Linh hoạt và sáng tạo trong giải toán tính diện tích hình tròn

Linh hoạt và sáng tạo
trong giải toán tính diện tích hình tròn
Đặt vấn đề:
 1. Lý do chọn đề tài:
       Trong trường phổ thụng bất cứ mụn học nào cũng cú một đặc trưng riờng của bộ mụn đú. Đối với mụn Toỏn là một mụn cú vị trớ rất quan trọng trong cuộc sống, trong khoa học và trong cụng nghệ hiện đại. Cỏc kiến thức và phương phỏp Toỏn học là một cụng cụ thiết yếu để giỳp học sinh học tốt cỏc mụn học khỏc và cũng cú thể giỳp học sinh hoạt động cú hiệu quả trờn tất cả cỏc lĩnh vực. 
 Dạy học về cỏc yếu tố hỡnh học là một trong năm kiến thức rất quan trọng của chương trỡnh toỏn ở tiểu học. Cỏc bài toỏn cú nội dung hỡnh học thỡ phần lớn là cỏc bài toỏn về diện tớch.
 Dạy học cỏc bài toỏn nõng cao về diện tớch cú ưu thế đặc biệt trong việc phỏt triển tư duy logic, úc quan sỏt, trớ tưởng tượng khụng gian và khả năng sỏng tạo cho học sinh tiểu học. Chớnh vỡ vậy mà cỏc bài toỏn về diện tớch ở trỡnh độ nõng cao tỏ ra cú sức hấp dẫn mạnh mẽ nhất đối với những đối tượng học sinh cú năng lực toỏn ban đầu.
 Dạy học và học cỏc bài toỏn nõng cao về diện tớch cũn là một cơ hội rất thuận lợi để phỏt hiện và bồi dưỡng những học sinh cú năng lực toỏn học. Chỉ khi giải cỏc bài toỏn nõng cao thỡ tài năng của cỏc em mới được bộc lộ và phỏt triển.
 Trong chương trình toán Tiểu học, các bài toán về tính diện tích hình tròn được khá nhiều học sinh ưa thích. Nhiều bài toán về tính diện tích hình tròn được giải bằng phương pháp số học rất độc đáo.
 Giải tốt các bài toán về tính diện tích hình tròn không những giúp các em học giỏi hình học mà còn học giỏi về số học. 
Đặc biệt có nhiều bài toán về tính diện tích hình tròn mang tính thực tế cao, giúp các em có thêm vốn kinh nghiệm trong cuộc sống.
Tìm ra đáp số của bài toán đã thú vị nhưng thật thú vị hơn nếu ta tìm ra nhiều con đường đi đến đáp số ấy. Mỗi con đường, mỗi hướng giải là một “nghệ thuật” vận dụng những kiến thức đã học một cách linh hoạt và sáng tạo. Sáng kiến kinh nghiêm này muốn được trao với các bạn về vấn đề “Linh hoạt và sáng tạo trong giải toán tính diện tích hình tròn”, với mong muốn giúp các em học sinh phần nào tìm thấy kinh nghiệm suy nghĩ, cách thức tìm ra lời giải của một bài toán về tính diện tích hình tròn. Từ đó giúp các em học sinh yêu thích môn toán nói chung và yêu thích các bài toán về tính diện tích hình tròn nói riêng nhằm nâng cao chất lượng dạy học.
 2. Cơ sở lý luận:
 Qua giải toỏn diện tớch, trớ tuệ của học sinh tiểu học được phỏt triển thể hiện qua khả năng phõn tớch tổng hợp, rốn luyện tư duy linh hoạt, cú thể núi khả năng giải toỏn diện tớch núi riờng giải toỏn núi chung được xem là khả năng riờng biệt, đặc trưng nhất trong hoạt động trớ tuệ của con người. Việc giải toỏn diện tớch là hỡnh thức tốt để đào sõu kiến thức, cũng cố rốn luyện kỹ năng, kỹ xảo giỳp học sinh tự mỡnh đi đến kiến thức một cỏch độc đỏo sỏng tạo. Đõy là hỡnh thức tốt nhất để học sinh tự đỏnh giỏ mỡnh và để thầy cụ đỏnh giỏ học sinh về năng lực và mức độ tiếp thu, sự vận động cỏc kiến thức đó học. Mặt khỏc, giải toỏn diện tớch gõy hứng thỳ học tập cho học sinh, phỏt triển tốt cỏc đức tớnh như : kiờn trỡ, dũng cảm, thụng minh, quyết đoỏn.
 3. Cơ sở thực tế:
 Khỏi niệm hỡnh trũn và cỏch tớnh diện tớch hỡnh trũn cỏc em đó được làm quen ở lớp 5. Đến khi học lờn THCS, cỏc em được học thờm ở mức độ cao hơn từ cỏc bài toỏn tớnh toỏn theo cụng thức đến cả những bài toỏn chứng minh phức tạp. Đõy là những kiến thức quan trọng, là nền tảng giỳp cỏc em học tốt ở bậc THCS hoặc cao hơn nữa...
Thực tế ở tiểu học hiện nay vấn đề này chưa được quan tõm đỳng mức nờn chưa phỏt huy được ưu thế của học toỏn nõng cao về diện tớch đối với việc phỏt triển trớ tuệ của học sinh.
 Do đú đề tài này muốn gúp phần cho cỏc em phỏt triển tư duy toỏn học của mỡnh thụng qua việc giải cỏc bài tập và làm tăng thờm niềm say mờ học toỏn của cỏc em.
II. GiảI quyết vấn đề:
Chúng ta hãy cùng đến với các bài toán sau : 
Bài toán 1. Khoanh vào chữ đặt trước câu trả lời đúng :
 Diện tích phần đã tô màu của hình vuông ABCD là :
 A. 13,76 cm2 B. 114,24 cm2	
 C. 50,24 cm2 D. 136,96 cm2
(Bài tập 4, trang 101, SGK Toán 5)
Phân tích : Diện tích phần tô màu chính bằng diện tích hình vuông ABCD trừ đi diện tích hình tròn. Dựa vào hình vẽ, ta thấy đường kính hình tròn bằng cạnh của hình vuông và bằng 8cm nên diện tích hình tròn là:
8 x 8 x 3,14 : 4 = 50,24 (cm2). Từ đó ta tìm được diện tích phần đã tô màu của hình vuông là 13,76cm2.
 Nhận xét : ở bài toán 1, khi tính diện tích hình tròn ta đã dùng công thức : 
S = d x d x 3,14 : 4 (d là đường kính hình tròn). Điều đặc biệt d x d chính là diện tích hình vuông ABCD. Như vậy nếu biết diện tích hình vuông thì ta sẽ tính được diện tích của hình tròn. 
 Bài toán 2. Hình bên có ABCD là hình vuông và có diện tích là 20 cm2. 
Tính diện tích phần đã tô màu của hình vuông ABCD.
 Phân tích : Diện tích phần tô màu chính bằng diện tích hình vuông ABCD trừ đi diện tích hình tròn. 
A
B
C
D
O
•
 Giải : Dựa vào hình vẽ, ta thấy đường kính hình tròn bằng cạnh của hình vuông nên diện tích hình tròn là : AB x AB x 3,14 : 4 = 20 x 3,14 : 4 = 15,7(cm2). 
Diện tích phần đã tô màu của hình vuông ABCD là : 20 – 15,7 = 4,3 cm2.
 Bài toán 3. Hình bên có ABCD là hình vuông và có diện tích là 20 cm2.
Tính diện tích phần đã tô màu của hình vuông ABCD.
 Phân tích : Diện tích phần tô màu chính bằng diện tích hình vuông ABCD trừ đi diện tích hai nửa hình tròn.
Giải : Dựa vào hình vẽ, ta thấy đường kính hình tròn bằng cạnh của hình vuông nên diện tích của hai nửa hình tròn là : BC x BC x 3,14 : 4 = 20 x 3,14 : 4 = 15,7(cm2). 
Diện tích phần đã tô màu của hình vuông ABCD là : 20 – 15,7 = 4,3 cm2.
 Bài toán 4. Hình bên có ABCD là hình vuông và có diện tích là 20 cm2. Tính diện tích phần tô màu.
 Phân tích : Diện tích phần tô màu chính bằng diện tích bốn nửa hình tròn. 
 Giải : Dựa vào hình vẽ, ta thấy đường kính hình tròn bằng cạnh của hình vuông nên diện tích hai nửa hình tròn là : AB x AB x 3,14 : 4 = 20 x 3,14 : 4 = 15,7(cm2).
A
B
C
D
Diện tích phần đã tô màu là : 15,7 x 2 = 31,4 (cm2).
 Bài toán 5. Hình bên có ABCD là hình vuông và có diện tích là 20 cm2.
Tính diện tích phần đã tô màu của hình vuông ABCD.
 Phân tích : Diện tích phần tô màu chính bằng diện tích hình vuông trừ đi diện tích bốn hình (1), (2), (3) và (4).
(4)
(2)
(3)
(1)
 Giải : Ghép bốn hình (1), (2), (3) và (4) lại với nhau ta được hình tròn có đường kính là cạnh hình vuông ABCD. Diện tích hình tròn đó là : 20 x 3,14 : 4 = 15,7(cm2). 
Diện tích phần đã tô màu là 20 – 15,7 = 4,3 (cm2).
Bài toán 6. Hình bên có ABCD là hình vuông và có diện tích là 20 cm2.
Tính diện tích phần tô màu.
 Phân tích : Diện tích phần tô màu bằng diện tích hình vuông ABCD trừ đi tổng diện tích các hình (1), (2), (3), (4) và (5).
 Giải : Diện tích các hình (1), (2), (3) và (4) là :
20 – 20 x 3,14 : 4 = 4,3 (cm2).
Diện tích hình (5) là : 20 – 20 x 3,14 : 4 = 4,3 (cm2).
Diện tích phần tô màu là : 20 – (4,3 + 4,3) = 11,4 (cm2).
 Bài toán 7. Cho ABCD là hình vuông có cạnh là 10cm. Tính diện tích hình “chiếc lá” (phần tô màu) có trong hình vuông. Biết hình “chiếc lá” tạo bởi một phần tư hình tròn tâm A, bán kính AB và một phần tư hình tròn tâm C, bán kính CB.
Phân tích : Diện tích hình “chiếc lá” bằng diện tích hình vuông ABCD trừ đi diện tích hình (1) và (2).
Giải : Diện tích một phần tư hình tròn tâm C, bán kính CB là : 
 10 x 10 x 3,14 : 4 = 78,5 (cm2).
Diện tích hình (1) là : 10 x 10 – 78,5 = 21,5 (cm2).
Tương tự ta tính được diện tích hình (2) là 21,5 (cm2).
Diện tích hình “chiếc lá” là : 10 x 10 – (21,5 + 21,5) = 57 (cm2).
 Bài toán 8. Trong hình bên, hình vuông có cạnh dài 14cm. Trên mỗi cạnh có dựng một nửa hình tròn bán kính 7 cm với tâm là trung điểm của cạnh đó. Tìm diện tích miền được tô trên hình đó. 
(Đề thi Olympic toán Đông Nam á, năm 2003)
 Phân tích : Diện tích miền được tô màu bằng diện tích 
hình vuông trừ đi tổng diện tích các hình (1), (2), (3) và (4). 
Giải : Diện tích hình (1) và (2) là : 14 x 14 – 7 x 7 x 3,14 = 42,14 (cm2).
Diện tích hình (3) và (4) là : 14 x 14 – 7 x 7 x 3,14 = 42,14 (cm2).
Diện tích miền được tô màu là : 14 x 14 – (42,14 + 42,14) = 111,72 (cm2).
 Bài toán 9. Cho hình vuông ABCD và hai hình tròn như hình vẽ bên. Tìm chu vi hình vuông biết tổng diện tích hai hình tròn là 37,68cm2.
(Thi tuyển sinh vào lớp 6, Trường Amsterdam – Hà Nội, năm 1997)
 Giải : Gọi R là bán kính hình tròn lớn, r là bán kính hình tròn nhỏ. Ta có : 
 - R x R = OA x OB = 2 x SOAB = SABCD.
M
N
 - r x r = OM x ON = SOMBN = SABCD. Vậy : R x R = 2 x (r x r). Suy ra diện tích hình tròn lớn gấp đôi diện tích hình tròn nhỏ. 
Diện tích hình tròn nhỏ là : 37,68 : (2 + 1) = 12,56 (cm2).
Do đó đối với bán kính r của hình tròn nhỏ ta có : r x r = 12,56 : 3,14 = 4 ((cm2).
Vì 2 x 2 = 4 nên r = 2 cm. Cạnh hình vuông gấp đôi bán kính hình tròn nhỏ, do đó cạnh hình vuông là : 2 x 2 = 4 (cm). Chu vi hình vuông là : 4 x 4 = 16 (cm).
Bài toán 10. Nếu AB = BC và diện tích của P là 3 cm2 (như được chỉ ra ở hình vẽ bên) thì diện tích phần tô màu là bao nhiêu xen – ti mét vuông ?
Phân tích : Diện tích phần tô màu chính bằng diện tích hình tròn tâm A bán kính AC trừ đi diện tích hình P.
 Giải : diện tích hình tròn tâm A bán kính AC là :
AC x AC x 3,14 : 4 = (2 x AB) x (2 x AB) x 3,14 : 4 = 4 x AB x AB x 3,14 : 4 
 = AB x AB x 3,14 = 4 x P = 4 x 3 = 12 (cm2). 
Diện tích phần tô màu là : 12 – 3 = 9 (cm2).
 Bài toán 11. Hình (I), (II) và (III) là ba nửa hình tròn bán kính khác nhau. Biết rằng tỉ lệ các đường kính của (I), (II) và (III) là 3 : 4 : 5 và diện tích của hình (III) là 24cm2. Tìm tổng diện tích của hình (I) và (II).
(Thi toán quốc tế Tiểu học – Hồng Kông)
 Phân tích : Tỉ lệ các đường kính của (I), (II) và (III) là 3 : 4 : 5 có nghĩa là nếu ta xem độ dài đường kính của hình (I) là 3 phần bằng nhau thì độ dài đường kính của hình (II) và hình (III) lần lượt là 4 phần và 5 phần như thế. Vì vậy nếu ta coi độ dài đường kính của
(I)
(II)
(III)
hình (III) là d thì độ dài đường kính của hình (I) và (II) lần lượt là x d và x d. 
 Giải : Diện tích hình (I) là : (x d) x (x d) x 3,14 : 8 = x d x d x 3,14 : 8 (cm2).
Diện tích hình (II) là : (x d) x (x d) x 3,14 : 8 = x d x d x 3,14 : 8 (cm2).
Diện tích hình (III) là : d x d x 3,14 : 8 = 24 (cm2).
Tổng diện tích của hình (I) và (II) là : 
x d x d x 3,14 : 8 + x d x d x 3,14 : 8 = d x d x 3,14 : 8 = 24 (cm2).
 Bài toán 12. Trong các hình dưới đây, diện tích của mỗi hình vuông lớn là 1cm2. Diện tích của hình vuông nhỏ hơn trong hình thứ hai bằng diện tích hình vuông lớn hơn. Diện tích của hình vuông nhỏ nhất trong hình thứ ba bằng diện tích hình vuông lớn thứ hai, cứ tiếp tục như vậy. Hãy tìm diện tích của hình tròn được tô đậm trong hình vuông thứ năm.
(Thi toán quốc tế Tiểu học – In-đô-nê-xi-a, năm 2004)
 Giải : Theo bài toán 2 ta có : 
Diện tích hình tròn được tô đậm trong hình thứ nhất là : 1 x 3,14 : 4 = x 3,14 (cm2). Diện tích hình tròn được tô đậm trong hình thứ hai là : x 3,14 : 4 = x 3,14 (cm2). Diện tích hình tròn được tô đậm trong hình thứ ba là : x 3,14 : 4 = x 3,14 (cm2). Diện tích hình tròn được tô đậm trong hình thứ tư là : x 3,14 : 4 = x 3,14 (cm2). Diện tích hình tròn được tô đậm trong hình năm là : x 3,14 : 4 = x 3,14 (cm2).
 Bài toán 13. Tính tổng diện tích hai hình trăng khuyết (phần tô màu) ở hình bên. Biết cạnh AC dài 3cm, cạnh AB dài 4cm và cạnh BC dài 5cm. Tam giác ABC có góc A là góc vuông.
 Phân tích : Tổng diện tích hai hình trăng khuyết bằng
tổng diện tích tam giác ABC, diện tích hình tròn đường kính AB, diện tích hình tròn đường kính AC trừ đi diện tích hình tròn đường kính CB.
 Giải : Diện tích hình tròn đường kính CB là : 5 x 5 x 3,14 : 4 : 2 = 9,8125 (cm2).
Diện tích tam giác ABC là : 3 x 4 : 2 = 6 (cm2).
Diện tích hình tròn đường kính AB là : 4 x 4 x 3,14 : 4 : 2 = 6,28 (cm2).
Diện tích hình tròn đường kính AC là : 3 x 3 x 3,14 : 4 : 2 = 3,5325 (cm2).
Tổng diện tích hai hình trăng khuyết là : (6 + 6,28 + 3,5325) – 9,8125 = 6 (cm2).
Bài toán 14. Hình bên cho ta thấy 4 hình vuông cạnh 10cm. Hình tô đậm giới hạn bởi các đường tròn.
Tính diện tích phần tô màu.
(Đề thi Olympic toán Singapore, năm 1997)
Phân tích : Diện tích phần tô màu bằng diện tích hình
1
3
2
hình tròn có bán kính bằng cạnh của hình vuông lớn trừ đi diện tích các hình (1), (2) và (3). Dựa vào hình vẽ ta thấy tổng diện tích hình (2) và hình (3) bằng diện tích hình (1) và bằng diện tích hình vuông cạnh 10cm.
 Giải : Cạnh hình vuông lớn là : 10 + 10 = 20 (cm)
Diện tích hình hình tròn có bán kính bằng cạnh của hình vuông lớn là :
20 x 20 x 3,14 : 4 = 314 (cm2).
Diện tích các hình (1), (2) và (3) là : 10 x 10 x 2 = 200 (cm2).
Diện tích phần tô màu là : 314 – 200 = 114 (cm2).
 Bài toán 15. Hình mẫu bên được tạo bằng cách vẽ các nửa hình tròn bên trong các hình vuông. Bán kính của ba loại nửa hình tròn tương ứng là 4cm, 2cm và 1cm. 
 Hỏi tổng diện tích phần tô màu bằng bao nhiêu xăng-ti-mét vuông ?
(Thi toán quốc tế Tiểu học – Hồng Kông)
Phân tích : Tổng diện tích phần tô màu chính là tổng diện tích các hình (1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8), (9), (10), (11) và (12). Dựa vào hình vẽ ta thấy tổng diện tích các hình (5) và (6) ; (7) và (8) ; (9) và (10) ; (11) và (12) đều bằng diện tích một nửa hình tròn có bán kính là 2cm. Suy ra tổng diện tích các hình (5), (6), (7), (8), (9), (10), (11) và (12) bằng hai lần diện tích hình tròn có bán kính là 2cm.
Giải : Vì bán kính của ba loại nửa hình tròn tương ứng là 4cm, 2cm và 1cm nên cạnh hình vuông lớn là 4 x 2 = 8 (cm). Diện tích hình vuông lớn là : 8 x 8 = 64 (cm2).
Diện tích hình tròn có bán kính bằng 4cm là : 4 x 4 x 3,14 = 50,24 (cm2).
Diện tích các hình (1), (2), (3) và (4) là : 64 – 50,24 = 13,76 (cm2).
Diện tích các hình (5), (6), (7), (8), (9), (10), (11) và (12) là :
2 x (2 x 2 x 3,14) = 25,12 (cm2).
Tổng diện tích phần tô màu là : 13,76 + 25,12 = 38,88 (cm2).
 Bài toán 16. Một cái ao hình tròn nay được mở rộng thành cái ao mới hình vuông (như hình vẽ bên). Biết diện tích phần tăng thêm của ao là 13,76 cm2 .
Tính diện tích cái ao hình vuông ABCD.
Giải : Gọi d là đường kính của hình tròn ta có :
Diện tích hình tròn là : x d x d x 3,14 (cm2).
Dựa vào hình vẽ ta thấy đường kính hình tròn bằng cạnh hình vuông ABCD. 
 Suy ra diện tích hình vuông ABCD là : d x d (cm2).
 Diện tích phần tăng thêm của ao bằng diện tích hình vuông ABCD trừ đi diện tích hình tròn. Do đó, ta có : d x d - x d x d x 3,14 = 13,76 (cm2).
Hay : 4 x d x d - d x d x 3,14 = 4 x 13,76 (cm2).
Suy ra : d x d = 55,04 : 0,86 = 64 (cm2).
Vậy diện tích cái ao hình vuông ABCD là 64 cm2.
Giải : Gọi d là đường kính của hình tròn ta có :
Diện tích hình tròn là : x d x d x 3,14 (cm2).
Dựa vào hình vẽ ta thấy đường kính hình tròn bằng cạnh hình vuông ABCD. 
Suy ra diện tích hình vuông ABCD là : d x d (cm2).
Diện tích phần tăng thêm của ao bằng diện tích hình vuông ABCD trừ đi diện tích hình tròn. Do đó, ta có : d x d - x d x d x 3,14 = 13,76 (cm2).
Hay : 4 x d x d - d x d x 3,14 = 4 x 13,76 (cm2).
Suy ra : d x d = 55,04 : 0,86 = 64 (cm2).
Vậy diện tích cái ao hình vuông ABCD là 64 cm2.
III. Kết thúc vấn đề:
1. Bài học kinh nghiệm:
- Cú những bài toỏn hỡnh học đũi hỏi phải biết vận dụng thao tỏc phõn tớch , tổng hợp trờn hỡnh đồng thời với việc tớnh toỏn trờn số đo diện tớch. Điều đú được thể hiện như sau :
 + Một hỡnh được chia thành nhiều hỡnh nhỏ thỡ diện tớch của nú bằng tổng diện tớch cỏc hỡnh nhỏ được chia.
 +Hai hỡnh cú diện tớch bằng nhau cũng cú phần chung thỡ hai phần cũn lại cú diện tớch bằng nhau.
 +Nếu ghộp thờm một hỡnh vào hai hỡnh cú diờn tớch bằng nhau thỡ sẽ được hai hỡnh mới cú diện tớch bằng nhau.
- Giỏo viờn cần hướng dẫn học sinh giải cẩn thận, tập luyện trờn nhiều vớ dụ tương tự. Để giải cỏc bài toỏn này học sinh cần thực hiện cỏc điều sau:
 + Nờu rừ yờu cầu và túm tắt được bài toỏn, phỏt hiện ra cỏc tỡnh huống quen thuộc, chuyển bài toỏn, phỏt biểu dưới dạng bài toỏn quen thuộc.
 + Giải bài toỏn theo quy trỡnh quen thuộc. 
 + Luụn chỳ ý đến khai thỏc bài toỏn, lập hệ thống bài toỏn liờn quan, tiến tới lập sơ đồ bài toỏn.
- Khi dạy, giỏo viờn cần trỏnh lối dạy ỏp đặt một chiều, phải đi từ những vớ dụ cụ thể, giỏo viờn dựng hệ thống cõu hỏi bổ sung (ớt hay nhiều tựy thuộc trỡnh độ nhận thức của học sinh) để hướng dẫn cỏc em rỳt ra những kết luận mới. Từ những kết luận mới giỏo viờn phải biết tổng quỏt húa bài toỏn để giỳp học sinh dễ nhớ.
- Khi cỏc em đó nắm chắc những kiến thức cơ bản, giỏo viờn phải ra đề phong phỳ hơn, nõng cao dần và khỏi quỏt húa bài toỏn.
- Phải chỳ ý khai thỏc và phỏt triển cỏc đề toỏn khỏc nhau trờn cơ sở một bài toỏn cơ bản đó cú, tạo cơ hội phỏt triển tư duy ở cỏc em. Khi thiết kế bài toỏn nờn liờn hệ gần gũi với cuộc sống, phải thường xuyờn đổi mới nội dung cho phự hợp với những vấn đề của thời đại.
- Phải kiờn trỡ khụng núng vội, khi học sinh chưa hiểu hoặc nắm chưa vững kiến thức giỏo viờn cần phải cú hệ thống cõu hỏi gợi mở nhằm giỳp cỏc em nắm trắc kiến thức, trỏnh làm thay cho học sinh.
- Đặc biệt giỏo viờn nờn khuyến khớch học sinh nờn tự ra đề rồi tự giải, cú như vậy cỏc em mới nhớ lõu, khắc sõu được kiến thức.
2. Kiến nghị và kết luận:
 1. Đối với giỏo viờn.
- Luụn chỳ ý yếu tố thực hành là then chốt của việc lĩnh hội kiến thức, và dạy kĩ năng là phương phỏp cơ bản của dạy cỏc yếu tố hỡnh học (học sinh tự đo, đếm, vẽ, cắt, ghộp, tự tỡm cỏch tớnh chu vi, diện tớch và rỳt ra cụng thức, tự đo, kiểm tra cho mỡnh, cho bạn trong giờ học hỡnh học...)
2. Đối với cỏc cấp quản lớ chuyờn mụn
-Tổ chức cỏc buổi chuyờn đề về dạy cỏc yếu tố hỡnh học để giỳp giỏo viờn cú điều kiện được trao đổi rỳt kinh nghiệm về mảng kiến thức này.
-Trong cỏc đề kiểm tra, nờn bổ sung một số bài tập nhỏ về hỡnh học nhằm phỏt hiện đối tượng học sinh giỏi. Vỡ hỡnh học đũi hỏi úc tưởng tượng, trớ sỏng tạo rất cao, khả năng trừu tượng cũng như kĩ năng vận dụng khả năng tư duy rất lớn nờn rất dễ nhận ra học sinh học giỏi Toỏn.
 Trong tác phẩm nổi tiếng “Giải bài toán như thế nào ?”, Polya G cho rằng : “Ví như dòng sông nào cũng bắt nguồn từ những con suối nhỏ, mỗi bài toán dù khó đến đâu cũng có nguồn gốc từ những bài toán đơn giản, có khi rất quen thuộc đối với học sinh ”. Vì vậy, trong quá trình tìm tòi lời giải các bài toán, việc tìm hiểu xuất xứ của chúng sẽ giúp học sinh nảy sinh ra những “ý chói lọi”, đôi lúc còn tìm được đúng chìa khoá để giải các bài toán đó. Đặc biệt, nếu phát hiện ra bài toán cần giải có nguồn gốc từ một bài toán trong sách giáo khoa, thì tình huống càng trở nên thú vị hơn.
 Việc học tập các kiến thức trong sách giáo khoa nói chung và giải các bài tập trong các sách ấy là hết sức cần thiết, vì chúng chính là những con suối nhỏ, giúp học sinh tạo ra những con sông lớn, con sông sáng tạo trong học tập bây giờ và phát minh, nghiên cứu khoa học sau này./. 
 Hà Tĩnh, ngày 12 tháng 4 năm 2013