Thử bàn về một dạng Toán tiểu học

THỬ BÀN VỀ MỘT DẠNG TOÁN TIỂU HỌC 
--------------------------- 
 Dạy giải toán 4;5, ñặc biệt toán nâng cao, ta gặp một dạng toán như sau - một dạng toán 
không khó nhưng có một số vấn ñề cần bàn thêm về phương pháp HD học sinh giải toán: 
 Bài toán 1: Một bể có 3 vòi nước: hai vòi chảy vào và một vòi chảy ra. Biết rằng vòi thứ 
nhất chảy 6 giờ thì ñày bể, vòi thứ hai chảy 4 giờ thì ñầy bể, vòi thứ ba tháo ra 8 giờ thì cạn bể. Bể 
ñang cạn, nếu mở cả 3 vòi cùng một lúc thí sau bao lâu ñầy bể? 
 (Bài 220- Toán BDHSG5-Sở GD-ðT Hà Nội-1997). 
 Bài toán 2: Người ta cho một vói nước chảy vào bể chưa có nước, giờ thứ nhất chảy ñược 
2/5 bể, giờ thứ hai chảy ñược 2/5 bể. 
a) Hỏi sau 2 giờ vòi nước ñó chảy ñược mấy phần bể? 
b) Nếu dã dùng hết một lượng nước bằng 1/2 bể thì số nước còn lại là mấy phần bể? 
 ( Bài tập 4 -trang 170- Toán 4-nxbgd 2009) 
 ðây là những bài toán thường ñược xếp vào nội dung luyện tập các phép tính về phân số. 
Bài toán 1 ñược giải như sau: 
 1 giờ vòi I chảy vào bể ñược: 1 : 6 = 
6
1
(bể) 
 1 giờ vòi II chảy vào bể ñược: 1 : 4 = 
4
1
(bể) 
 1 giờ vòi III chảy vào bể ñược: 1 : 8 = 
8
1
(bể) 
 1 giờ lượng nước còn lại trong bể khi mở cả 3 vòi một lúc là: 
 +
4
1
6
1
- 
24
7
8
1
= (bể) 
 Thời gian ñể bể ñầy nước là: 
7
24
24
7
:1 = (giờ) = 
7
3
3 (giờ). 
 Bài giải bài toán 2 
 Sau 2 giờ vòi nước ñó chảy ñược là: 
5
4
2x
5
2
= (bể) 
 Khi dùng hết 1/2 bể thì lượng nước còn lại là : 
5
4
- 
10
3
2
1
= (bể) 
 Thông thường giáo viên chỉ quan tâm các bước tính, thực hiện ñúng kết quả ñể ñánh giá kỹ 
năng tính toán với phân số. Vấn ñề tôi muốn trao ñổi với các ñồng nghiệp phương pháp hướng dẫn 
học sinh tiếp cận, tìm hiểu bản chất ñề toán: 
- Các bài toán có dạng trên ñây thuộc loại toán ñiển hình nào trong toán tiểu học. 
- 1 (một) ở ñâu ñể chia (6;4;8 trong bài toán 1 ). 
- Tại sao ñơn vị lại là “bể”. 
Giải quyết ñược các vấn ñề trên ñây giúp học sinh nhận ñịnh ñúng ñề toán, tìm ra cách giải, 
hiểu bản chất các bước tính, ñặt ñúng câu lời giải với các bài toán có dạng trên, mà có những bài 
khá phức tạp. 
a/ ðể giúp học sinh nắm dạng toán, giáo viên cho học sinh nhận ra những ñiểm giống nhau 
của các bài toán sau ñây: 
 Bài toán 3: Quảng ñường AB dài 180 km. Một ô tô ñi từ A ñến B mất 4 giờ, một xe máy ñi 
từ B ñến A mất 5 giờ. Hai xe khởi hành cùng một lúc. Hỏi kể từ lúc bắt ñầu ñi, sau mấy giờ ô tô gặp 
xe máy? 
Bài toán 4: Người thứ nhất ñi từ A ñến B mất 3 giờ, người thứ hai ñi từ B ñến A mất 4 giờ. 
Cả hai cùng khởi hành một lúc thì sau bai lâu sẽ gặp nhau? 
Bài toán 5: Bác Thành làm một công việc mất 3 giờ, bác Mai làm công việc ñó phải mất 4 
giờ. Hỏi cả hai bác cùng làm thì phải mất bao lâu mới xong công việc ñó? 
Bài toán 6: Vòi nước thứ nhất mỗi giờ chảy ñược 1/5 thể tích của bể, vòi nước thứ hai mỗi 
giờ chảy ñược 3/10 thể tích của bể. Hỏi cả hai vòi cùng chảy trong bao lâu thì bể ñầy nước? 
- Yêu cầu (câu hỏi) của cả 4 bài toán trên là : Tìm thời gian. 
Trong toán tiểu học chỉ có toán Chuyển ñộng ñều là có yêu cầu Tìm thời gian. 
- Cả 4 bài toán ñều có một khối lượng công việc phải hoàn thành: một quãng ñường, một 
công việc, một bể nước. Và cả 4 bài toán ñều có một “ lực lượng” ñể hoàn thanh công việc ñó. 
- Trong 4 bài toán, có vẻ như chỉ bài 3, bài 4 là thuộc toán chuyển ñộng ñều, cách giải 2 bài 
toán này rõ ràng áp dụng phương pháp giải toán chuyển ñộng ñều. 
Giải bài 5 và bài 6, cách giải hoàn toàn giống bài toán 4 (bài 6 ñơn giản hơn). 
Như vậy, có thể coi các bài toán 1;2;5;6 là các dạng (biến tướng) của toán chuyển ñộng ñều. 
 + ðại lượng Thời gian: các bài toán là như nhau. 
 + Quãng ñường: do nội dung thực tế từng bài toán mà có thể là “ một công việc”, “ 
một bề nước”, “ một kho hàng”, một rổ cam”, ... 
 + Vận tốc: có thể là “năng suất”, “mức làm việc”, “vận tốc” (vòi nước), “ mức bán-
chia”, “ sức chở”,... 
Nhận thức ñược vấn ñề giúp giáo viên có quy trình hướng dẫn học sinh giải toán, khắc phục 
tình trạng: 
 - Chưa có một tài liệu nào hướng dẫn quy trình dạy giải các bài toán có dạng này. 
- Giáo viên khi gặp các bài toán dạng này thường áp ñặt bước giải (như giải bài 1;2) hoặc 
nêu câu hỏi, ñưa ra kết quả trực tiếp, VD: Hỏi: Làm xong công việc thì mất 3 giờ, vậy làm 1 giờ 
ñược mấy phần công việc? KQ: 1 giờ bác Thành làm ñược 
3
1
 (công việc). 
- Học sinh máy móc suy diễn, không hiểu bản chất bước tính và trừu tượng khi tìm ñơn vị 
tính. 
Ví dụ: Giải bài toán 5, giáo viên hướng dẫn học sinh: 
 - Bài toán hỏi gì? 
( Thời gian cả bác Thành và bác Mai cùng 
làm ñể hoàn thành công việc) 
 - ðể biết 2 bác cùng hoàn thành công việc 
mất bao lâu ta làm gì? 
(lấy toàn bộ khối lượng công việc chia cho 
tổng năng suất của cả 2 bác). 
 Làm thế nào ñể biết tổng năng suất của cả 2 
bác? 
(lấy năng suất 2 người cộng lại với nhau)? 
 - Làm thế nào ñể tính năng suất mỗi người? 
(lấy toàn bộ công việc chia cho thời gian mà 
mỗi người làm một mình ñể hoàn thành công 
việc). 
Thời gian cả 2 bác cùng hoàn thành công 
việc 
 || 
Công việc : tổng năng suất cả 2 bác 
 || 
 NS bác Thành + NS bác Mai 
 || 
Công việc : t/gian bác Thành 
 Công việc : t/gian bác Mai 
 Ta cũng có thể hướng dẫn giải bài toán bằng PP sơ ñồ ñoạn thẳng theo cách hướng dẫn giải 
bài toán chuyển ñộng ñều có 2 ñộng tử chuyển ñộng ngược chiều: 
 Bác Mai: 4 giờ 
Cộng việc 
 Bác Thành: 3 giờ 
b/ Giáo viên giúp HS hiểu: 1 (một)- số bị chia trong các bước tính các bài toán dạng trên : 
+ Gíải bài toán 3 và bài toán 4, học sinh dễ dàng nhận ra cả 2 bài toán ñều lấy quãng ñường 
chia cho thời gian mỗi xe ñể tính vận tốc từng xe. Nhưng bài toán 3 quãng ñường có ñộ dài là một 
số ño cụ thể (nên vận tốc tính ñược là cũng là một số ño cụ thể), còn bài toán 4 quãng ñường chỉ là 
một “quãng ñường”, không có số ño cụ thể (nên vận tốc mỗi xe tính ñược là số phần quãng ñường 
mà xe ñó ñi ñược trên một ñơn vị thời gian). 
+ ðể HS hiểu thêm, GV ñưa HS trở về với bài toán dẫn ñến khái niệm phân số: Một quả 
cam chia cho 4 người cũng như một quãng ñường chia cho 4 giờ. 
+ Từ bài toán 4, khi hướng dẫn giải bài toán 5; 6, HS dễ nhận ra 1 ở mỗi bài toán là 1 công 
việc, 1 bể nước, ... 
c/ ðơn vị trong các bài toán này khác các bài toán thông thường ở chỗ không là ñơn vị cụ 
thể ( quả, km lít, m3, sản phẩm, ... ), giáo viên cho học sinh nhận ra sự tương tự trong các phép chia: 
số quả chia cho số người mỗi người ñược một số quả (ñơn vị kết quả phép tính là “quả”; số km chia 
cho số giờ ñược số km/giờ; ... Nên “ công việc” chia cho số giờ ñược ñơn vị ở kết quả phép tính là 
“công việc”, “bể” chia cho số giờ ñược ñơn vị là “bể”. 
d/ Từ những vấn ñề trên cũng cần bàn thêm về câu lời giải trong mỗi bước tính khi giải các 
bài toán chuyển ñộng ñều. 
Khi giải bài toán 3, các bước tính ñầu tiên có 2 cách ñể ñặt câu lời giải: 
CI: Mỗi giờ ô tô ñi ñược là: 180 : 4 = 45 (km) 
CII: Vận tốc của ô tô là: 180 : 4 = 45 (km/giờ). 
Khi câu lời giải ñặt theo CI thì ñơn vị chỉ là km, không thể là km/giờ, ñặt theo CII thì ngược 
lại.. 
Từ ñó ñể nói về những cách ñặt lời giải sau ñây: 
Ví dụ khi giải bài toán 5, giáo viên (và cả một số sách hướng dẫn dạy giải toán) thường ñặt 
câu lời giải cho các bước tính ñầu tiên: 
Mỗi giờ bác Thành làm ñược số phần công việc là: 1 : 3 = 
2
1
 (công việc) 
* Tất cả các câu lời giải kiểu này, về cú pháp là thừa một từ, ở ñây là từ “công việc”. Trong 
giải toán, câu lời giải là một câu khảng ñịnh, cả câu lời giải và phép tính là một câu văn trọn vẹn. 
* ðặt lời giải kiểu trên không giải quyết trọn vẹn nghĩa của bước tính: VD: (có bài toán) 
Ô tô ñi từ A ñến B mất 0,5 giờ, xe máy ñi từ B vè A mất 1 giờ. Hai xe khởi hành cùng một 
lúc. Hỏi sau bao lâu hai xe gặp nhau? Nếu giải: 
Mỗi giờ ô tô ñi ñược số phần quãng ñường là: 1 : 0,5 = 2 (quãng ñường) là 
hoàn toàn không ñược. Câu lời giải phải: Mỗi giờ ô tô ñi ñược (là): ... 
Cho nên bước giải trên phải là: 
 Mỗi giờ bác Thành làm ñược : 1 : 3 = 
2
1
 (công việc) 
Với bài toán 1 ở trên (câu lời giải nêu lại nguyên vẹn trong sách trích dẫn) bước tính phải là: 
Mỗi giờ vòi I chảy ñược: 1 : 6 = 
6
1
(bể) 
(là GV, chúng ta ai cũng biết “mỗi” khác “một”) 
Thử hướng dẫn học sinh giải một số bài toán theo hướng trên: 
Bài toán 7: Hai người thợ cùng làm một công việc, nếu ngời thứ nhất nhất làm một mình thì 
hết 10 giờ; người thứ hai làm một mình hết 15 giờ mới xong. ðầu tiên người thứ nhất làm một mình 
trong một số giờ sau ñó người thứ hai làm tiếp một mình 11 giờ thì xong công việc. Hỏi người thứ 
nhất làm trong mấy giờ? 
( ðề số 2 - Bộ ñề dự tuyển giao lưu TTT/2008) 
Hướng dẫn giải Bài giải 
-Thời gian làm việc của người thứ 
nhất = Phần CV người thứ nhất làm 
: NS người thứ nhất 
 -Phần CV người thứ nhất = CV - 
phần CV người thứ hai. 
- CV người thứ hai = NS người thứ 
 Mỗi giờ người thứ nhất làm ñược: 
1 : 10 = 
10
1
 (công việc) 
Mõi giờ người thứ hai làm ñược: 
1 : 15 = 
15
1
 (công việc) 
hai x thời gian người thứ hai làm 
việc (11 giờ). 
- NS người thứ nhất = CV:10 (giờ) 
- NS người thứ hai = CV:15 (giờ) 
Người thứ hai làm trong 11 giờ ñược 
15
1
 x 11 = 
15
11
 (công việc) 
Người thứ nhất ñã làm: 
1 - 
15
11
 = 
15
4
 (công việc) 
Thời gian người thứ nhất ñã làm là: 
15
4
 : 
10
1
 = 
15
40
 (giờ) = 
3
2
2 giờ 
= 2 giờ 40 phút 
Bài toán 8: Vòi nước thứ nhất chảy trong 5 giờ thì ñầy một cái hồ, vòi nước thứ hai chảy 
bằng 1/2 vòi thứ nhất. Vòi thứ ba có thể tháo hết hồ ñầy nước trong 14 giờ. Khi 2/7 hồ ñã có nước, 
người ta mở cùng một lúc cả 3 vòi. Hỏi sau bao lâu hồ ñầy nước? 
(111 bài toán chọn lọc lớp 5 - Huỳnh Phi, Huỳnh Bảo Châu) 
Hướng dẫn giải Bài giải 
- Thời gian ñể hồ ñầy nước? 
(= lượng nước cần bơm : 
lượng nước còn lại sau mồi 
giờ - khi mở cả 3 vòi). 
- Lượng nước cần bơm ? 
(= cả hồ - 
7
2
hồ) 
- Lượng nước còn lại sau 
mỗi giờ? 
(= tổng VT vòi I và vòi II - 
VT vòi III). 
- Vận tốc chảy mỗi vòi? 
( = cả hồ : thời gian mỗi vòi 
khi chảy một mình thì ñầy ( 
cạn) hồ. 
 Mỗi giờ vòi thứ nhất chảy ñược: 
1 : 5 = 
5
1
 (hồ) 
Mõi giờ vòi thứ hai chảy ñược: 
5
1
 : 2 = 
10
1
 (hồ) 
Mỗi giờ cả 2 vòi chảy ñược: 
5
1
 + 
10
1
 = 
10
3
 (hồ) 
Mõi giờ vòi thứ ba chảy ra hết: 
1 : 14 = 
14
1
 (hồ) 
Lượng nước còn lại sau mỗi giờ khi mở cả 3 
vòi là: 
10
3
 - 
14
1
 = 
35
8
 (hồ) 
Lượng nước cần bơm ñể ñầy hồ là: 
1 - 
7
2
 = 
7
5
 (hồ) 
Thời gian ñể hồ ñầy là: 
7
5
 : 
35
8
 = 
36
175
 (giờ) = 
8
1
2 giờ 
Rất mong nhận ñược sự góp ý và thảo luận thêm của các ñồng nghiệp ñể vấn ñề ñược sáng 
tỏ hơn. 
 Hoàng Thanh Cương 
 TH Quảng Lộc, Quảng Trạch, QB. 
 thanhcuong19@ymail.com