Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi – Toán lớp 5

ễN TẬP VÀ BỔ SUNG VỀ SỐ TỰ NHIấN
 - Củng cố cỏc kiến thức, cỏc phộp tớnh và tớnh chất của cỏc phộp tớnh với số tự nhiờn.
1. Phép cộng:
a + b + c = d
(a, b, c, là các số hạng. d là tổng)
2. Phép trừ:
a - b = c
(a là số bị trừ, b là số trừ, c là hiệu)
3. Phép nhân:
a x b = c
(a, b là thừa số; c là tích)
4. Phép chia:
a : b = c
(a là số bị chia, b là số chia, c là thương)
3. Luyện tập:
 - Cho HS làm vào vở
- Đổi vở kiểm tra
- Một số HS trỡnh bày bài
- GV nhận xột, bổ sung
3. 
* Tính chất của phép cộng:
+ Giao hoán: a + b = b + a
 VD: 4 + 6 = 6 + 4 = 10
+ Kết hợp: (a + b) + c = a + (b + c)
 VD: 5 + 6 + 7 = 11 + 7 = 18
 5 + 6 + 7 = 5 + 13 = 18
 + Cộng với 0: 0 + a = a + 0
 VD: 0 + 21 = 21 + 0 = 21
* Tính chất của phép trừ
+ Trừ đi số 0: a - 0 = a. 
 VD: 23 - 0 = 23 
+ Số bị trừ bằng số trừ: a - a = 0
 VD: 27 - 27 = 0
 + Trừ đi một tổng: 
 a - (b + c) = a - b - c = a - c - b VD: 45 - (20 + 15) = 45 - 20 - 15 
25 - 15 = 10
 * Tính chất của phép nhân:
 + Giao hoán: a x b = b x a
 VD: 4 x 5 = 5 x 4 = 20
 + Kết hợp: a x ( b x c) = (a x b) x c
 + Nhân với số 1: a x 1 = 1 x a = a
 VD 23 x 1 = 1 x 23 = 23
 + Nhân với số 0: a x 0 = 0 x a = 0
 VD: 45 x 0 = 0
 + Nhân với 1 tổng: 
 a x (b + c) = a x b + a x c
 VD: 12 x (5 + 7) = 12 x 5 + 12 x 7
 = 60 + 84
 = 144
 * Tính chất của phép chia:
 + Chia cho số 1: a : 1 = a
 VD: 34 : 1 = 34
 + Số bị chia bằng số chia: a : a = 1
 VD: 87 : 87 = 1
 + Số bị chia bằng 0: 0 : a = 0
 VD: 0 : 542 = 0
 + Chia cho một tích: 
 a : (b x c) = (a : b) : c = (a : c) : b
 VD: 75 : (5 x 3) = 75 : 5 : 3
 = 15 : 3 = 5
Tớnh giỏ trị của cỏc biểu thức sau:
1/ 15 x 16 + 15 x 92 - 8 x 15
 = 15 x (16 + 92 -8 )
 = 15 x 100
 = 1500
2/ 52 x 64 + 520 x 7 - 52 x 34
 = 52 x 64 + 52 x 70 - 52 x 34
 = 52 x ( 64 + 70 - 34 )
 = 52 x 100
 = 5200
3/ 75 + 138 x 75 - 39 x 75
 = 75 x ( 1 + 138 - 39)
 = 75 x 100
 = 7500
4/ 26 + 45 x 26 + 260 + 44 x 26
 = 26 + 45 x 26 + 26 x 10 + 44 x 26
 = 26 x ( 1 + 45 + 10 + 44 )
 = 26 x 100
 = 2600
5/ 47 x 28 - 28 x 16 + 969 x 28
 = 28 x (47 - 16 + 969)
 = 28 x 1000
 = 28 000
6/ 240 x 36 + 360 x 76
 = 24 x 10 x 36 + 360 x 76
 = 24 x 360 + 360 x 76
 = 360 x (24 + 76)
 = 360 x 100
 = 36 000
ễN TẬP VỀ SỐ TỰ NHIấN ( tiếp theo)
- ễn tập củng cố khắc sõu về số tự nhiờn
- Vận dụng giải toỏn cú liờn quan 
1. Số tự nhiờn 
- Nờu cỏc tớnh chất về số tự nhiờn 
2. Cỏc phộp tớnh
a)Phộp cộng 
b)Phộp trừ 
c)Phộp nhõn
d) Phộp chia 
3. Bài tập vận dụng
* Số tự nhiờn
1. Khụng cú số tự nhiờn lớn nhất 
2. Hai số tự nhiờn liờn tiếp hơn (kộm) nhau 1 đơn vị.
3.Hai số chẵn hoặc lẻ hơn kộm nhau 2 đơn vị .
4. Trong hệ thập phõn cứ 10 đơn vị ở 1 hàng thấp lập thành 1 đơn vị ở hàng cao hơn liền nú.
* Phộp cộng 
1. Tổng của 2 số lẻ hoặc 2 số chẵn là một số chẵn.
2. Tổng của một số lẻ với một số chẵn là một số lẻ.
3. Tổng cỏc số chẵn là số chẵn 
* Phộp trừ 
1. Hiệu của 2 số lẻ hoặc 2 số chẵn là số chẵn 
2. Hiệu giữa một số chẵn với một số lẻ là số lẻ
* Phộp nhõn
1. Tớch cỏc số lẻ là số lẻ
2. Một tớch nếu cú ớt nhất một thừa số chẵn thỡ tớch số là số chẵn
3. Tớch một số chẵn với 1 thừa số tận cựng là 5 thỡ tận cựng là 0.
4. Tớch một số lẻ với 1 số tận cựng là 5 thỡ tận cựng là 5.
5. Tớch cỏc số tận cựng là 1 thỡ tận cựng là 1
6. Tớch cỏc số tận cựng là 6 thỡ tận cựng là 6
* Phộp chia 
1. Số lẻ khụng chia hết cho một số chẵn.
2.Trong phộp chia hết, thương của 2 số lẻ là một số lẻ.
3. Trong phộp chia hết, thương của một số chẵn với một số lẻ là số chẵn.
* Tớch sau cú mấy chữ số tận cựng giống nhau.
20 21 22  28 29 
 Bài giải
Tớch trờn cú thừa số 20 tận cựng là 0, nờn tớch cú 1 chữ số 0 tận cựng. Ngoài ra thừa số 25 và 24 cho tớch tận cựng bởi 2 chữ số 0. Vậy tớch trờn cú 3 chữ số tận cựng giống nhau là 3 chữ số 0 .
 Vậy tớch tận cựng bởi 3 chữ số 0
ễN TẬP VỀ SỐ TỰ NHIấN ( tiếp theo)
 - ễn tập củng cố khắc sõu về số tự nhiờn.
 - Vận dụng giải toỏn
.
Bài 1: Cú bao nhiờu số tự nhiờn liờn tiếp từ 1 đến 1995 ?
- HS làm vào vở
- Trỡnh bày
2. Cú bao nhiờu số cú hai chữ số ?
3. Cú bao nhiờu số cú ba chữ số ?
4. Tỡm phộp cộng cú cỏc số hạng bằng nhau và bằng tổng số .
5. Tớnh nhanh:
Tớnh tổng cỏc số lẻ liờn tiếp từ 1 đến 1995.
Bài 1. Viết cỏc số tự nhiờn liờn tiếp bắt đầu từ 1 đến 1995 thỡ phải viết 1995 số tự nhiờn liờn liờn tiếp, trong đú cú :
9 số cú 1 chữ số là cỏc số từ 1 đến 9
90 số cú 2 chữ số là cỏc số từ 10 đến 99
900 số cú 3 chữ số là cỏc số từ 100 đến 999
 Cũn lại là cỏc số cú 4 chữ số.
Vậy : Số lượng số cú 4 chữ số phải viết là:
1995 – (9 + 90 + 900) = 996 (số)
Số lượng chữ số của số đú là : 
1 x 9 + 2 x 90 + 3 x 900 + 4 x 996 = 6873 (chữ số)
 Đỏp số : 6873 chữ số.
Bài 2. Xột dóy số : 1,2,3,4,98,99 ta thấy :
Dóy số cú tất cả 99 số, trong đú cú 9 số 1 chữ số là cỏc số : 1,2,3,4,5,6,7,8,9 (từ 1 đến 9), cũn lại là cỏc số cú hai chữ số.
Vậy số lượng số cú hai chữ số là :
99 – 9 = 90 (số)
Trả lời : Cú 90 số cú hai chữ số.
Bài 3. Xột dóy số : 1,2,3,4,998,999 ta thấy :
Dóy số cú tất cả 999 số, trong đú cú 99 số là cỏc số cú 1 và2 chữ số (99 số từ 1 đến 99), cũn lại là cỏc số cú ba chữ số.
Vậy số lượng số cú ba chữ số là :
999 – 99 = 900 (số)
Trả lời : Cú 900 số cú ba chữ số.
Bài 4.
Phộp cộng phải tỡm là : 0 + 0 = 0
Bài 5. 
 Hai số lẻ liờn tiếp hơn kộm nhau 2 đơn vị. Mà số cuối hơn số đầu là:
1994 : 2 =997 (khoảng cỏch). 
Số khoảng cỏch luụn kộm số lượng số hạng là 1, nờn số lượng số trong dóy là : 
997 +1 = 998 (số hạng)
Nếu ta sắp xếp cỏc cặp số từ hai đầu dóy số vào, ta cú:
1 + 1995 =1996
3 + 1993 = 1996
Số cặp số là : 998 : 2 = 499 (cặp số)
Cỏc cặp số đều cú tổng là 1996 nờn tổng cỏc số trong dóy số là :
1996 x 499 = 996004
ễN TẬP VỀ SỐ TỰ NHIấN (tiếp theo)
 + ễn tập củng cố khắc sõu về số tự nhiờn.
 + Vận dụng giải toỏn
.
1. Tớnh nhẩm tổng sau :
197 + 546
 2. Tỡm phộp trừ cú số bị trừ, số trừ và hiệu số bằng nhau.
3. Trừ nhẩm :
954 - 898
4. Cho 9 số : 1,2,3,8,9,10,15,16,17 và bảng ụ bờn. Hóy điền mỗi số vào 1 ụ sao cho tổng 3 số ở cột dọc, hàng ngang và đường chộo đều bằng nhau.
Bài 1. 
197 +546 = (197 + 3) + (546-3)
 = 200 + 549
 = 749
Khi cộng nhẩm, ta làm trũn trăm (hoặc trũn chục, trũn nghỡn) một số cho dễ cộng.
Bài 2. Đỏp số : 0 - 0 = 0
Bài 3.
 954-898 = (954 + 2) - (898 + 2)
 = 956 – 900 = 56
Khi trừ nhẩm, ta làm trũn số trừ để dễ trừ. 
 Bài 4. Tổng 9 số đó cho là :
1 + 2 + 3 + 8 + 9 + 10 + 15 + 16 + 17 = 81
9 số điền được 3 hàng ngang nờn tổng cỏc số ở hàng ngang (cột dọc và đường chộo) là:
81 : 3 = 27
Ta đỏnh số cỏc hàng ngang, cột dọc của bảng ụ như sau : SGK
Ta thấy : Tổng cỏc số ở hàng 2, cột 2 và hai đường chộo là :
27 x 4 = 108
Khi tớnh tổng cỏc số ở hàng 2, cột 2 và 2 đường chộo thỡ 8 số ở 8 ụ xung quanh được tớnh mỗi số 1 lần, cũn số ở ụ chớnh giữa tớnh 4 lần nờn thừa ra 3 lần.
Số điền ở ụ chớnh giữa là :
 (108-81) :3 =9
Ta lại cú : 
1+17=18
2+16=18
3+15=18
8+10=18
Vậy mỗi cặp số trờn được điền vào 2 đầu cột dọc 2, hàng ngang 2 và 2 đường chộo
Đỏp ỏn: 
10
15
2
1
9
17
16
3
8
ễN TẬP VỀ SỐ TỰ NHIấN ( tiếp theo)
 - ễn tập củng cố khắc sõu về số tự nhiờn.
 - Vận dụng giải toỏn
Bài 1:
Tỡm a,b biết : ab,b - bb,a = a,a
Bài 2: Tỡm số tự nhiờn, biết rằng số này sẽ tăng 9 lần nếu ta viết thờm 1 chữ số 0 vào giữa chữ số hàng đơn vị và hàng chục của số đú.
Bài 3: Tớnh 
9,8 + 8,7 + 7,6 +  + 2,1 – 1,2 – 2,3 – 3,4 - - 8,9 
Bài giải
 Ta cú bb,a 
 a,a 
 ab,b 
Xột hàng đơn vị ta cú: 
 - Nếu b + a = b thỡ a = 0 (vụ lớ vỡ a khỏc 0)
 - Nếu b + a = 10 + b (cộng qua 10)
 thỡ a = 10 ( vụ lớ vỡ a <10)
Vậy cú : b + a + 1 ( nhớ) = 10 + b (1) 
và ở hàng phần 10 cú a + a = 10 + b
 ( cộng qua 10) (2)
Từ (1) và (2) suy ra a = 9; b = 8
 Thử lại: 98,8 – 88,9 = 9,9
Học sinh cú thể giải cỏch khỏc 
Bài giải
Gọi số đó cho là a với là chữ số hàng đơn vị , số mới là a0 theo đầu bài ta cú
a0 = a 9
a00 + = ( a 10 + ) 9 
a 100 + = a 90 + 9 
a 90 + a 10 + = a 90 + 8 
a 10 = 8
a 5 = 4 
Vỡ < 10 nờn a 5 < 10 4 hay a 5 < 40 ; mà 4 chia hết cho 5, do đú 
 = 5 suy ra a = 4
Vậy số đó cho là 45
Thử lại : 45 9 = 405 ( Đỳng với yờu cầu đề bài )
Bài giải
9,8 + 8,7 + 7,6 +  + 2,1 – 1,2 – 2,3 – 3,4 - - 8,9 
 = ( 9,8 – 8,9) + (8,7 – 7,8) +..+(2,1 – 1,2)
 = 0,9 + 0,9 + 0,9 + 0,9 + 0,9 + 0,9 + 0,9 0,9 + 0,9
 = 0, = 0,9 x 8
= 7, = 7,2
CỦNG CỐ CÁC TÍNH CHẤT CỦA BỐN PHẫP TÍNH
VỚI SỐ TỰ NHIấN
- Củng cố cỏc tớnh chất của bốn phộp tớnh với số tự nhiờn. Áp dụng để giải toỏn tớnh nhanh.
Bài tập 1. Tớnh nhanh
Bài tập 2. Tính nhanh
Bài tập 3. Tính nhanh
a/ 21 x 6 + 18 x 6 + 6 x 61
= 6 x (21 + 18 + 61)
= 6 x 100 
= 600
b/ 1078 x 25 - 25 x 35 - 43 x 25
= 25 x ( 1078 - 35 - 43 )
= 25 x 1000
= 25000
c/ 621 x 131 + 131 x 622 -243 x 131
= 131 x ( 621 + 622 - 243)
= 131 x 1000
= 131000
= 49 x 75 - 2 x 3 x 25 + 53 x 75
= 75 x (49 - 2 + 53)
= 75 x 100
= 7500
a/ 74 x 18 + 740 x 6 + 22 x 74
= 74 x 18 + 74 x 60 + 22 x 74
= 74 x ( 18 + 60 + 22)
= 74 x 100
= 7400
b/ 20 x 23 + 41 x 46 + 46 x 49
= 10 x 2 x 23 + 41 x 46 + 46 x 49
= 10 x 46 + 41 x 46 + 46 x 49
= 46 x ( 10 + 41 + 49 )
= 46 x 100 
= 4600
c/ 31 x 15 + 150 x 5 - 15 + 20 x 15
= 31 x 15 + 15 x 50 -15 + 20 x 15
= 15 x (31 + 50 - 1 + 20 )
= 15 x 100
= 1500
a/ 23 + 123 + 77 + 877
= 23 + 77 + 123 + 877
= 100 + 1000
= 1100
b/ 25 x 122 x 4 x 10
= 25 x 122 x 40
= 25 x 40 x 122
= 1000 x 122
	ễN TẬP VỀ SỐ THẬP PHÂN
- ễn tập củng cố khắc sõu về số thập phõn.
- Vận dụng giải toỏn
1. Cỏc phõn số thập phõn cú viết được dưới dạng số thập phõn khụng?
2. Bài toỏn 1: Cho 2 số A và B. Nếu đem số A trừ 6,57 và đem số B cộng với 6,57 thỡ được 2 số bằng nhau. Nếu bớt 0,2 ở cả 2 số thỡ được 2 số cú tỉ số cú tỉ số bằng 4. tỡm tỉ số A và B đó cho
3.Bài toỏn 2: 
Cho một số thập phõn, dời dấu phẩy của số đú sang bờn trỏi hai chữ số ta được số thứ hai. Lấy số ban đầu trừ đi số thứ hai ta được hiệu bằng 261,657.
Tỡm số thập phõn ban đầu.
4.Bài 2
Cho 1 số thập phõn dời dấu phẩy của số đú sang bờn phải một chữ số ta được số thứ hai, dời dấu phẩy của số ban đầu sang bờn trỏi một chữ số ta được số thứ ba, cộng ba số lại ta được tổng bằng 360,306. Hóy tỡm số thập phõn ban đầu 
Cỏc phõn số thập phõn đều viết được dưới dạng số thập phõn.
* Vớ dụ: 
- Một phõn số cú mẫu số khỏc 10, 100, 1000, nếu viết được dưới dạng phõn số thập phõn thỡ  ...  : 1/2 = 2 (giờ)
Đỏp số: 2 giờ.
Bài 2: Ba người cựng làm một cụng việc. Nếu người thứ nhất làm một mỡnh thỡ sau 8 giờ sẽ xong. Nếu người thứ hai làm một mỡnh thỡ sau 3 giờ sẽ xong. Nếu người thứ ba làm một mỡnh thỡ sau 6 giờ sẽ xong. Hỏi cả ba người cựng làm thỡ sau bao lõu sẽ xong?
Giải
Cỏch làm tương tự bài 1:
Mỗi giờ người thứ nhất làm được 1/8 cụng việc, người thứ hai làm được 1/3 cụng việc, người thứ ba làm được 1/6 cụng việc và cả ba người làm đoợc 5/8 cụng việc.
Thời gian để ba người cựng làm hoàn thành cụng việc là 8/5 giờ hay 1 giờ 36 phỳt.
Đỏp số: 1giờ 36 phỳt.
Bài 3: Một bể cú ba vũi nước: 2 vũi chảy vào và 1 vũi chảy ra.Nếu một mỡnh vũi thứ nhất chảy vào thỡ sau 6 giờ sẽ đầy bể, vũi thứ hai chảy vào thỡ sau 4 giờ đầy bể, vũi thứ ba thỏo ra sau 8 giờ thỡ cạn bể. Bể đang cạn, nếu mở cả ba vũi cựng một lỳc thỡ sau bao lõu sẽ đầy bể?
Giải
Mỗi giờ vũi thứ nhất chảy đoợc 1/6 bể, vũi thứ hai chảy được 1/4 bể, vũi thứ ba thỏo ra mất 1/8 bể.
Mỗi giờ cả ba vũi cựng mở thỡ sẽ được lượng noưc trong bể là: 7/24 (bể)
Thời gian cả 3 vũi cựng mở từ lỳc bể cạn đến khi bể đầy là: 24/7 giờ
Đỏp số: 24/7 giờ.
Bài 4: Hai vũi nước cựng chảy vào bể thỡ sau 1giờ 12 phỳt đầy bể. Nếu một mỡnh vũi thứ nhất chảy thỡ sau 2 giờ sẽ đầy bể. Hỏi nếu một mỡnh vũi thứ hai chảy thỡ sau bao lõu sẽ đầy nể?
Giải
- Học sinh tự làm bài rồi chữa bài.
+ Đổi ra phỳt...
- Đỏp số: 3 giờ
Bài 5: Huy và Hiếu cú thể hoàn thành cụng việc trong 10 ngày nếu cả hai cựng làm. Sau 7 ngày cựng làm thỡ Huy nghỉ việc, cũn Hiếu phải làm nốt một mỡnh cụng việc trong 9 ngày nữa. Hóy tớnh xem mỗi người làm riờng thỡ sau bao lõu sẽ hoàn thành cụng việc?
Giải
1 ngày 2 người cựng làm được 1/10 cụng việc.
Sau 7 cụng việc ngày đó làm được 7/10 cụng việc, cũn 3/10 cụng việc nữa, Hiếu làm trong 9 ngày.
Mỗi ngày Hiếu làm được: 1/30 cụng việc.
Hiếu làm 1mỡnh trong: 30 ngày.
Huy làm mộtngày được 1/15 cụng việc.
Huy làm 1 mỡnh trong 15 ngày.
Đỏp số: ..........
Bài 6: Người thứ nhất đi từ A đến B hết 3 giờ. Người thứ hai đi từ B đến A hết 4 giờ. Sau khi khởi hành cựng mọt lỳc từ A và B được 2 giờ thỡ hai người cỏch nhau 5km. Tớnh quóng đường AB.
Giải
- Học sinh cú thể giải theo cỏc bước sau:
+ Mỗi giờ người thứ nhất đi được 1/3 quóng đường, người thứ hai đi được 1/4 quóng đường.
+ Sau 2 giờ 2 người đi được 7/6 quóng đường.
+ 5km chớnh là 1/6 quóng đường.
+ Quóng đường AB là: 30km
Đỏp số:...
BÀI TOÁN GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGƯỢC TỪ CUỐI
 - Giỳp HS ụn tập về bài toỏn giải bằng phương phỏp tớnh ngược từ cuối.
.
Bài 1: Tỡm một số biết rằng số đú lần lượt cộng với 1 rồi chia cho 2 được bao nhiờu nhõn với 3 rồi trừ đi 4 thì được 5.
Giải
Số đú trước khi trừ đi 4 là: 5 + 4 = 9
Số đú trước khi nhõn với 3 là: 9 : 3 = 3
Số đú trước khi chia cho 2 là: 3 x 2 = 6
Số cần tỡm là: 6 - 1 = 5
Đỏp số: 5
Bài 2: Tỡm một số biết rằng nếu đem số đú chia cho 3 được bao nhiờu trừ đi 2 thỡ cũn 7.
Giải
Số phải tỡm sau khi chia cho 3 thỡ được:
7 + 2 = 9
Số cần tỡm là: 9 x 3 = 27
Đỏp số: 27
Bài 3: Tỡm một số biết rằng số đú nhõn với 4, được bao nhiờu đem cộng với 4 thỡ được kết quả là 7744.
Giải
Số đú trước khi cộng với 4 là: 7744 - 4 = 7740
Số cần tỡm là: 7740 : 4 = 1935
Đỏp số: 1935
Bài 4: Cả Huy và Hiếu cú 32 hũn bi. Nếu Huy cho Hiếu 4 hũn bi thỡ số bi của 2 bạn sẽ bằng nhau. Hỏi lỳc đầu mỗi bạn cú bao nhiờu hũn bi?
Giải
Sau khi cho nhau, mỗi bạn cú số bi là:
32 : 2 = 16 (bi)
Lỳc đầu Huy cú số bi là: 16 + 4 = 20 (bi)
Lỳc đầu Hiếu cú số bi là: 16 - 4 = 12 (bi)
Đỏp số:..............
Bài 5: Ba hoàng tử nước lỏng giềng muốn cầu hụn cụng chỳa. Vua cha đặt cõu hỏi: “Giỏ này đựng mận. Nếu ta cho hoàng tử thứ nhất một nửa số quả mận và thờm 1 quả, hoàng tử thứ hai một nửa cũn lại và thờm 2 quả, hoàng tử thứ ba một nửa số mận cũn lại và thờm 3 quả nữa thỡ giỏ mận khụng cũn quả nào.” Nếu ai tỡm được lỳc đầu cú bao nhiờu quả trong giỏ mận thỡ sẽ được gặp mặt cụng chỳa. Mấy hoàng tử nghĩ mói khụng ra, em hóy tỡm giỳp xem.
Giải
Sau khi cho hoàng tử thứ hai, trong giỏ cũn:
(0 + 3) x 2 = 6 (quả mận)
Sau khi cho hoàng tử thứ nhất, trong giỏ cũn:
(6 + 2) x 2 = 16 (quả mận)
Lỳc đầu trong giỏ cú số mận là:
(16 + 1) x 2 = 34 (quả)
Đỏp số: 4 quả
Bài 6: Kiờn, Hoà và Bỡnh cú 24 quyển vở. Nếu Kiờn cho Hoà một số vở bằng số vở Hoà hiện cú. Hoà cho Bỡnh một số vở bằng số vở Bỡnh hiện cú rồi Bỡnh lại cho Kiờn một số vở bằng số vở Kiờn hiện cú thỡ số vở của 3 bạn bằng nhau. Hỏi lỳc đầu mỗi bạn cú bao nhiờu quyển vở?
Giải
Vỡ tổng số vở là khụng đổi nờn lỳc sau, mỗi bạn cú số vở là: 24 : 3 = 8 (quyển vở)
Trước khi Bỡnh cho, Kiờn cú số vở là:
8 : 2 = 4 (quyển)
Sau khi nhận của Hoà, Bỡnh cú số vở là:
8 + 4 = 12 (quyển)
Lỳc đầu Bỡnh cú số vở là: 12 : 2 = 6 (quyển)
Trước khi cho Bỡnh, Hoà cú số vở là:
8 + 6= 14 (quyển)
Lỳc đầu Hoà cú số vở là: 
14 : 2 = 7 (quyển)
Lỳc đầu Kiờn cú số vở là: 8 - 4 + 7 = 11 (quyển)
(Hoặc 24 - (6 + 7) = 11 (quyển)
Đỏp số: ...
BÀI TOÁN GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGƯỢC TỪ CUỐI
Bài 1: Cú 3 thựng gạo, lấy số gạo ở thựng A đổ vào thựng B, rồi đổ số gạo hiện cú ở thựng B vào thựng C. Sau đú, đổ số gạo cú tất cả ở thựng C vào thựng A thỡ lỳc ấy số gạo ở mỗi thựng đều bằng 18kg. Hỏi lỳc đầu mỗi thựng cú bao nhiờu ki - lụ - gam gạo?
Giải
Số gạo thựng A nhận từ thựng C là:
18 : (10 - 1) x 1 = 2 (kg)
Số gạo ở thựng A chuyển cho thựng B là:
(18 - 2) : (3 - 1) x 1 = 8 (kg)
Lỳc đầu, thựng A cú số gạo là:
8 : 1 x 3 = 24 (kg)
Sau khi nhận, thựng B cú số gạo là:
18 : (4 - 1) x 4 = 24 (kg)
Lỳc đầu thựng B cú số gạo là:
24 - 8 = 16 (kg)
Thựng B chuyển cho thựng C số gạo là:
24 : 4 x 1 = 6 (kg)
Lỳc đầu thựng C cú số gạo là:
18 + 2 - 6 = 14 (kg)
Đỏp số: .............
Bài 2: An và Huy cựng chơi như sau: Nếu An chuyển cho Huy một số bi đỳng bằng số bi mà An đang cú, rồi Huy lại chuyển cho An một số bi đỳng bằng số bi cũn lại của An thỡ cuối cựng Huy cú 35 viờn bi và An cú 30 viờn bi. Hỏi lỳc đầu mỗi bạn cú bao nhiờu viờn bi?
Giải
An nhận của Huy số bi là: 
30 : 2 = 15 (bi)
Sau khi An cho, Huy cú số bi là: 
15 + 35 = 50 (bi)
Lỳc đầu, Huy cú số bi là: 
50 : 2 = 25 (bi)
Lỳc đầu An cú số bi là: 15 + 25 = 40 (bi)
Đỏp số: ...........
Bài 3: Một người bỏn một số cam như sau: lần đầu bỏn tổng số cam và thờm 1 quả, lần thứ 2 bỏn số cam cũn lại và thờm 1 quả, lần thứ 3 bỏn số cam cũn lại sau lần 2 và thờm 1 quả, cuối cựng cũn lại 10 quả. Hỏi người đú cú tất cả bao nhiờu quả cam?
Giải
Sau khi bỏn lần thứ hai người đú cũn số quả là:
(10 + 1) x 2 = 22 (quả)
Sau khi bỏn lần thứ nhất, người đú cũn số quả là:
(22 + 1) x 2 = 46 (quả)
Người đú cú tất cả số quả cam là:
(46 + 1) x 2 = 94 (quả)
Đỏp số: 94 quả.
Bài 4: Một người bỏn một số trứng như sau: Lần đầu bỏn tổng số trứng và thờm 2 quả, lần 2 bỏn số trứng cũn lại và thờm 2 quả, lần thứ 3 bỏn số trứng cũn lại sau khi bỏn lần 2 và thờm 2 quả. Cuối cựng cũn lại 10 quả. Hỏi người đú cú bao nhiờu quả trứng?
Giải
Sau khi bỏn lần thứ hai người đú cũn số quả là:
(10 + 2) x 2 = 24 (quả)
Sau khi bỏn lần thứ nhất, người đú cũn số quả là:
(24 + 2) x 2 = 52 (quả)
Người đú cú tất cả số quả cam là:
(52 + 2) x 2 = 108 (quả)
Đỏp số: 108 quả.
Bài 5: Lớp 5A tham gia học may, ngày thứ nhất cú số học sinh của lớp và 2 em tham gia, ngày thứ 2 cú số cũn lại và 1 em tham gia, ngày thứ 3 cú số cũn lại sau 2 ngày và 5 em tham gia, ngày thứ 4 cú số cũn lại sau 3 ngày và 1 em tham gia. Cuối cựng cũn lại 5 em chưa tham gia. Hỏi lớp 5A cú bao nhiờu học sinh?
Giải
Sau ngày thứ ba, số em cũn lại là:
(5 + 1) : (3 - 1) x 3 = 9 (em)
Sau ngày thứ hai, số em cũn lại là:
(9 + 5) : (5 - 3) x 5 = 35 (em)
Sau ngày thứ nhất, số em cũn lại là:
(35 + 1) : (4 - 1) x 4 = 48 (em)
Lớp 5A cú số học sinh là:
(48 + 2) : (6 - 1) x 6 = 60 (em)
Đỏp số: 60 em.
Bài 6: Cỏc lớp 4A, 4B, 4C chuyển ghế từ sõn trường vào cỏc phũng học. Cụ giỏo yờu cầu mỗi lớp phải chuyển số ghế. Lớp 4A đến sớm nhất và chuyển đỳng số ghế. Lớp 4B đến sau tưởng chưa cú lớp nào chuyển ghế nờn chỉ chuyển đỳng số ghế cũn lại. Lớp 4C đến sau cũng tưởng chưa cú lớp nào chuyển ghế nờn chỉ chuyển đỳng số ghế là 20 ghế. Hỏi lỳc đầu trờn sõn trường cú bao nhiờu ghế?
Giải
Theo bài ra ta cú sơ đồ (HS tự vẽ)
Sau khi lớp 4B chuyển thỡ số ghế cũn lại là:
20 x 3 = 60 (ghế)
Sau khi lớp 4A chuyển thỡ số ghế cũn lại là:
60 : (3-1) x 3 = 90 (ghế)
Lỳc đầu, trờn sõn trường cú số ghế là:
90 : (3 - 1) x 3 = 135 (ghế)
Đỏp số: 135 ghế.
TèM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI SỐ Để
Bài 1: Tổng số học sinh giỏi khối lớp 5 và khối lớp 4 của một trường học là 48 em. Tỡm số học sinh giỏi mỗi khối biết số em giỏi khối lớp5 nhiều hơn khối lớp 4 là 2 em. (BDHSG)
Giải
Tổng số học sinh giỏi hai khối là 48 em, hiệu số học sinh giỏi hai khối là 4 em. Ta cú sơ đồ (HS tự vẽ).
Số học sinh giỏi khối lớp 5 là: 
 (48 + 4) : 2 = 25 (em)
Số học sinh giỏi khối lớp 4 là: 25 - 4 = 21 (em)
Đỏp số: ....
Bài 2: Tổng hai số lẻ liờn tiếp bằng 180. Tỡm hai số đú. (BDHSG)
Giải
Hai số lẻ liờn tiếp hơn kộm nhau 2 đơn vị. Tổng của chỳng bằng 180, biết tổng và hiệu, ta cú sơ đồ (HS tự vẽ):
Số lẻ thứ nhất là: (180 - 2 ) : 2 = 89
Số lẻ thứ hai là: 89 + 2 = 91.
Đỏp số: 89 và 91
Bài 3: Tổng hai số lẻ là 98. Tỡm hai số đú biết giữa chỳng cú 4 số chẵn. (BDHSG)
Giải 
Giữa hai số lẻ cú cú 4 số chẵn thỡ hai số lẻ đú hơn kộm nhau là: 2 x 4 = 8. Từ đú làm tương tự bài 2 ta cú hai số cần tỡm là 45 và 53.
Bài 4: Lan cú nhiều hơn Hồng 12 quyển truyện nhi đồng. Nếu Hồng mua thờm 8 quyển và Lan mua thờm 2 quyển thỡ 2 bạn cú tổng cộng 46 quyển. Hỏi mỗi bạn cú bao nhiờu quyển truyện nhi đồng?
Giải
Nếu Hồng và Lan khụng mua thờm thỡ tổng số truyện của hai bạn là: 46 - (8 + 2) = 36 (quyển)
Ta cú sơ đồ: (HS tự vẽ sơ đồ với tổng là 36 và hiệu là 12).
Hồng cú số quyển là: (36-12):2=12 (quyển)
Lan cú số quyển là: 36 - 12 = 24 (quyển)
Đỏp số: .............
Bài 5: Hai hộp bi cú tổng cộng 115 viờn, biết rằng nếu thờm vào hộp bi thứ nhất 8 viờn và hộp thứ hai 17 viờn thỡ 2 hộp cú số bi bằng nhau. Hỏi mỗi hộp cú bao nhiờu viờn bi?
Giải
Vỡ nếu thờm vào hộp thứ nhất 8 viờn và hộp thứ hai 17 viờn thỡ số bi ở hai hộp bằng nhau nờn số bi ở hộp thứ nhất nhiều hơn số bi ở hộp thứ hai là: 17 - 8 = 9 (viờn)
Ta cú sơ đồ (HS tự vẽ sơ đồ với tổng là 115 và hiệu là 9)
Hộp thứ nhất cú: (115 + 9) : 2 = 62 (viờn)
Hộp thứ hai cú: 115 - 62 = 53 (viờn)
Đỏp số: .....................