mẫu số phân số với 3 rồi so sánh phân số trung gian
Cách 10: So sánh phân số dựa vào thực hiện phép chia
Tức là lấy hai phân số chia cho nhau nếu thương tìm được lớn hơn 1 thì số bị chia lớn hơn số chia và ngược lại.
VD 1: So sánh hai phân số và 
Ta có: : = x = = <1
Vậy <
VD 2: So sánh hai phân số 
Ta có: = 
Vậy: 
Nhận xét: Với cách này ta có thể sử dụng được so sánh hai phân số trong bất kỳ trường hợp nào
Cách 11: phương pháp đảo ngược phân số đưa về dạng hỗn số:
Cách này ta làm như sau:
Bước 1: Đảo ngược các phân số
Bước 2: So sánh các phân số đã đảo ngược
Nếu phân số đảo ngược lớn hơn thì phân số đó bé hơn và ngược lại Nếu phân số đảo ngược bé hơn thì phân số đó lớn hơn
VD: So sánh hai phân số: và 
Bước 1: Đảo ngược phân số: đảo ngược thành ; đảo ngược thành 
Bước 2: So sánh: 
Ta có =
 = Vì nên 
Do nên 
Nhận xét: Phương pháp này chỉ sử dụng khi tử số > mẫu số và khi đưa về dạng hỗn số để so sánh
- Đối với lớp 4 hướng dẫn học sinh đưa về phần nguyên (số tự nhiên) + phần hơn (phần phân số)
Bài tập mở rộng: 
Sắp xếp các phân số theo thứ tự bé dần: 
Cách 12: Xét Tích chéo: So sánh và 
Nếu: axd > bxc thì > ;Nếu: axd < bxc thì < 
VD: So sánh hai phân số và 
Ta có 4x10 = 40; 7x7 = 49
Vì 40 < 49 nên < 
Cách 13: Dạng rút gọn và so sánh:
Tức là ta rút gọn hai phân số đó về phân số tối giản