Bài tập Toán Lớp 4 - Tình nhanh

20.TÍNH NHANH
Bài 1:
        Tính nhanh
999999999:81-123456789:10+11111111,1         (9 chữ số 9 và 9 chữ số 1)
	Giải
999999999:81-123456789:10+11111111,1
= 12345679    –    12345678,9 + 11111111,1        
= 0,1 + 11111111,1
= 11111111,2                                   
Bài 2:
	Giải
a).
2/9 + 6/27 + 8/36 + 12/54 + 16/72 + 18/81 =
2/9 x 6 = 4/3
b).
(1-2/5)x(1-2/7)x(1-2/9)xx(1-2/99)=
3 x 5 x 7 x  x 97     =     3/99
5 x 7 x 9 x .x 99 
c).
Gọi A= 1/2+1/4+1/8+1/16++1/1024
Nhân A với 2:
Ax2 = 1+1/2+1/4+1/8+..+1/512
Ax2 – A = 1+1/2+1/4+1/8+..+1/512 – (1/2+1/4+1/8+1/16++1/512+1/1024)
A = 1 – 1/1024 = 1023/1024
Cách 2:
(1-1/2)+(1/2-1/4)++(1/512-1/1024) =
1 – 1/1024 = 1023/1024
Bài 3:
Tính tổng: 1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 +.............+ 99x100
	Giải
Gọi biểu thức trên là A, ta có :
A = 1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + ...+ 99x100
A x 3 = 1x2x3 + 2x3x3 + 3x4x3 + 4x5x3 + ... + 99x100x3
A x 3 = 1x2x3 + 2x3x(4-1) + 3x4x(5-2) + 4x5x(6-3) + ... + 99x100x(101-98)
A x 3 = 1x2x3 + 2x3x4 - 1x2x3 + 3x4x5 - 2x3x4 + 4x5x6 - 3x4x5 + ... + 99x100x101 - 98x99x100.
A x 3 = 99x100x101
A = 99x100x101 : 3
A = 333300
Bài 3b:
 	Tính: 1x3 +2x4+3x5+ 4x6+......+ 99x101 
 	Giải
1x3 +2x4 + 3x5 + 4x6 + ... + 99x101 = 
(2-1)(2+1) + (3-1)(3+1) + (4-1)(4+1) + (5-1)(5+1) + ...+ (100-1)(100+1) =
(2x2 -1) + (3x3 – 1) + (4x4 – 1) + (5x5 – 1) +  + (100x100 – 1) =
2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 +  + 100x100 – 99 =	(1)
Mà:
2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 +  + 100x100 =
2x(3-1) + 3x(4-1) + 4x(5-1) + 5x(6-1) + . + 100x(101-1) =
2x3-2 + 3x4-3 + 4x5-4 + 5x6-5 +  + 100x101-100 =
2x3 + 3x4 + 4x5 + 5x6 +  + 100x101 – (2+3+4+5++100) = 	(2)
Ta lại xét :
2x3 + 3x4 + 4x5 + 5x6 +  + 100x101 =
[2x3x(4-1) + 3x4x(5-2) + 4x5x(6-3) +  + 100x101x(102-99)] : 3 =
(2x3x4 – 1x2x3 + 3x4x5 – 2x3x4 + 4x5x6 – 3x4x5 +  + 100x101x102 – 99x100x101) : 3 = 
(100x101x102 – 1x2x3) : 3 = 343 398
Thay kết quả 343 398 vào (2) ta được :
343 398 – (2+100) x 99 : 2 = 338 349
Thay kết quả 348 447 vào (1) ta được :
338 349 – 99 = 338 250
Bài 4:
        Tính nhanh.
        8/9 x 15/16 x 24/25 x...x 2499/2500
	Giải
8/9 x 15/16 x 24/25 x...x 2499/2500
= (2x4)/(3x3) x (3x5)/(4x4) x (4x6) / (5x5) x ... x (49x51) / 50x50)
= 2x4x3x5x4x6x...x49x51 / 3x3x4x4x5x5x...x50x50 (giản ước tử và mẫu)
= (2x51) / (3x50)
= 17/25
Bài 5:
        Tính nhanh:
        A = 1/1x2x3 + 1/2x3x4 + 1/3x4x5 + ... + 1/98x99x100
	Giải
1/1x2x3= ½ x(1/(1x2) – 1/(2x3)    
1/2x3x4= ½ x(1/(2x3) – 1/(3x4)
1/3x4x5= ½ x(1/(3x4) – 1/(4x5)    
1/98x99x100= ½ (1/(98x99) – 1/(99x100)
A = ½ x (1/1x2 – 1/2x3 + 1/2x3 – 1/3x4 + 1/3x4 – 1/4x5  + .. + 1/98x99 – 1/99x100)
A = ½ x (1/1x2 – 1/99x100) =1/2 x ( ½ - 1/9900)
    = ½ x (4950/9900 – 1/9900) =1/2 x 4949/9900
A = 4949/19800
Hoặc :
Nhân A với 2 ta được:
A = 2/1x2x3 + 2/2x3x4 + 2/3x4x5 + ... + 2/98x99x100 
   = (1/1x2 – 1/2x3) + (1/2x3 – 1/3x4) + (1/3x4 – 1/4x5)  + .. + (1/98x99 – 1/99x100)
   = 1/1x2 – 1/99x100 = 1/2 – 1/9900 = 9898/19800
Vậy:
A = 1/1x2x3 + 1/2x3x4 + 1/3x4x5 + ... + 1/98x99x100 
   = 9898/19800 : 2 
A = 4949/19800 
Bài 6:
        Tính: A=1x2x3 + 2x3x4 ++ 100x101x102
	Giải
A=1x2x3 + 2x3x4 ++ 100x101x102
Nhân A với 4 ta được:
A x 4 = 1x2x3x4 + 2x3x4x 4 + 3x4x5x4 ++100x101x102x4
A x 4 = 1x2x3x4 + 2x3x4x(5-1) + 3x4x5x(6-2) + ... + 100x101x102x(103 - 99)
A x 4 = 1x2x3x4 + 2x3x4x5 - 1x2x3x4 + 3x4x5x6 - 2x3x4x5 + ... + 100x101x102x103 - 99x100x1001x102
Sau khi cộng - trừ giản ước ta có : A x 4 = 100x101x102x103
A = 100 x101x102x103 : 4 = 26527650 
Bài 7:
Tính nhanh: 11 x 34 – ( 34 + 6 x 34 + 102)
Tính nhanh:
11x34-(34+6x34+102) = 11x34 – [34x(1+6+3)] =  11x34 – 10x34 = 34 
Bài 8:
Tính nhanh:         2x3+3x4+4x5+5x6+....+29x30 
            Giải
Gọi biểu thức trên là A, ta có :
A = 1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + ...+ 29x30
A x 3 = 1x2x3 + 2x3x3 + 3x4x3 + 4x5x3 + ... + 29x30x3
A x 3 = 1x2x3 + 2x3x(4-1) + 3x4x(5-2) + 4x5x(6-3) + ... + 29x30x(31-28)
A x 3 = 1x2x3 + 2x3x4 - 1x2x3 + 3x4x5 - 2x3x4 + 4x5x6 - 3x4x5 + ... + 29x30x31 – 28x29x30.
A x 3 = 29x30x31
A = 29x30x31 : 3
A = 8990
Bài 9:
So sánh A và B biết:
A= 163% X 167%                           B= 165% X 165%
	Giải
Nhân A và B với 10000
A x 10000 = 163 x 167 = 165 x 163 + 165 + 161 = 165 x 164 + 161
B x 10000 = 165 x 165 = 165 x 164 + 165
Do 161 < 165 nên    A x 10000 < B x 10000
Hay:     A < B
Bài 10:
        Tính tổng :  A = 1 + 4 + 9 + 16 + .....+ 100 (A= 1x1 + 2x2 + 3x3 +  + 10x10)
	Giải
A = 1 + 4 + 9 + 16 + .. + 100
A = 1x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 +  + 10x10
A = 1x(2-1) + 2x(3-1) + 3x(4-1) + . + 10x(11-1)
A = 1x2 – 1 + 2x3 – 2 + 3x4 – 3 +  + 10x11 – 10
A = (1x2 + 2x3 + 3x4 + .. + 10x11) – (1+2+3+  + 10)
A = (10x11x12) : 3 – (1+2+3+ . +10)
A = 440 – 55 
A = 385
Bài 11: (Giống bài 10)
        Tính nhanh:  B = 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + .............. + 100 x 100
	Giải
B = 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + .............. + 100 x 100 
    = 1 x (2 - 1) + 2 x (3 - 1) + 3 x (4 - 1) + .................. + 100 x (101 – 1) 
    = 1 x 2 – 1 + 2 x 3 – 2 + 3 x 4 – 3 + ..................... + 100 x 101 – 100 
    = (1 x 2 + 2 x 3 + ............ + 100 x 101) – (1 + 2 + 3 + ................ + 100) 
    = (100 x 101 x 102) : 3 - (101 x 100 : 2)  
    = 343400 – 5050 
B = 338350
Bài 12:
        Tính tổng :  A = 4 + 16 + 36 + 64 +.....+ 10000
	Giải
A:4 = 1 + 4 + 9 + 16 + .. + 2500
A:4 = 1x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 +  + 50x50
A:4 = 1x(2-1) + 2x(3-1) + 3x(4-1) + . + 50x(51-1)
A:4 = 1x2 – 1 + 2x3 – 2 + 3x4 – 3 +  + 50x51 – 50
A:4 = (1x2 + 2x3 + 3x4 + .. + 50x51) – (1+2+3+  + 50)
A:4 = (50x51x52) : 3 – (1+2+3+ . +50)
A:4 = 46 852 – 1275 = 45 577
A = 45 577 x 4
A = 182 380
Bài 13:
        Tính M = 1 + 9 + 25 + 49 +...+ 9801
	Giải
Cộng 2 vế với: 4+16+36+.+10000
M + (4+16+36+.+10000) = 1+4+9+16+25+.+9801+10000
    = 1x1 + 2x2 + 3x3 + .. + 100x100
    = 1 x (2 - 1) + 2 x (3 - 1) + 3 x (4 - 1) + .................. + 100 x (101 – 1) 
    = 1 x 2 – 1 + 2 x 3 – 2 + 3 x 4 – 3 + ..................... + 100 x 101 – 100 
    = (1 x 2 + 2 x 3 + ............ + 100 x 101) – (1 + 2 + 3 + ................ + 100) 
    = (100 x 101 x 102) : 3 - (101 x 100 : 2)  
    = 343400 – 5050 
    = 338350
M + (4+16+36+.+10000) = 338350
Ta thầy : 4+16+36+.+10000 
    = 4x(1 + 4 + 9 + .. + 2500)
    = 4x(1x1 + 2x2 + 3x3 + .. + 50x50)
    = 4x(1 x (2 - 1) + 2 x (3 - 1) + 3 x (4 - 1) + .................. + 50 x (51 – 1)) 
    = 4x(1 x 2 – 1 + 2 x 3 – 2 + 3 x 4 – 3 + ..................... + 50 x 51 – 50 )
    = 4x[(1 x 2 + 2 x 3 + ............ + 50 x 51) – (1 + 2 + 3 + ................ + 50)]
    = 4x[(50 x 51 x 52) : 3 - (50 x 51 : 2)]  
    = 171700
Vậy:  M + 171700 = 338350
M = 338350 – 171700
M = 166 650
Bài 14:
        Tính nhanh:    (1/51 + 1/52 + 1/53 + ............. + 1/100) / (1/1x2 + 1/3x4 + .......... + 1/99x100)
	Giải
Xét mẫu số:   1/(2x3) + 1/(3x4) +  + 1/(99x100)
       = 1/1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + ......... + 1/99 – 1/100
       = (1 + 1/3 + ............ + 1/99) – (1/2 + 1/4 + .......... + 1/100)
       = (1 + 1/3 + ............ + 1/99)+(1/2+1/4+1/6+.+1/100) – (1/2+1/4+1/6+ .......... + 1/100)x2
       = (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ..... + 1/99 + 1/100) – (1 + 1/2  + 1/3 + ....... +1/50 )
       = 1/51 + 1/52 + 1/53 + ............. + 1/100            (Đơn giản số trừ)
Vậy:  (1/51 + 1/52 + 1/53 + ............. + 1/100) / (1/1x2 + 1/3x4 + .......... + 1/99x100)   = (1/51 + 1/52 + 1/53 + ............. + 1/100) / (1/51 + 1/52 + 1/53 + ............. + 1/100) = 1
Bài 14b:
A =  1/ 51 + 1/ 52 + 1/ 53 +...+ 1 /100   . Chứng minh :  7 /12 <A< 5/ 6 
1/51 ; 1/52 ; 1/53 ; . ; 1/74 đều lớn hơn 1/75
=> 1/51 + 1/52 +  + 1/75 > 25/75 = 4/12
1/76 ; 1/77 ; 1/78 ;  ;1/99 đều lớn hơn 1/100
=> 1/76 + 1/77 +  + 1/100 > 25/100 = 3/12
=> 1/51 + 1/52 +  + 1/100 > 4/12 + 3/12 = 7/12
Và
1/51 ; 1/52 ; 1/53 ; . ; 1/75 đều bé hơn 1/50
=> 1/51 + 1/52 +  + 1/75 < 25/50 = 6/12
1/76 ; 1/77 ; 1/78 +  ;1/99 đều bé hơn 1/75
=> 1/75 + 1/76 + 1/77 +  + 1/100 < 25/75 = 4/12
=> 1/51 + 1/52 +  + 1/100 < 6/12 + 4/12 = 5/6
Vậy: 7/12 < A < 5/6
Bài 15:
        Tính nhanh:   1/(1 x2) + 1/ (2 x 3) + 1/ (3 x 4) + ................. + 1/ (2013 x 2014)
	Giải
Ta thấy:
1/(1x2) = 1 – 1/2
1/(2x3) = 1/2 – 1/3
1/(3x4) = 1/3 – 1/4
Nên:   1/1 x2 + 1/ 2 x 3 + 1/ 3 x 4 + ................. + 1/ 2013 x 2014 =
1 – 1/2 + 1/2 – 1/3 + 1/3 – 1/4 + ........................ + 1/2013 – 1/2014 =
1 – 1/2014 = 2013/2014
Bài 16
        Tính A=  1/1x2x3 + 1/2x3x4 + 1/3x4x5 + ... + 1/2013x2014x2015
	Giải
Nhân 2 vế với 2:
Ax2 = 2/1x2x3 + 2/2x3x4 + 2/3x4x5 + ... + 2/2013x2014x2015
        = 1/1x2-1/2x3 +1/2x3 - 1/3x4 + 1/3x4 -1/4x5 + ...+1/2013x2014 - 1/2014x2015
        = 1/1x2 - 1/2014x2015 =  4056194 / 8116420
A = 4056194 / 8116420 : 2 
A = 2028097 / 8116420
Mở rộng: Mẫu số có tích 4 số tự nhiên liên tiếp như trường hợp sau ta 2 vế với 3. Chú ý là: 3 = 4-1 = 5-2 = 6-2 =  
A = 1/1x2x3x4 + 1/ 2x3x4x5 + 1/3x4x5x6 +  + 1/27x28x29x30 
A x 3 = 3/1x2x3x4 + 3/2x3x4x5 + 3/3x4x5x6 + .......... + 3/27x28x29x30
A x 3 = 1/1x2x3 - 1/2x3x4 + 1/2x3x4 - 1/3x4x5 + 1/3x4x5 - 1/4x5x6 + ........+ 1/27x28x29 - 1/28x29x30
A x 3 = 1/1x2x3 - 1/28x29x30 = 1/6 - 1/24360 = 146154 / 146160
A = 48718 / 146160
Bài 17:
        Tính:  S = 1x2-2x3+3x4-4x5+5x6-6x7+...-1998x1999+1999x2000
	Giải
S = 1x2-2x3+3x4-4x5+5x6-6x7+...-1998x1999+1999x2000
S = 1x2 +(3x4-2x3)+(5x6-4x5)+(7x8-6x7)+..+(1999x2000 – 1998x1999)
  = 2 + 3x(4-2) + 5x(6-4) + 7x(8-6) +  + 1999 x (2000-1998)
   = 2 + 3x2 + 5x2 + 7x2 +  + 1999x2
   = 2 x (1+3+5+7+..+ 1999) 
S = 2 x 1000000 = 2 000 000
Bài 18:
        Tính nhanh
                8/9 x15/16 x24/25 x 35/36 x ........x 99/100
	Giải
Ta thấy: 
8/9 = (2x4)/(3x3)  ;  15/16 = (3x5)/(4x4)  ;  24/25 = (4x6)/(5x5) ; . ; 99/100 = (9x11)/(10x10)
Nên có thể viết lại :
(2x4x3x5x4x6 x5x7x6x8x7x9x8x10x9x11) / (3x3x4x4x5x5x6x6x7x7x8x8x9x9x10x10)
 (2 x 11) / (3 x 10) = 22/30 = 11/15
Bài 19:
    Tính nhanh:
        1x4+2x5+3x6+...+99x102
	Giải
1x4+2x5+3x6+...+99x102 = 1x (2+2) + 2x(3+2) + 3x(4+2) + . + 99x(100+2) =
(1x2+2x3+3x4+ +99x100) + (2+4+6++198) =
Ta thấy: 1x2+2x3+3x4++99x100 nhân với 3 thì được
1x2x3+2x3x(4-1)+3x4x(5-2)++99x100x(101-98) =
1x2x3+2x3x4-1x2x3+3x4x5-2x3x4+.+99x100x101-98x99x100 =
99x100x101 = 999900
Vậy :  1 ... được:
41/117 x A = 1
A = 1 : 41/117
A = 117/41
Bài 24:
Tính: 
	Giải
 =
 = 
 =
 =
 =
 = = 
Bài 25:
Tính nhanh.
A = 1/3 + 1/6 + 1/10 + 1/15 + 1/21 + 1/28 + 1/36 + 1/45
	Giải
Nhân A với 1/2. Ta được:
A/2 = 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42 + 1/56 + 1/72 + 1/90
 = 1/(2x3) + 1/(3x4) +  + 1/(9x10)
 = 1/2 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + + 1/9 – 1/10
 = 1/2 – 1/10 = 4/10
A = 4/10 x 2 = 4/5
Bài 26:
Tính nhanh :	A = 
	Giải
Ta có thể viết lại :
A = 
A = 
A x 12 = 
A x 12 = 
A x 12 = = 
A = 
Bài 27:
So sánh A và B. Biết:
A  = 1 x 2 + 2 x 4 + 3 x 6 + 4 x 8 +5 x 10 / 3 x 4 + 6 x 8 + 9 x 12 + 12 x 16 + 15 x 20           
B = 11111 / 66665 
	Giải
A = 1x2 + 1x2x2x2 + 1x2x3x3 + 1x2x4x4 + 1x2x5x5 / 3x4 + 3x4x2x2 + 3x4x3x3 + 3x4x4x4 + 3x4x5x5
A = 1x2 x (4+9+16+25) / 3x4 x (4+9+16+25) = 1/6
A = 11111/66666
Vậy
A < B
Bài 28:
Tính: 	6+16+30+48+...+19600+19998
	Giải
B = 6 + 16 + 30 + 48 +...+ 19600 + 19998
Chia cả 2 vế cho 2 ta được
B/2 = 3 + 8 + 15 + 24 +  ......... + 98000+ 9999
B/2= 1x3+2x4+3x5+4x6+.+98x100+99x101
B/2= 100/6.[(100-1)x(2x100+1)] = 328350
Suy ra: B =328350x2=656700
Bài 29:
Tính:	1+ 3 + 6 +10 +...+4851+4950
	Giải
C=1+ 3 + 6 +10 +...+4851+4950
Nhân cả 2 vế với 2 ta được
           2xC= 1x2 + 2x3 + 2x6 +2x10 +  2x4851+2x4950
            2xC=2+6+12+20+..+9702+9900
2xC = 1.2+2.3+3.4+...+99.100 = 333300
 Suy ra:       A= 333300:2 = 166650
Bài 30:
Tính:	D = 2 + 5 + 9 + 14 + ....+ 4949 + 5049
	Giải
Nhân cả 2 vế với 2 ta được
2xD=1x4+    2x5+ 3x6+   4x7+..+98x101+99x102
2xD = 1(2+2)+2(3+2)+3(4+2)+...+99(100+2)
2xD = 1x2+1x2+2x3+2x2+3x4+3x2+...+99x100+99x2
2xD= (1x2+2x3+3x4+...+99x100)+2(1+2+3+...+99)
2xD =           333300       +                      9900        =      343200
 Suy ra : D= 343200 :2 =171600
Bài 31:
Tính: S = 2 + 2x2 + 2x2x2 + 2x2x2x2 + 2x2x2x2x2
 	Giải
Sx2 = 2x2 + 2x2x2 + 2x2x2x2 + 2x2x2x2x2 + 2x2x2x2x2x2
Sx2 – S = (2x2 + 2x2x2 + 2x2x2x2 + 2x2x2x2x2 + 2x2x2x2x2x2) – (2 + 2x2 + 2x2x2 + 2x2x2x2 + 2x2x2x2x2)
S = 2x2x2x2x2x2 – 2
Bài 32:
Chứng minh rằng với n là số tự nhiên, n>1 thì:
3/(9x14)+3/(14x19)+....+3/[(5n-1)x(5n +4)] <1/15
	Giải
Đặt A = 3/(9x14)+3/(14x19)+....+3/[(5n-1)x(5n +4)]
Nhân A với 5/3 ta được:
5/3A = 5/(9x14)+5/(14x19)+....+5/[(5n-1)x(5n +4)]
5/3A = 1/9 – 1/(5n+4) 
A = 3/5 x [1/9 – 1/(5n+4)]
Với n > 1 thì [1/9 – 1/(5n+4)] < 1/9
Mà 3/5 x 1/9 = 1/15
Suy ra: A = 3/5 x [1/9 – 1/(5n+4)] < 1/15
Hay: 3/(9x14)+3/(14x19)+....+3/[(5n-1)x(5n +4)] <1/15
Bài 33:
Cho A = 2/3^2 +2/5^2+2/7^2 +.....+2/2007^2. Chứng minh A <1003/2008
	Giải 
Ta thấy
2/(3x3) < 2/(2x4) = 1/2 – 1/4
2/(5x5) < 2/(4x6) = 1/4 – 1/6
2/(7x7) < 2/(6x8) = 1/6 – 1/8
2/(2007x2007) < 2/(2006x2008) = 1/2006 – 1/12008
Nên: 
A = 2/3^2 +2/5^2+2/7^2 +.....+2/2007^2 < 2/(2x4) + 2/(4x6) + . + 2/(2006x2008) <
1/2 – 1/4 + 1/4 – 1/6 + 1/6 – 1/8 +  + 1/2006 – 1/2008 =
1/2 – 1/2008 = 1003/2008
Vậy: A < 1003/2008
Bài 34:
Tính hiệu của A và B, biết:
A = 1x2x3x ... x15x16
B = 1 + (2x(1x2) + 3x(1x2x3) + ... + 15x(1x2x3x...x15)
	Giải 
Ta có: A = 1 x 2 x 3 x 4 x .. x 15 x (15 + 1)
               = 15 x (1 x 2 x 3 x 4 x .. x 15) + (1 x 2 x 3 x 4 x .. x 15)
Cùng bớt ở A và B số hạng 15 x (1 x 2 x 3 x 4 x .. x 15) ta có:
A= 1 x 2 x 3 x 4 x .. x 15                        
B = 1+2x (1 x 2)+3 x(1 x 2 x 3) +4 x(1 x 2 x 3 x 4)+  +14 x(1 x 2 x 3 x.. x 14)
Tương tự: A = 1 x 2 x 3 x 4 x .. x 14 x (14 + 1)
Cùng bớt ở A và B số hạng 14 x (1 x 2 x 3 x 4 x .. x 14) ta có:
A= 1 x 2 x 3 x 4 x .. x 14
B = 1+2x (1 x 2)+3 x(1 x 2 x 3) +4 x(1 x 2 x 3 x 4)+  +13 x(1 x 2 x 3 x.. x 13)
Theo quy luật phân tích như vậy ta có phép phân tích cuối cùng là:
A = 1 x 2 x 3 = 1 x 2 x (2 + 1) = 2 x (1 x 2) + 1 x 2
Lấy A – B = 2 x (1 x 2) + 1 x 2 – (1+2x (1 x 2)) = 1
Vậy A – B = 1.
Bài 35:
Tính  
(1+1/31+1/41+1/51)x(1/31+1/41+1/51+1/61) - (1+1/31+1/41+1/51+1/61)x(1/31+1/41+1/51)
	Giải 
Đặt 
A = (1+1/31+1/41+1/51) x (1/31+1/41+1/51+1/61)
 = (1/31+1/41+1/51) x (1/31+1/41+1/51+1/61) + (1/31+1/41+1/51+1/61)
B = (1+1/31+1/41+1/51+1/61) x (1/31+1/41+1/51)
 = (1/31+1/41+1/51+1/61) x (1/31+1/41+1/51) + (1/31+1/41+1/51)
Ta thấy: 
(1/31+1/41+1/51) x (1/31+1/41+1/51+1/61) = (1/31+1/41+1/51+1/61) x (1/31+1/41+1/51)
A – B = (1/31+1/41+1/51+1/61) – (1/31+1/41+1/51) = 1/61
Hay: 
(1+1/31+1/41+1/51)x (1/31+1/41+1/51+1/61) - (1+1/31+1/41+1/51+1/61)x(1/31+1/41+1/51) = 1/61
Bài 36:
Chứng minh: 
1/2x2 +1/3x3+1/4x4+.....+1/100.100 < 3/4
	Giải 
Nhân với 2 ta được:
2/2x2 +2/3x3+2/4x4+.....+2/100.100 < 3/2
Ta thấy:
2/2x2 < 2/1x3 = 1/1 – 1/3
2/3x3 < 2/2x4 = 1/2 – 1/4
2/4x4 < 2/3x5 = 1/3 – 1/5
2/5x5 < 2/4x6 = 1/4 – 1/6
2/6x6 < 2/5x7 = 1/5 – 1/7
.
2/99x99 < 2/98x100 = 1/98 – 1/100
2/100x100 < 2/99x101 = 1/99 – 1/101
Suy ra :
2/2x2 +2/3x3+2/4x4+.....+2/100.100 < 1/1 – 1/3 + 1/2 – 1/4 + 1/3 – 1/5 + 1/4 – 1/6 + 1/5 – 1/7 + +1/98 – 1/100 + 1/99 – 1/101 = 1 + 1/2 – 1/100 – 1/101 = 3/2 – (1/100 + 1/101) < 3/2
Hay :
1/2x2 +1/3x3+1/4x4+.....+1/100.100 < 3/4
Bài 37:
Rút gọn A=(1/2+1/3+1/4+...+1/2013)/(2012/1+2012/2+2011/3+...+1/2013)
	Giải 
Ta thấy:  (mẫu số).
2012/1+2012/2+2011/3+...+1/2013 =
(1+1+1++1) + 2012/2+2011/3+...+1/2013 =
2012 số hạng
(1 + 2012/2) + (1 + 2011/3) + .+ (1+1/2013) =
2014/2 + 2014/3 + . + 2014/2013 =
2014 x (1/2 + 1/3 +  + 1/2013) =
Suy ra:
(1/2+1/3+1/4+...+1/2013)/(2012+2012/2+2011/3+...+1/2013) =
(1/2+1/3+1/4+...+1/2013)/ 2014 x (1/2+1/3+1/4+...+1/2013) =  1/2014
Bài 38:
1x3 +2x4+3x5+ 4x6+......+ 99x101 =
	Giải 
1x(2+1) + 2x(3+1) + 3x(4+1) + . + 99x(100+1) =
1x2 + 1 + 2x3 + 2 + 3x4 + 3 + . + 99x100 + 99 =
(1x2 + 2x3 + 3x4 + . + 99x100) + (1+2+3+  + 99) = (1)
Ta tính:
(1x2 + 2x3 + 3x4 + . + 99x100) x 3 =
1x2x3 + 2x3x(4-1) + 3x4x(5-2) + . + 99x100x(101-98) =
1x2x3 – 1x2x3 + 2x3x4 – 2x3x4 + 3x4x5 -  -98x99x100 + 99x100x101 = 99x100x101
Suy ra : 
1x2 + 2x3 + 3x4 + . + 99x100 = (99x100x101) : 3 = 333300
Thay vào (1) ta được:
(1x2 + 2x3 + 3x4 + . + 99x100) + (1+2+3+  + 99) =
333300 + 4950 = 338250
Bài 39:
Tính:  
Viết lại:
(1x2):2/1 + (2x3):2/2 + (3x4):2/3 +  + (199x200):2/199 =
(1x2)/2 + (2x3)/(2x2) + (3x4)/(3x2) +  + (199x200)/(199x2) =
2/2 + 3/2 + 4/2 + . + 200/2 =
(2+3+4+  + 200)/2 = [(2 + 200) x 199 : 2]/2 = 20099/2 
(dãy số có 199 số hạng)	
Cách khác:
(1x2)/2 + (2x3)/(2x2) + (3x4)/(3x2) +  + (199x200)/(199x2) =
2/2 + 3/2 + 4/2 + . + 200/2 =
1 + 1,5 +2 + 2,5 + ... + 100 = (1+100) x 199 : 2 = 20099/2 = 10049,5
(dãy số có 199 số hạng)	
Bài 40:
So sánh hai phân số:  và 
Ta thấy: 
23500235 : 235 = 100 001
235235235 : 235 = 1 001 001
=> 23500235 / 235235235 = 100 001/ 1 001 001 (1)
1954001954 : 1954 = 1 000 001
195419541954 : 1954 = 100 010 001
=> 1954001954 / 195419541954 = 1 000 001 / 100 010 001 (2)
Nhân (1) và (2) với 100 ta được:
10 000 100 / 1 001 001 > 1 (1a)
100 000 100 / 100 010 001 <1 (2a)
Từ (1a) và (2a) suy ra
23500235 / 235235235 > 1954001954 / 195419541954
Bài 41:
Cho A=1/(1x2) + 1/(3x4) + 1 /(5x6) +...+1/(2015x2016) 
 và B=1/1008 + 1/1009 + 1/1010 +...+ 1/2016.
Tính B - A
Viết lại.
A=1 / 1x2 + 1 / 3x4 + 1 / 5x6 +...+1 / 2015x2016 và B=1 / 1008 + 1 / 1009 + 1 / 1010 +...+1 / 2016.
Ta thấy:
A = 1/1x2 + 1/3x4 + 1/5x6 + . + 1/2015x2016
 = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + . + 1/20115 - 1/2016
 = 1 + 1/3 + 1/5 + . + 1/2015 - (1/2 + 1/4 + 1/6 +  + 1/2016)
 = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + . + 1/2016 - (1/2 + 1/4 + 1/6 +  + 1/2016) x 2
 = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +  + 1/2016 - (1 + 1/2 + 1/3 +  + 1/1008)
A = 1/1009 + 1/1010 + 1/1011 +  + 1/2016
B - A = (1/1008 + 1/1009 + 1/1010 +  + 1/2016) - (1/1009 + 1/1010 + 1/1011 + . + 1/2016)
B - A = 1/1008
Bài 42:
Tính: (2/3 +3/4 + 4/5 + ... + 2016/2017) x (1/2 + 2/3 + 3/4 + ... + 2015/2016) – (1/2 + 2/3 + 3/4 + ... + 2016/2017) x (2/3 +3/4 + 4/5 + ... + 2015/2016) 
 	Giải
Số bị trừ:
(2/3 +3/4 + 4/5 + ... + 2015/2016 + 2016/2017) x (1/2 + 2/3 + 3/4 + ... + 2015/2016) =
(2/3 +3/4 + 4/5 + ... + 2015/2016) x (1/2 + 2/3 + 3/4 + ... + 2015/2016) + 2016/2017 x (1/2 + 2/3 + 3/4 + ... + 2015/2016) 
Số trừ:
(1/2 + 2/3 + 3/4 + ... + 2015/2016 + 2016/2017) x (2/3 +3/4 + 4/5 + ... + 2015/2016) =
(1/2 + 2/3 + 3/4 + ... + 2015/2016) x (2/3 +3/4 + 4/5 + ... + 2015/2016) + 2016/2017 x (2/3 +3/4 + 4/5 + ... + 2015/2016) 
Ta thấy số bị trừ và số trừ có số hạng giống nhau là:
(2/3 +3/4 + 4/5 + ... + 2015/2016) x (1/2 + 2/3 + 3/4 + ... + 2015/2016)
Nên phép trừ trên có thể viết lại:
2016/2017 x (1/2 + 2/3 + 3/4 + ... + 2015/2016) - 2016/2017 x (2/3 +3/4 + 4/5 + ... + 2015/2016) = 
2016/2017 x [(1/2 + 2/3 + 3/4 + ... + 2015/2016) - (2/3 +3/4 + 4/5 + ... + 2015/2016)] =
2016/2017 x 1/2 = 1008/2017
Bài 43:
Tính: 
	Giải
Ta thấy:
1/(1x2) = 1 – 1/(1x2)
5/(2x3) = 1 – 1/(2x3)
11/(3x4) = 1 – 1/(3x4)
..
89/(9x10) = 1 – 1/(9x10)
Do có 9 phân số nên viết lại :
A = 10 x [9 – (1/(1x2) + 1/(2x3) + . + 1/(9x10)]
A = 10 x [9 – (1 – 1/2 + 1/2 – 1/3 + . + 1/9 – 1/10)]
A = 10 x [9 – (1 – 1/10)] = 10 x (9 – 9/10) = 90 – 9 
A = 81
Bài 44:
Tính: 
	Giải
Ta thấy: 56=4x7x2 ; 140=7x10x2 ; 260=10x13x2 ;  ; 1400=25x28x2
Có 8 phân số, ta có thể viết lại :
M = 5/(4x7) + 5/(7x10) + 5/(10x13) +  + 5/(25x28)
Nhân M với 3/5 :
M x 3/5 = 3/(4x7) + 3/(7x10) + 3/(10x13) +  + 5/(25x28)
M x 3/5 = 1/4 - 1/7 + 1/7 – 1/10 + 1/10 – 1/13 +  + 1/25 – 1/28
M x 3/5 = 1/4 - 1/28 = 6/28
M = 6/28 : 3/5 = 5/14
Bài 45:
Tính: 
	Giải
Viết lại :
S = = 
Nhân với ta được:
S x = 
S x = 
S = : = 
Bài 46:
Tính: 
	Giải
Viết lại:
A = 
A = = 
A = 
Bài 47:
Tính: 
	Giải
Viết lại:
A = 3/(1x4) + 5/(4x9) + 7/(9x16) + 9/(16x25) + . + 19/(81x100)
A = 1 – 1/4 + 1/4 - 1/9 + 1/9 - 1/16 + .. + 1/81 - 1/100
A = 1 - 1/100
A = 99/100
Bài 48:
Tính: 
	Giải
Ta thấy:
11/6 = 11/(2x3) = 11/2 – 11/3
19/12 = 19/(3x4) = 19/3 – 19/4
29/20 = 29/(4x5) = 29/4 – 29/5
..
109/90 = 109/(9x10) = 109/9 – 109/10
Xem xét dấu cộng (+), trừ (-) trước từng số hạng ta có thể viết lại:
A = 1 – 11/2 + 11/3 + 19/3 – 19/4 – 29/4 + 29/5 + 41/5 – 41/6 – 55/6 + 55/7 + 71/7 – 71/8 – 89/8 + 89/9 + 109/9 – 109/10
A = 1 – 11/2 + 30/3 – 48/4 + 70/5 – 96/6 + 126/7 – 160/8 + 198/9 – 109/10
A = 1 – 11/2 + 10 – 12 + 14 – 16 + 18 – 20 + 22 – 109/10
A = 17 – 11/2 – 109/10 = 17 – 164/10
A = 3/5