Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải một số dạng bài toán liên quan đến dãy số cách đều

A . Đặt vấn đề
 Trong hệ thống Giáo dục có một bậc Tiểu học được coi là nền móng đó là bậc tiểu học . Tiểu học là cấp học nền tảng đặt cơ sở ban đầu cho việc hình thành và phát triển nhân cách của con người , đặt nền móng vững chắc cho giáo dục phổ thông và cho toàn hệ thống giáo dục quốc dân . Trong các môn học ở tiểu học thì môn toán là một trong những môn giữ vị trí vô cùng quan trọng .
 Để dạy và học tốt Bộ GD và ĐT đã nêu ra 3 phương hướng cơ bản trong công cuộc đổi mới giáo dục đào tạo đó là : Đổi mới chương trình SGK , đổi mới phương pháp học và đổi mới đánh giá kết quả học tập của học sinh . Trong đó việc đổi mới phương pháp dạy học được coi là nội dung trọng yếu . Đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực phải kích thích được nhu cầu và hứng thú học tập của học sinh, chú trọng rèn luyện tự học , chủ động sáng tạo trong việc phát hiện và giải quyết vấn đề . Tuy nhiên trong môn Toán ở Tiểu học về mảng kiến thức liên quan đến “ dãy số cách đều” thường khó và tạo cho học sinh tâm lí “ những bài toán này quá sức với khả năng của mình” 
 Với trăn chở làm sao để kích thích được nhu cầu và hứng thú học tập cho học sinh , giúp các em chủ động lĩnh hội kiến thức , tự tin khi làm các dạng bài về dãy số cách đều , tôi đã nghiên cứu và xin đưa ra “phương pháp giải một số dạng bài toán liên quan đến dãy số cách đều” nhằm nâng cao chất lượng dạy học nội dung liên quan đến dãy số cách đều nói riêng và môn Toán nói chung .
B . Nội dung và phương pháp giải quyết
1 . Thực trạng : 
Nội dung liên quan đến dãy dãy số cách đều có từ lớp 1 đến lớp 5 :
+ Lớp 1 học sinh đã được đếm 1; 3 ; 5 ; 7; 9... hay 0; 2; 4; 6; 8 ;...
+ Lớp 2 ,3 HS bước đầu phát hiện ra quy luật của dãy số cách đều thông qua các bài học về bảng nhân , bảng chia và bài tập điền số thích hợp vào 
 thích hợp : VD 
732
734
737
Đối với những bài tập này đa số HS đều làm rất tốt 
+ Lớp 4 ,5 HS được biết đến một số bài toán liên quan đén dãy số cách đều ở mức độ đòi hỏi học sinh phải tư duy thì đa phần HS cảm thấy khó , không tự đề ra được phương hướng làm bài , giải quyết bài toán , chưa tìm ra được kết quả đúng hoặc có tìm ra được nhưng chỉ mang tính chất suy đoán 
 Để thấy được hiệu quả sát thực của sáng kiến này tôi đã chọn 25 học sinh lớp 4 có trình độ khá giỏi làm khảo sát sau khi các em học hết học kì I với đề bài như sau : 
Bài 1 : Tìm quy luật viết số hạng trong mỗi dãy số cho tương ứng dưới đây rồi viết thêm 5 số nữa 
a, 3 ; 6; 9; 12; .....
b, 1; 5; 9; 13; ....
 Bài 2 Cho dãy số tự nhiên chẵn từ 2 đến 102 
a, Tìm trung bình cộng các số của dãy số trên 
b, Dãy số trên có tất cả bao nhiêu chữ số 
Bài 3 Cho dãy số lẻ liên tiếp : 1; 3; 5; 7; 9; ....; x 
Tìm x để số chữ số của dãy gấp 3 lần số các số hạng 
Thang điểm của mỗi bài như sau : 
Bài 1 : 3 điểm 
Bài 2 : ý a 3 điểm , ý b, 2 điểm 
Bài 3 ; 2 điểm 
 Sau khi học sinh làm bài khảo sát , tôi chấm tổng hợp thì thu được kết quả như sau : 
Điểm
25 học sinh
Giỏi
1 HS = 4 %
Khá
6 HS = 24 %
Trung bình
14 HS = 56 %
Yếu
4 HS = 16 %
Các em đạt điểm trung bình là các em chỉ biết vận dụng kiến thức cơ bản vào giải được bài tập 1 và làm được 1 phần nhỏ ở bài tập 2 nhưng các em vẫn còn nhầm giữa số và chữ số , các em không làm được bài tập 3 và nội dung cơ bản của bài tập 2 . Tôi nghĩ do các em cảm thấy khó , chưa có tư duy cao . Những em đạt điểm khá ngoài việc giải được bài tập 1 các em đã giải tương đối hoàn thiện bài tập 2 . Chỉ có duy nhất 1 em hoàn thành gần xong và đúng cả 3 bài tập . Căn cứ vào đó , tôi nhận thấy c`ác em học sinh khi làm bài đòi hỏi sự tư duy thì các em còn lúng túng , làm bài thiếu chính xác . Bởi vậy tôi đi nghiên cứu những vấn đề học sinh thường vướng mắc , gặp khó khăn trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến dãy số cách đều để đưa ra một số dạng bài và phương pháp giải các dạng bài đó .
 2 .Nguyên nhân :
Các bài toán liên quan đến dãy số cách đều thuộc phần nâng cao ở lớp 4 lớp 5 thường khó ,trừu tượng . Trong khi đó tư duy của HS Tiểu học là tư duy cụ thể mang tính hình thức ,trí nhớ trực quan hình tượng 
Bài tập vận dụng còn ít , chưa liên tục .Do đó trong quá trình giáo viên rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải các bài toán này gặp nhiều khó khăn , hạn chế
Một số học sinh còn lười suy nghĩ , chưa có ý thức vươn lên trong học tập 
Một số giáo viên còn xem nhẹ mảng kiến thức này , từ đó giáo viên chỉ đưa ra lời giải bài toán liên quan đến dãy số cách đều mà chưa đưa ra cho các em hướng tư duy cụ thể để có được lời giải đó 
3 .Vấn đề cần giải quyết :
 Để khắc phục thực trạng và nguyên nhân trên ,tôi xin giới thiệu với quý thầy cô và các em học sinh : “ Phương pháp giải một số dạng bài toán liên quan đến dãy số cách đều”
4 . Phương pháp tiến hành :
 Trong quá trình dạy học , không có một phương pháp ,hình thức dạy học nào là vạn năng . Do đó để dạy học có hiệu quả cần sử dụng phối hợp hài hoà giữa các phương pháp , hình thức sau: 
+ Phương pháp trực quan
+ Phương pháp vấn đáp
+ Phương pháp phân tích tổng hợp
+ Phương pháp thực hành , luyện tập
+ Thực nghiệm sư phạm
+ Phương pháp thống kê toán học để sử lí dữ kiện sau thử nghiệm 
Các dạng bài và phương pháp giải các bài toán liên quan đến dãy số cách đều 
Dạng 1 : Tìm quy luật viết dãy số cách đều 
 Bài tập 1 Tìm quy luật viết số hạng của mỗi dãy số sau rồi viết thêm 5 số nữa 
a, 0; 2; 4; 6; 8; ....
b, 1; 3; 5; 7; 9 ; ...
c, 6 ; 12; 18 ; 24 ; ...
Phân tích : Bài toán gồm mấy yêu cầu ? ( 2 yêu cầu : Tìm quy luật , viết thêm 5 số nữa )
Hai số tự nhiên liên tiếp trong dãy hơn ( kém ) nhau bao nhiêu đơn vị ?( Câu a , b 2 đơn vị , câu c là 6 đơn vị ) 
 Vậy quy luật viết các số trong dãy số trên là gì ? ( câu a , câu b là : Hai số tự nhiên liên tiếp trong dãy hơn ( kém ) nhau 2 đơn vị , 
câu c :Hai số tự nhiên liên tiếp trong dãy hơn ( kém ) nhau 6 đơn vị )
Bài giải ( cách 1 )
a, 
Nhận xét : 
0 + 2 = 2 ; 2 + 2 = 4 ; 4 + 2 = 6 ; 6 + 2 = 8 ; ...........
Quy luật : Hai số tự nhiên liên tiếp trong dãy hơn ( kém ) nhau 2 đơn vị 
 Dãy số mới khi viết thêm 5 số nữa là : 
, 0; 2; 4; 6; 8; 10 ; 12 ; 14; 16; 18
b,
Nhận xét : 
1 + 2 = 3 
3 +2 = 5 
5 + 2 = 7 
7 + 2 = 9 
......................
Quy luật : Hai số tự nhiên liên tiếp trong dãy hơn ( kém ) nhau 2 đơn vị ,
Dãy số mới khi viết thêm 5 số nữa là :
 1; 3; 5; 7 ; 9 ; 11 ; 13 ; 15 ; 17 ; 19 
c, Nhận xét : 
6 + 6 = 12 
12 + 6 = 18 
18 + 6 = 24 
..................
Quy luật : Hai số tự nhiên liên tiếp trong dãy hơn ( kém ) nhau 6 đơn vị ,
Dãy số mới khi viết thêm 5 số nữa là :
6 ; 12; 18 ; 24 ;30 ; 36 ; 42 ; 48 ; 54 
 Tương tự , em hãy tìm quy luật khác để viết dãy số tự nhiên ở câu a ? GV có thể gợi ý cho học sinh ( tìm mối quan hệ giữa số hạng và số chỉ vị trí , khoảng cách ) 
ở đây tôi cho học sinh thảo luận nhóm để tìm ra các quy luật khác cũng để viết dãy số trên . Khi hỏi các em đều trình bày được ( ở đây tôi chỉ trình bày quy luật còn viết thêm 5 số hạng vẫn giống như trình bày cách 1 )Nội dung các cách như sau : 
Bài giải ( cách 2 )
a, Nhận xét : 
0 = 1 x 2 - 2 
 2 = 2 x 2 - 2 ; 
4 = 3 x 2 - 2 
 6 = 4 x 2 - 2 
 ............................
Quy luật : Mỗi số hạng = số chỉ vị trí x khoảng cách - 2 
Tương tự : 
câu b , Quy luật : Mỗi số hạng = số chỉ vị trí x khoảng cách - 1
câu c, Quy luật : Mỗi số hạng = số chỉ vị trí x khoảng cách 
 Bài giải ( cách 3 )
a, Nhận xét : 
0 : 2 = 0 ( dư 0 ) 
2 : 2 = 1 ( dư 0 ) 
4 : 2 = 2 ( dư 0 ) 
..........................
Quy luật : Mỗi số hạng bất kì của dãy : 2 = ( số chỉ vị trí - 1 ) ( dư 0 )
Tương tự :
b, Quy luật : Mỗi số hạng bất kì của dãy : 2 = ( số chỉ vị trí - 1 ) ( dư 1 )
c, Quy luật : Mỗi số hạng bất kì của dãy : 6 = số chỉ vị trí ( dư 0 )
 Từ bài tập trên tôi đã giúp học sinh đưa ra được những nhận xét về cách tìm quy luật viết các số trong dãy số cách đều như sau : 
Trước tiên cần dựa vào những số mà bài đã đưa ra để tìm ra quy luật.
ở đây tôi xin trình bày 3 quy luật điển hình nhất để tập trung và phục vụ cho các em khi làm dạng bài sau của dãy số cách đều :
Cách 1 : Quy luật : Mỗi số hạng bất kì = số hạng liền trước nó + a 
( trong đó a chính là khoảng cách giữa 2 số liên tiếp trong dãy )
Cách 2 : Quy luật : Mỗi số hạng = số chỉ vị trí x khoảng cách .....
Cách 3: Quy luật : Mỗi số hạng bất kì của dãy : a = ( số chỉ vị trí .... ) ( dư ....)
( trong đó a chính là khoảng cách giữa 2 số liên tiếp trong dãy )
 Để phát huy tính tích cực chủ động lĩnh hội kiến thức của học sinh , tôi đã cho các em thi tự đặt đề toán về dạng bài “ tìm quy luật của dãy số cách đều” và tự giải các bài toán đó . Các em tham gia rất tích cực và thu được nhiều kết quả khả quan. Sau đây tôi xin trình bày 1 số đề toán các em đã xây dựng :
 Bài 1 Tìm quy luật viết số hạng trong mỗi dãy số sau : 
a, 1 ; 2; 3; 4; ....; 97 ; 98; 99
b,3 ; 6 ; 9 ; 12; 15 ; .....
c.10 ; 20 ; 30 ; 40 ; .....
Bài 2 Nêu quy luật viết số hạng trong mỗi dãy số sau rồi viết thêm 5 số nữa vào dãy số . 
a, 4; 8 ; 12; 16; 20 ; ....
b ; 3 ; 5 ; 7; 9; 11; ....
Tóm lại : Để giải tốt dạng toán này ( tìm ra được nhiều quy luật ) thì giáo viên nên hệ thống các quy luật như 3 cách tôi vừa trình bày . Tóm lại tất cả những quy luật đó đều được xây dựng từ các số hạng mà bài đã đưa ra , đồng thời dựa vào số chỉ vị trí ,khoảng cáchcủa các số hạng trong dãy. Khi đó học sinh sẽ tìm ra các quy luật một cách nhanh chóng .
Dạng 2 : Tính số các số hạng của dãy số cách đều
Bước 1 : Xây dựng công thức 
Để xây dựng công thức tôi đưa ra các ví dụ đơn giản sau :
 VD1 : Cho dãy số sau :
1; 2 ; 3; 4; 5; 6 ;7 ; 8 ; 9 
- Em hãy xác định quy luật của dãy ? < hai số đứng liền nhau hơn (kém ) nhau 1 đơn vị 
Ta nói khoảng cách giữa 2 số liền nhau của dãy là 1 
Từ đó tôi giúp cho học sinh khái quát : Hai số liền nhau trong dãy số cách đều hơn ( kém ) nhau x đơn vị thì x là khoảng cách 
Dãy số trên có bao nhiêu số hạng ? - HS đếm và dễ dàng phát hiện : Dãy số trên có 9 số hạng 
VD 2 : Xác định số các số hạng của dãy số sau :
 a, 1; 2 ; 3; 4; 5; 6 ;7 ; 8 ; 9 ;10 ; 11; 12
b, 1 ; 3; 5;7 ;9 
c, 1; 4;7; 10
d, 1 ; 3; 5;7 ;9 ....111;113 
 HS đếm và dễ dàng trả lời được:a,có 12 số hạng ;b,có 5 số hạng ;c, có 4 số hạng 
Còn câu d sẽ tạo ra vấn đề cần giải quyết đối với học sinh
Từ đó , tôi kẻ bảng và hướng dẫn học sinh thiết lập công thức như sau :
Dãy số
Khoảng cách
Số các số hạng
Nhận ... ng đó để tìm ra 2 số chính giữa . Từ đó tìm ra các số còn lại 
 	Tuy nhiên trong 1 số bài toán thì 1 trong 3 cách trên sẽ không phù hợp . Để làm sáng tỏ điều này tôi yêu cầu học sinh làm bài tập sau : 
Bài 4 : Tìm 10 số lẻ liên tiếp biết trung bình cộng của chúng bằng 1310 
 Phân tích : Em có nên sử dụng cách 1 không ? Vì sao ? ( Không vì nếu sử dụng cách 1 tức là tìm tổng của 10 số lẻ rồi biểu thị 10 đoạn thẳng tương ứng thì sẽ mất thời gian và trình bày bài giải không đẹp 
 Vậy các em nên tìm số nào trước ? ( Số thứ nhất và số thứ 10 hoặc số thứ 5 và số thứ 6 ) 
Tìm bằng cách nào ? ( tính tổng 2 số = TBC x 2 = 1310 x2 - 2620 và hiệu 2 số rồi tìm ra kết quả đó ) 
Và bài tập này tôi tổ chức cho học sinh thi " ai nhanh ai đúng " 
Bài giải ( cách 1 )
Gọi các số lần lượt từ số bé nhất là số thứ nhất 
Ta có : 
Số thứ nhất + số thứ 10 = số thứ 2 + số thứ 9 = ... Do đó tổng của số thứ nhất và số thứ 10 sẽ bằng 
1310 x 2 = 2620 
Vì mỗi nhóm gồm 2 số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị mà trong đó 10 số lẻ liên tiếp có 9 nhóm như vậy . Do đó hiệu của số thứ mười và số thứ nhất là : 
18
2620
2 x 9 = 18
Số thứ nhất 
Số thứ mười 
Số thứ nhất là : ( 2620 - 18 ) : 2 = 1301
 Số thứ mười là : 
1301 + 18 = 1319 
 Ta dễ dàng tìm được các số còn lại là : 
1303 ; 1305 ; 1307 ; 1309 ; 1311 ; 1313 ; 1317 ; 1315 
Vậy 10 số lẻ liên tiếp cần tìm là : 1301 ; 1303 ; 1305 ; 1307 ; 1309 ; 1311 ; 1313 ; 1315 ; 1317 ; 1319
Bài giải ( cách 2 )
Hai số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị , có 10 số lẻ liên tiếp nên trung bình cộng của 10 số đó chính là trung bình cộng của 2 số chính giữa . Vậy trung bình cộng của 2 số ở giữa là 1310
 Tổng của 2 số ở giữa là : 1310 x 2 = 2620
 Theo thứ tự từ bé đến lớn thì 2 số ở giữa chính là số thứ 5 và số thứ 6
2
2620
Số thứ năm 
Số thứ sáu
 Số thứ năm là : ( 2620 - 2 ) : 2 = 1309
 Số thứ sáu là : ( 1309 + 2 ) = 1311
Ta dễ dàng tìm được các số còn lại là : 
1307 ; 1305 ; 1303 ; 1301 ; 1313 ; 1315 ; 1317 ; 1319 
Vậy 10 số lẻ liên tiếp cần tìm là : 1301 ; 1303 ; 1305 ; 1307 ; 1309 ; 1311 ; 1313 ; 1315 ; 1317 ; 1319
Bài 5 Tìm 7 số tự nhiên cách đều 3 đơn vị và có trung bình cộng là 1391 
 Phân tích : 
+ Nếu tính tổng của 7 số tự nhiên cách đều rồi sau đó biểu thị 7 đoạn thẳng tương ứng , Khi đó sẽ phức tạp và mất thời gian 
+ Đối với bài này có 7 số tự nhiên cách đều nên số ở vị trí chính giữa sẽ là số thứ tư ( kể từ số bé nhất ) . Vậy số thứ là số nào ? ( Vì trung bình cộng của 7 số là 1391 nên số thứ tư là số 1391 ) 
 Vì đây là 7 số tự nhiên cách đều 3 đơn vị nên ta có thể tìm các số còn lại là bao nhiêu ? ( 1388 ; 1385 ; 1382 ; 1394 ; 1397 ; 1400 ) 
+ Tương tự bài tập 4 ta cũng có thể tìm 2 số lớn nhất và số bé nhất rồi từ đó tìm ra các số còn lại 
Bài giải ( cách 1 )
Gọi các số lần lượt từ số bé nhất là số thứ nhất 
Ta có : 
Số thứ nhất + số thứ 7 = số thứ 2 + số thứ 8 = ... Do đó tổng của số thứ nhất và số thứ 7 sẽ bằng :
1391 x 2 = 2782 
Vì mỗi nhóm gồm 2 số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 3 đơn vị mà trong đó 7 số liên tiếp có 6 nhóm như vậy . Do đó hiệu của số thứ mười và số thứ nhất là : 
3 x 6 = 18
18
2782
Số thứ nhất 
Số thứ bảy
Số thứ nhất là : ( 2782 - 18 ) : 2 = 1382
 Số thứ mười là : 
1382 + 18 = 1400
 Ta dễ dàng tìm được các số còn lại là : 
1385 ; 1388 ; 1391 ; 1394 ; 1397 ;
Vậy 7 số liên tiếp cần tìm là : 1382 ; 1385 ; 1388 ; 1391 ; 1394 ; 1397 ; 1400
Bài giải ( cách 2 )
 Theo bài ra có 7 số tự nhiên cách đều nên số ở chính giữa ( số thứ tư sẽ bằng trung bình cộng của 7 số tự nhiên 
Do đó : số thứ tư sẽ là : 1391 
 Vì đây là 7 số tự nhiên cách đều 3 đơn vị nên : 
Số thứ 3 sẽ là : 1391 - 3 = 1388 
Số thứ 2 sẽ là : 1388 - 3 = 1385 
Số thứ 1 sẽ là : 1385 - 3 = 1382
Số thứ 5 sẽ là : 1391 + 3 = 1394
Số thứ 6 sẽ là : 1394 + 3 = 1397
 Số thứ 7 sẽ là : 1397 + 3 = 1400
 Vậy 7 số tự nhiên cần tìm là : 1382 ; 1385 ; 1388 ; 1391 ; 1394 ; 1397 ; 1400 
 Như vậy từ bài tập trên ta có thể rút ra nhận xét dạng bài tìm các số hạng trong dãy số cách đều khi biết trung bình cộng như sau : 
+ Nếu dãy số cần tìm có nhiều số thì không nên tìm tổng các số trong dãy số 
+ Nếu số các số hạng của dãy số cần tìm là số lẻ thì trung bình cộng của chúng chính là số chính giữa . Từ đó ta dễ dàng tìm được các số còn lại 
+ Nếu số các số hạng của dãy số cần tìm là số chẵn thì trung bình cộng x 2 = tổng của 2 số chính giữa 
Tóm lại 
Để giải tốt dạng bài tìm trung bình cộng của 1 dãy các số cách đều , GV cần hướng dẫn và củng cố cho các em tốt các kĩ năng đã được học đó là : Kĩ năng tính số các số hạng của dãy số cách đều , kĩ năng tính tổng các số hạng của dãy số cách đều và cách tìm trung bình cộng của nhiều số hạng 
 Đối với bài toán ngược : Cho biết trung bình cộng các số trong dãy số cách đều yêu cầu tìm các số đó . GV cần hướng dẫn và củng cố cho các em tốt các kĩ năng và phương pháp tìm 2 số khi biết tổng và hiệu của 2 số , vận dụng linh hoạt trong những trưòng hợp cụ thể 
 Ngoài ra GV cũng có thể thay đổi nhiều hình thức trong quá trình dạy như : Hình thức vấn đáp , thảo luận nhóm , thi giải toán nhanh và đúng ... để nhằm tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh . 
5 . Kết quả
 Trên đây tôi đã trình bày được 1 số dạng bài tập " liên quan đến dãy số cách đều " . Với cách phân tích , tổng hợp kiến thức các em đã nắm chắc cách giải bài toán cơ bản có tư duy lôgic , phát triển khả năng sáng tạo trong quá trình giải quyết các bài tập ở dạng khó hơn và phương pháp hợp lí đối với các bài toán đòi hỏi sự tư duy nhiều hơn . Qua quá trình dạy học thực nghiệm để thấy được kết quả sát thực của các em tôi chọn 25 HS của lớp 4A do tôi dạy thực nghiệm và 25 HS ở lớp 4B do 1 GV trong khối 4 dạy để đối chứng kết quả với đề bài như nhau và đối tượng HS tương đồng nhau:
Đề bài : 
Bài 1: Tìm quy luật viét số trong mỗi dãy số được cho tương ứng như dưới đây rồi viết thêm 5 số nữa 
a, 1 ; 3; 5; 7; 9 ; ...
b , 7 ; 14 ; 21 ; 28 ; ...
c, 3 ; 7; 11 ; 15 ; ...
 Bài 2 Tìm trung bình cộng của tất cả các số tự nhiên chẵn từ 2 đến 98 
Bài 3 Tìm 3 số tự nhiên biết 2 số liền nhau hơn kém nhau 70 đơn vị và trung bình cộng của 3 số đó là 140 
Bài 4 Cho dãy số : 2 ; 4; 6 ; 8 ; ...190
a, Hỏi dãy số trên có bao nhiêu chữ số ? 
b , Tìm chữ số thứ 200 của dãy 
Bài 5 Cho dãy số lẻ liên tiếp 1 ; 3; 5; 7; ... ; x 
Tìm x để số chữ số của dãy gấp 4 lần số số hạng của dãy 
Thang điểm của mỗi bài như sau : 
Bài 1 : 1,5 điểm 
Bài 2 : 2 điểm 
Bài 3 : 1,5 điẻm 
Bài 4 : 3 điểm 
bài 5 : 2 điểm 
Tôi thu được kết quả như sau :
Điểm
Lớp 4A Sĩ số 25 HS 
Cách dạy mới 
Lớp 4B Sĩ số 25 HS 
Cách dạy truyền thống 
Giỏi 
12 HS = 48 %
2 HS = 8 %
Khá
11 HS = 44 % 
10 HS = 40 %
Trung bình 
2 HS = 8 %
10 HS = 40 %
Yếu
0
3 HS = 12 %
6 . Bài học kinh nghiệm
 Với mỗi dạng toán , loại toán trướpc khi gợi ý , hướng dẫn học sinh giảI thì giáo viên cần cho học sinh đọc kĩ đề bài , phân tích được đề bài và giúp các em có tư duy đúng . Từ đó cho các em nhận dạng đúng bài toán , tìm được cách giảI hợp lí cho từng bài . Sau mỗi dạng bài giáo viên nên chốt kiến thức cho học sinh để các em dễ dàng làm được các bài tập tương tự . 
 Bài tập giáo viên đưa ra cũng cần có 1 hệ thống từ dễ đến khó và bài sau liên quan đến kiến thức bài trước để vừa phát triển tư duy , vừa củng cố kiến thức cho học sinh 
7. Vấn đề còn hạn chế , hướng tiếp tục nghiên cứu
a, Về phía học sinh : Do trình độ nhận thức , khả năng tiếp thu bài của các em còn hạn chế , đối tượng học siinh trong một lớp chưa đồng đều và ý thức tự giác ở một số em chưa cao nên kết quả sáng kiến này còn chưa đạt như mong muốn 
b, Về phía giáo viên : Do thời gian có hạn nên trong phạm vi sáng kiến này tôI chưa đề cập được hết các loại bài trong từng dạng và một số dạng khác có liên quan và cũng chưa đưa ra được “ Phương pháp giải một số dạng toán về dãy số nói chung” để làm đối chứng cho học sinh phân biệt với trường hợp dãy số cách đều . Nếu có điều kiện , tôi sẽ nghiên cứu và trình bày vào những năm sau .
8 . Điều kiện áp dụng
Sau một thời gian tìm tòi nghiên cứu , tôi dã sưu tầm tổng hợp và phân dạng được một số bài toán dạng “ liên quan đến dãy số cách đều “ hệ thống các bài tập tôi cũng sắp xếp theo thứ tự từ dễ đến khó để phù hợp với sự tư duy của các em song các bài toán , dạng toán này chủ yếu áp dụng cho đối tượng học sinh khá giỏi , chỉ có phần : dạng bài tập tìm quy luật của dãy số cách đều và viết thêm vào dãy số và dạng bài “cho trung bình cộng của dãy các số cách đều yêu cầu tìm các số đó” thì tôi áp dụng vào dạy cho cả đối tượng học sinh đại trà .
C. Kết luận chung
 Xuất phát từ thực tế , chương trình Tiểu học mới ra đời với phương pháp dạy học lấy học sinh làm trung tâm , học sinh tự chiếm lĩnh tri thức còn giáo viên chỉ là người hướng dẫn điều khiển các hoạt động học tập của học sinh . Tôi đã đi theo đúng hướng đó , đồng thời trong quá trình dạy học tôi kết hợp cả hình thức trò chơi đố vui , thi đua khen thưởng , động viên khích lệ các em tạo cho các em khí thế hăng hái phát biểu , say mê học tập chủ động trong việc nắm bài giúp các em hiểu sâu , nhớ lâu . 
 Với sự giúp đỡ của tổ chuyên môn , của ban giám hiệu nhà trường , tôi đã thực hiện đổi mới phương pháp dạy học khi hướng dãn học sinh học tốt các dạng bài “ liên quan đến dãy số cách đều”. Nhưng do thời gian còn hạn chế và kinh nghiệm chưa nhiều nên trong phần trình bày sáng kiến này không thể tránh khỏi những thiếu sót , hạn chế . Tôi kính mong lãnh đạo các cấp , tổ nghiệp vụ Phòng giáo dục huyện , bạn bè góp ý chỉ bảo thêm để sáng kiến của tôi hoàn thiện hơn nữa . 
 Tôi xin chân thành cảm ơn !
 Nhuế Dương , ngày 8 tháng 12 năm 2009 
 Người thực hiện 
 Phạm Thị Tần 
Mục lục
A Đặt vấn đề 
B Nội dung và phương pháp giải quyết 
1 . Thực trạng 
2 . Nguyên nhân 
3 . Vấn đề cần giải quyết 
4. Phương pháp tiến hành
Dạng 1 . Tìm quy luật viết dãy số cách đêu 
Dạng 2 . Tính số các số hạng của dãy số cách đều 
Dạng 3 . Tìm số hạng thứ x của dãy số cách đều 
Dạng 4 . Tìm số chữ số của dãy số cách đều 
Dạng 5 . Tìm chữ số thứ x của dãy số cách đều 
Dạng 6 . Tính tổng các số hạng của dãy số cách đều 
Dạng 7 . Số chữ số gấp x lần số các số hạng 
Dạng 8 . Bài toán về trung bình cộng có liên quan đến dãy số cách đều
5. Kết quả 
6. Bài học kinh nghiệm 
7. Vấn đề còn hạn chế , hướng tiếp tục nghiên cứu 
8 . Điều kiện áp dụng 
C. Kết luận chung