Bài toán tính tổng của dãy số có quy luật cách đều

BÀI TOÁN TÍNH TỔNG CỦA DÃY SỐ CÓ QUY LUẬT CÁCH ĐỀU.
Muốn tính tổng của một dãy số có quy luật cách đều chúng ta thường hướng dẫn học sinh tính theo các bước như sau:
Bước 1: Tính số số hạng có trong dãy: (Số hạng lớn nhất của dãy - số hạng bé nhất của dãy) : khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp trong dãy + 1
Bước 2: Tính tổng của dãy: (Số hạng lớn nhất của dãy + số hạng bé nhất của dãy) x số số hạng có trong dãy : 2
Trong quá trình BDHSG ta thấy các dạng bài liên quan đến bài toán tính tổng của dãy số có quy luật cách đều rất đa dạng và phong phú, đòi hỏi học sinh phải vận dụng một cách linh hoạt 2 bước giải trên. Sau đây tôi xin giới thiệu một vài ví dụ cho thấy sự vận dụng kiến thức cơ bản của dạng toán một cách linh hoạt trong từng bài toán cụ thể.
        Ví dụ 1: Tính giá trị của A biết:
        A = 1 + 2 + 3 + 4 + ........................... + 2014.
       Phân tích: Đây là dạng bài cơ bản trong dạng bài tính tổng của dãy có quy luật cách đều, chúng ta hướng dẫn học sinh tính giá trị của A theo 2 bước cơ bản ở trên.
Bài giải
Dãy số trên có số số hạng là:
(2014 – 1) : 1 + 1 = 2014 (số hạng)
Giá trị của A là:
(2014 + 1) x 2014 : 2 = 2029105
Đáp số:   2029105
        Ví dụ 2: Cho dãy số: 2; 4; 6; 8; 10; 12; ...............
        Tìm số hạng thứ 2014 của dãy số trên ?
       Phân tích: Từ bước 1 học sinh sẽ tìm ra cách tìm số hạng lớn nhất trong dãy là:  Số hạng lớn nhất = (Số số hạng trong dãy – 1) x khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp+ số hạng bé nhất trong dãy.
Bài giải
Số hạng thứ 2014 của dãy số trên là:
(2014 – 1) x 2 + 2 = 4028
Đáp số:4028
       Ví dụ 3: Tính tổng 50 số lẻ liên tiếp biết số lẻ lớn nhất trong dãy đó là 2013 ?
         Phân tích: Từ bước 1 học sinh sẽ tìm ra cách tìm số hạng bé nhất trong dãy là:  Số hạng bé  nhất = Số hạng lớn nhất - (Số số hạng trong dãy – 1) x khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp. Từ đó học sinh sẽ dễ dàng tính được tổng theo yêu cầu của bài toán.
Bài giải
Số hạng bé nhất trong dãy số đó là:
2013 - (50 – 1) x 2 = 1915
Tổng của 50 số lẻ cần tìm là
(2013 + 1915) x 50 : 2 = 98200
Đáp số: 98200
      Ví dụ 4: Một dãy phố có 15 nhà. Số nhà của 15 nhà đó được đánh là các số lẻ liên tiếp, biết tổng của 15 số nhà của dãy phố đó bằng 915. Hãy cho biết số nhà đầu tiên của dãy phố đó là số nào ?
       Phân tích: Bài toán cho chúng ta biết số số hạng là15, khoảng cách của 2 số hạng liên tiếp trong dãy là 2 và tổng của dãy số trên là 915. Từ bước 1 và 2 học sinh sẽ tính được hiệu và tổng của số nhà đầu và số nhà cuối. Từ đó ta hướng dẫn học sinh chuyển bài toán về dạng tìm số bé biết tổng và hiêu của hai số đó.
Bài giải
Hiệu giữa số nhà cuối và số nhà đầu là:
(15 - 1) x 2 = 28
Tổng của số nhà cuối và số nhà đầu là:
915     x 2 : 15 = 122
Số nhà đầu tiên trong dãy phố đó là:
(122 - 28) : 2 = 47
Đáp số: 47
Một số bài tự luyện:
Bài 1: Cho dãy số: 1; 4; 7; 10; ............................; 2014.
 a, Tính tổng của dãy số trên ?
 b, Tìm số hạng thứ 99 của dãy ?
 c, Số hạng 1995 có thuộc dãy số trên không ? Vì sao ?
Bài 2: Tìm TBC các số chẵn có 3 chữ số ?
Bài 3: Tính tổng 60 số chẵn liên tiếp biết số chẵn lớn nhất trong dãy đó là 2010 ?
Bài 4: Tính tổng 2014 số lẻ liên tiếp bắt đầu bằng số 1 ?
Bài 5:Tính tổng: 1 + 5+ 9 + 13 +....................... biết tổng trên có 100 số hạng ?
Bài 6: Một dãy phố có 20 nhà. Số nhà của 20 nhà đó được đánh là các số chẵn liên tiếp, biết tổng của 20 số nhà của dãy phố đó bằng 2000. Hãy cho biết số nhà cuối cùng trong dãy phố đó là số nào ?
       Các bạn ạ ! Theo tôi trong quá trình dạy học chúng ta không nên cho học sinh một con đường mòn duy nhất mà hãy cho các em một định hướng về con đường đó để các em có thể tự hình thành và tìm cho mình con đường đi đúng và phù hợp nhất. Hãy giúp các em lấy cái bất biến để ứng cái vạn biến. Đó là điều mà chúng ta nên làm trong quá trình dạy học. Mong các đ/c đồng nghiệp thường xuyên trao đổi kinh nghiệm dạy học của mình trên diễn đàn này để chúng ta có nhiều cơ hội giao lưu, học hỏi lẫn nhau nhiều hơn và ngày một tiến bộ hơn về trình độ cũng như năng lực BDHSG.
Dạng 1. QUY LUẬT VIẾT DÃY SỐ: 
* Kiến thức cần lưu ý (cách giải):
Trước hết ta cần xác định quy luật của dãy số.
Những quy luật thường gặp là:
+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng trước nó cộng (hoặc trừ) với 1 số tự nhiên d;
+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng trước nó nhân (hoặc chia) với 1 số tự nhiên q khác 0;
+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ ba) bằng tổng hai số hạng đứng trước nó;
+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tư) bằng tổng của số hạng đứng trước nó cộng với số tự nhiên d cộng với số thứ tự của số hạng ấy;
+ Số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước nhân với số thứ tự;
v . . . v
1. Loại 1: Dãy số cách đều:
Bài 1:
Viết tiếp 3 số:
a, 5, 10, 15, ...
b, 3, 7, 11, ...
Giải:
a, Vì: 10 – 5 = 5
15 – 10 = 5
Dãy số trên 2 số hạng liền nhau hơn kém nhau 5 đơn vị. Vậy 3 số tiếp theo là:
15 + 5 = 20
20 + 5 = 25
25 + 5 = 30
Dãy số mới là:
5, 10, 15, 20, 25, 30.
b, 7 – 3 = 4
11 – 7 = 4
Dãy số trên 2 số hạng liền nhau hơn kém nhau 4 đơn vị. Vậy 3 số tiếp theo là:
11 + 4 = 15
15 + 4 = 19
19 + 4 = 23
Dãy số mới là:
3, 7, 11, 15, 19, 23.
Dãy số cách đều thì hiệu của mỗi số hạng với số liền trước luôn bằng nhau
1. Loại 2: Dãy số khác:
Bài 1:
Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số sau:
a, 1, 3, 4, 7, 11, 18, ...
b, 0, 2, 4, 6, 12, 22, ...
c, 0, 3, 7, 12, ...
d, 1, 2, 6, 24, ...
Giải:
a, Ta nhận xét: 4 = 1 + 3
7 = 3 + 4
11 = 4 + 7
18 = 7 + 11
...
Từ đó rút ra quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (Kể từ số hạng thứ ba) bằng tổng của hai số hạng đứng trước nó. Viết tiếp ba số hạng, ta được dãy số sau:
1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76,...
b, Tương tự bài a, ta tìm ra quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tư) bằng tổng của 3 số hạng đứng trước nó. 
Viét tiếp ba số hạng, ta được dãy số sau. 
0, 2, 4, 6, 12, 22, 40, 74, 136, ...
c, ta nhận xét:
Số hạng thứ hai là:
3 = 0 + 1 + 2
Số hạng thứ ba là:
7 = 3 + 1 + 3
Số hạng thứ tư là:
12 = 7 + 1 + 4
. . .
Từ đó rút ra quy luật của dãy là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng tổng của số hạng đứng trước nó cộng với 1 và cộng với số thứ tự của số hạng ấy.
Viết tiếp ba số hạng ta được dãy số sau.
0, 3, 7, 12, 18, 25, 33, ...
d, Ta nhận xét:
Số hạng thứ hai là
2 = 1 x 2
Số hạng thứ ba là 
6 = 2 x 3
số hạng thứ tư là
24 = 6 x 4
. . .
Từ đó rút ra quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng tích của số hạng đứng liền trước nó nhân với số thứ tự của số hạng ấy.
Viết tiếp ba số hạng ta được dãy số sau:
1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, ...
Bài 2:
Tìm số hạng đầu tiên của các dãy số sau:
a, . . ., 17, 19, 21
b, . . . , 64, 81, 100
Biết rằng mỗi dãy có 10 số hạng.
Giải:
a, Ta nhận xét:
Số hạng thứ mười là
21 = 2 x 10 + 1
Số hạng thứ chín là:
19 = 2 x 9 + 1
Số hạng thứ tám là:
17 = 2 x 8 + 1
. . .
Từ đó suy ra quy luật của dãy số trên là: Mỗi số hạng của dãy bằng 2 x thứ tự của số hạng trong dãy rồi cộng với 1.
Vậy số hạng đầu tiên của dãy là
2 x 1 + 1 = 3
b, Tương tự như trên ta rút ra quy luật của dãy là: Mỗi số hạng bằng số thứ tự nhân số thứ tự của số hạng đó.
Vậy số hạng đầu tiên của dãy là:
1 x 1 = 1
Bài 3:
Lúc 7 giờ sáng, Một người xuất phát từ A, đi xe đạp về B. Đến 11 giờ trưa người đó dừng lại nghỉ ăn trưa một tiếng, sau đó lại đi tiếp và 3 giờ chiều thì về đến B. Do ngược gió, cho nen tốc độ của người đó sau mỗi giờ lại giảm đi 2 km. Tìm tốc độ của người đó khi xuất phát, biết rằng tốc đọ đi trong tiếng cuối quãng đường là 10 km/ giờ.
Giải:
Thời gian người đó đi trên đường là:
(11 – 7) + (15 – 12) = 7 (giờ)
Ta nhận xét:
Tốc độ người đó đi trong tiếng thứ 7 là:
10 (km/giờ) = 10 + 2 x 0
Tốc độ người đó đi trong tiếng thứ 6 là:
12 (km/giờ) = 10 + 2 x 1
Tốc độ người đó đi trong tiếng thứ 5 là:
14 (km/giờ) = 10 + 2 x 2
. . .
Từ đó rút ra tốc độ người đó lúc xuất phát (trong tiếng thứ nhất) là:
10 + 2 x 6 = 22 (km/giờ)
Bài 4:
Điền các số thích hợp vào ô trống, sao cho tổng các số ở 3 ô liên tiếp đều bằng 1996:
Giải:
Ta đánh số các ô theo thứ tự như sau: 
Theo điều kiện của đầu bài ta có:
496 + ô7 + ô 8 = 1996
ô7 + ô8 + ô9 = 1996
Vậy ô9 = 496. Từ đó ta tính được
ô8 = ô5 = ô2 = 1996 – (496 + 996) = 504;
ô7 = ô4 = ô1 = 996 và ô3 = ô6 = 496
Điền vào ta được dãy số:
Dạng 2. Xác định số a có thuộc dãy đã cho hay không: 
Cách giải:
- Xác định quy luật của dãy.
- Kiểm tra số a có thoả mãn quy luật đó hay không.
Bài tập:
Em hãy cho biết:
a, Các số 50 và 133 có thuộc dãy 90, 95, 100,. .. hay không?
b, Số 1996 thuộc dãy 3, 6, 8, 11,. .. hay không?
c, Số nào trong các số 666, 1000, 9999 thuộc dãy 3, 6, 12, 24,. ..?
Giải thích tại sao?
Giải:
a, Cả 2 số 50 và 133 đều không thuộc dãy đã cho vì
- Các số hạng của dãy đã cho đều lớn hơn 50;
- Các số hạng của dãy đã cho đều chia hết cho 5 mà 133 không chia hết cho 5.
b, Số 1996 không thuộc dãy đã cho, Vì mọi số hạng của dãy khi chia cho đều dư 2 mà 1996: 3 thì dư 1.
c, Cả 3 số 666, 1000, 9999 đều không thuộc dãy 3, 6, 12, 24,. .., vì
- Mỗi số hạng của dãy (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng liền trước nhân với 2. Cho nên các số hạng (kể từ số hạng thứ 3) có số hạng đứng liền trước là số chẵn mà 666: 2 = 333 là số lẻ.
- Các số hạng của dãy đều chia hết cho 3 mà 1000 không chia hết cho 3 
- Các số hạng của dãy (kể từ số hạng thứ hai) đều chẵn mà 9999 là số lẻ.
 -----------------------
* BÀI TẬP VỀ NHÀ: 
Bài 1: Viết tiếp hai số hạng của dãy số sau:
a, 100; 93; 85; 76;...
b, 10; 13; 18; 26;...
c, 0; 1; 2; 4; 7; 12;...
d, 0; 1; 4; 9; 18;...
e, 5; 6; 8; 10;...
f, 1; 6; 54; 648;...
g, 1; 3; 3; 9; 27;...
h, 1; 1; 3; 5; 17;...
Bài 2: Điền thêm 7 số hạng vào tổng sau sao cho mỗi số hạng trong tổng đều lớn hơn số hạng đứng trước nó:
49 +. .. . .. = 420.
Giải thích cách tìm.
Bài 3: Tìm hai số hạng đầu của các dãy sau:
a,. . . , 39, 42, 45;
b,. . . , 4, 2, 0;
c,. . . , 23, 25, 27, 29;
Biết rằng mỗi dãy có 15 số hạng.
Bài 4: 
a, Điền các số thích hợp vào các ô trống, sao cho tích các số của 3 ô liên tiếp đều bằng 2000
b, Cho 9 số: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 và 9. Hãy điền mỗi số vào 1 ô tròn sao cho tổng của 3 số ở 3 ô thẳng hàng nhau đều chia hết cho 5. Hãy giải thích cách làm.
c, Hãy điền số vào các ô tròn sao cho tổng của 3 ô liên tiếp ... 1, 3, 5, ., 2009, 2011.
Có: (2011 – 1):2+1 = 1006 (số)
(Hay xen kẻ một số chẵn và một số lẻ nên có: 2012 : 2 = 1006 (số))
3)Các số tự nhiên chẵn có 4 chữ số nhỏ hơn 2012 là: 1000, 1002, 1004, , 2008, 2010.
Có: (2010 – 1000):2+1 = 506 (số) 
Bài 41: 
 Cho một số tự nhiên được tạo thành bằng cách ghép các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 1999:
 12345678910111219951996199719981999
Ta chia các số tự nhiên từ 1 đến 1999 thành 2 nhóm: từ 000 đến 999 và 1000 đến 1999.
Ta thấy: từ 000 đến 999 có: 999 + 1 = 1000 (số) và có 3 x 1000 = 3000 (chữ số) được chia đều cho 10 chữ số từ 0 đến 9.
Số lần xuất hiện của mỗi chữ số là:
3000 : 10 = 300 (lần)
Tổng các chữ số từ 000 đến 999 là: (0+1+2+3+4+5+6+7+8+9) x 300 = 13500
Tương tự như vậy cho các số từ 1000 đến 1999 lại có thêm 1000 chữ số 1.
Tổng của nhóm 2 là: 1000 + 13500 = 14500
Tổng các chữ số từ 1 đến 1999 là: 14500 + 13500 = 28000. 
Bài 42:
 Cho các số abc và cab với a-b=1; b-c=2. Số abc hơn số cab bao nhiêu đơn vị?
 Với a- b = 1 ; b – c = 2 => a-c=1+2=3
Xét số abc so với cab
*.Hàng trăm a lớn hơn c
ax100 - cx100 = 300 (lớn hơn)
*.Hàng chục b bé hơn a
ax10 - bx10 = 10 (bé hơn)
*.Hàng đơn vị c bé hơn b
b - c = 2 (bé hơn)
Số abc lớn hơn cab:
300 - (10 + 2) = 288
Đáp số: 288 
Bài 43
 Một bạn tìm tất cả các số có năm chữ số biết tổng các chữ số của nó là 41 và số đó không thay đổi nếu viết các chữ số của nó theo thứ tự ngược lại. Hỏi bạn đó tìm được nhiều nhất bao nhiêu số thoả mãn yêu cầu?
Số có năm chữ số biết tổng các chữ số của nó là 41 và số đó không thay đổi nếu viết các chữ số của nó theo thứ tự ngược lại. Cho ta biết chữ số ở giữa không thay đổi và là số lẻ > hoặc = 5 (vì 4 chữ số còn lại có tổng lớn nhất 9x4=36), chữ số hàng chục nghìn và hàng đơn vị giống nhau, hàng nghìn và hàng chục giống nhau.
*.Số ở giữ là 5, ta có 99599
*.Số ở giữa là 7 thì tổng 4 số còn lại phải là 41-7=34. Hai chữ số hàng đơn vị và hàng chục có tổng bằng 34:2=17. Ta có 8 và 9. Các số đó là: 89798; 98789.
*.Số ở giữa là 9 thì tổng 4 số còn lại phải là 41-9=32. Hai chữ số hàng đơn vị và hàng chục có tổng bằng 32:2=16. Ta có 8 và 8 hoặc 9 và 7. Các số đó là: 88988; 79997; 97979
Các số đó là: 99599; 89798; 98789; 88988; 79997 và 97979 
Bài 44:
 Tìm số 4a8b biết số đó chia cho 2 còn chia cho 5 và 9 cùng dư là 1
Chia hết cho 2 là số chẵn, chia 5 dư 1 nên số đó có chữ số tận cùng là b=6. Ta được: 4a86
Để số này chia 9 dư 1 khi tổng các chữ số của nó chia cho 9 cũng dư 1. Mà 4+8+6=18 chia hết cho 9 vậy a=1.
Số đó là 4186 
Bài 45:
 Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau mà các số đó đều không chia hết cho 5 ?
Các số có 3 chữ số khác nhau là: 9x9x8= 648 (số)
Các số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5 là:
 -Có chữ số 5 ở hàng đơn vị: có 8 cách chọn hàng trăm (số 0 không ở hàng trăm), 8 cách chọn hàng chục. Nên có 8x8=64 (số)
 -Có chữ số 0 ở hàng đơn vị: có 9 cách chọn hàng trăm, 8 cách chọn hàng chục. Nên có 9x8=72 (số)
Các số có 3 chữ số khác nhau mà không chia hết cho 5 có: 648 - (64 + 72) = 512 (số)
Bài 46:
 Hãy viết thêm 3 chữ số vào bên phải số 567 để được số lẻ có 6 chữ số khác nhau, khi chia số đó cho 5 và 9 đều dư 1.
Số lẻ mà chia cho 5 dư 1 phải có chữ số tận cùng là 1. Ta được 567**1
Để chia cho 9 dư 1 thì tổng các chữ số cũng chia 9 dư 1.
Tổng các chữ số là: 5+6+7+*+*+1 = 19 + *+*
19 đã chia cho 9 dư 1 nên *+* phải chia hết cho 9
Hai số có một chữ số khác nhau và khác 5;6;7;1có tổng chia hết cho 9 phải là 0 và 9.
Số đó là: 567091 hoặc 567901 
Bài 43:
 Từ các chữ số : 0 , 2 , 3 , 5 , 6 , 7 , có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau?
Hàng đơn vị là chữ số 0:
5 cách lựa chọn hàng nghìn, 4 cách lựa chọn hàng trăm, 3 cách lựa chọn hàng chục.
Có 5 x 4 x 3 = 60 (số)
Hàng đơn vị là 2 hoặc 6:
4 x 4 x 3 = 48 (số)
Số số chẵn có 4 chữ số khác nhau: 60 + 48 x 2 = 156 (số) 
Bài 44:
 Từ các số tự nhiên : 2,3,7,9,a,b; bạn Bình đã ghép chúng thành tất cả các số có 6 chữ số khác nhau . Bình cho biết tổng của tất cả các số có 6 chữ số khác nhau này là chữ số 6 ở hàng đơn vị Bình nhờ các bạn tìm giúp hai số tự nhiên a, b ?
Có 6 chữ số khác nhau nên có số cách lựa chọn như sau:.
Trường hợp 1: Nếu a và b khác 0.
Hàng trăm nghìn: có 6 lựa chọn; Chục nghìn: 5; Nghìn: 4; Trăm: 3; Chục: 2; Đơn vị: 1
Vậy có: 6x5x4x3x2x1 = 720 (số)
Mỗi hàng , mỗi chữ số xuất hiện: 720 : 6 = 120 (lần)
Tổng của hàng đơn vị: (2+3+7+9+a+b) x 120 là số tròn chục (120 có tận cùng là 0_loại).
Trường hợp 2: Nếu a và b có 1 là chữ số 0 (giả sử a=0)..
Trăm nghìn: 5; Chục nghìn: 5; Nghìn: 4; Trăm: 3; Chục: 2; Đơn vị:1
Có: 5x5x4x3x2x1 = 600 (số)
Giảm đi 720-600= 120 (số) do không có chữ số 0 ở hàng cao nhất nên số chữ số hàng đơn vị được chia ra 120 chữ số 0 và (600 -120) : 5 = 96 mỗi chữ số còn lại. (không có chữ số 0 ở 120 số này nên 120 số 0 ở các số có hàng cao nhất khác 0)
Tổng của hàng đơn vị: (2+3+7+9+b) x 96 = (21+b) x 96 có chữ số tận cùng là 6
Suy ra: (21+b) có chữ số tận cùng là 1 hoặc là 6.
Nếu là 1 thì b=0 (21+0=21_loại vì a=0).
Vậy 21+b có tận cùng là 6 nên b=5 (21+5=26)
Đáp số: a=0 và b=5 (hoặc ngược lại) 
Bài 45:
 Nếu abc là số có ba chữ số thỏa mãn: 1: 0,abc = a + b + c thì abc là bao nhiêu?
Ta có: 1: 0,abc = a + b + c hay
(a+b+c) x abc = 1000
Hay 1000 : abc = a+b+c
1000 chia hết cho số có 3 chữ số có các trường hợp
125 x 8 = 1000 => a=1; b=2; c=5
250 x 4 = 1000 (loại)
500 x 2 = 1000 (loại)
Vậy: abc = 125 
Bài 46:
 Tìm số có 2 chữ số. Biết rằng số đó gấp 21 lần hiệu của chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị.
Gọi số cần tìm là ab. Ta có:
ab = 21 x (a-b)
10.a+b = 21.a - 21.b
11.a = 22.b
Suy ra: a = b x 2
Ta có các số sau: 21; 42; 63; 84 
Bài 47:
 Tổng của hai số là 2009, giữa hai số trên có 5 sổ lẻ. Tìm hai số.
Tổng 2 số tự nhiên là lẻ, tức phải có 1 chẵn và 1 lẻ. Giữa chúng có 5 số lẻ, phải có 5 số chẵn. Vậy giữa chúng có 10 số.
Hiệu chúng là: 10 + 1 = 11
Số bé: (2009 – 11) : 2 = 999
Sơ lớn: 2009 – 999 = 1010
Đáp sô: 999 và 1010 
Bài 48:
 Số này nằm trong phạm vi các số tự nhiên từ 1 đến 58. Khi viết "nó" không sử dụng các chữ số 1 ; 2 ; 3. Ngoài ra "nó" là số lẻ và không chia hết cho các số 3 ; 5 ; 7. Vậy "nó" là số nào ?
Nó là số lẻ nằm trong phạm vi các số tự nhiên từ 1 đến 58, khi viết nó không sử dụng các chữ số 1 ; 2 ; 3 và không chia hết cho 5 nên chữ số tận cùng của nó là 7 hoặc 9.
Các số có thể là: 7 ; 9 ; 47 ; 49 và 57.
Không chia hết cho 3; 5; 7 nên trong các số trên chỉ có số 47 là thỏa mãn điều kiện.
Vậy nó là số 47. 
Bài 49: chùm bài lập số
 1/.Tìm số tự nhiên nhỏ nhất được viết bởi các chữ số khác nhau và tổng các chữ số của nó bằng 25.
Số nhỏ nhất khi có ít chữ số nhất, giá trị từng chữ số lớn nhất có thể.
Hàng đơn vị là 9; hàng chục là 8; hàng trăm là 7. Vậy hàng nghìn là 1 để có tổng các chữ số bằng 25.
Số đó là: 1 789
 2/.Tìm số lớn nhất được viết bởi các chữ số khác nhau và tổng các chữ số của nó bằng 23.
Số lớn nhất khi có nhiều chữ số nhất, giá trị từng chữ số nhỏ nhất có thể.
Ta chọn các chữ số nhỏ nhất là: 0; 1; 2; 3; 4; 5 và 8 để có 0+1+2+3+4+5+8=23.
 Số lớn nhất đó là: 8 543 210
 3/.Tìm số tự nhiên bé nhất khác 0 và chia hết cho 2; 3; 4; 5 và 6.
Số chia hết cho 6 thì chia hết cho 2 và cho 3.
Số bé nhất vừa chia hết cho 4, vừa chia hết cho 6 là: 2x2x3=12
Số cần tìm là: 12 x 5 = 60
 4/.Tìm số tự nhiên bé nhất khác 1 và khi chia số đó cho 2; 3; 4; 5 và 6 thì cùng có số dư bằng 1.
Như bài 3, để đều dư 1 ta thêm vào số bị chia 1 đơn vị. 60 + 1 = 61
 5/.Tìm số tự nhiên bé nhất sao cho khi chia số đó cho 2; 3; 4; 5 và 6 thì được số dư lần lượt là 1; 2; 3; 4 và 5.
Như bài 3, để đều có số dư bé hơn số chia 1 đơn vị thì ta bớt ở số bị chia 1 đơn vị. 60 – 1 = 59 
Bài 50:
 Hai số có tổng bằng 839, biết nếu xóa chữ số 3 ở hàng đơn vị của số lớn thì được số bé. Tìm số bé.
Số lớn gấp 10 lần số bé cộng thêm 3 đơn vị. Như vậy bớt 3 đơn vị ở số lớn thì số lớn sẽ gấp 10 lần số bé. Lúc này tổng sẽ còn 839 – 3 = 836
Tổng số phần bằng nhau: 10 + 1 = 11 (phần)
Số bé: 836 : 11 = 76
Số lơn: 839 – 76 = 763
Bài 51: 
 Có bao nhiêu số chia hết cho 5 được lập từ các chữ số: 4, 7, 8, 6, 5
Giới hạn thêm cho đề bài một chút là có các chữ số khác nhau.
-Số có 1 chữ số là 1 (số 5)
-Số có 2 chữ số: Có 4 số.
-Số có 3 chữ số có: 4 x 3 = 12 (số)
-Số có 4 chữ số có: 4 x 3 x 2 = 24 (số)
-Số có 5 chữ số có: 4 x 3 x 2 x 1 = 24 (số)
Bài 52:
 Hai số có tổng là 344. nếu gấp 3 lần số thứ nhất và gấp 4 lần số thứ hai thì được tổng là 1914. Tìm số thứ nhất.
Giải
Nếu gấp cả 2 số lên 3 lần thì tổng mới sẽ là: 344 x 3 = 1032
Số thứ hai: 1914 – 1032 = 882
Số thứ nhất: 344 – 882 = 1376
Bài 53:
 Có tất cả bao nhiêu số chẵn có 2 chữ số?
Từ 10 đến 99 có 99-10+1=90 (số). Trong đó có 90 : 2 = 45 (số) chẵn và 45 số lẻ.
Cách khác: Số chẵn có 2 chữ số thì hàng đơn vị có thể là: 0;2;4;6;8.
Mỗi chữ số ở hàng đơn vị ta có 9 cách chọn chữ số hàng chục.
Số số chẵn có 2 chữ số là: 5 x 9 = 45 (số)
Đáp số: 45 số
Bài 54:
 Có tất cả bao nhiêu số lẻ có 2 chữ số khác nhau?
Số lẻ có 2 chữ số thì hàng đơn vị có thể là: 1;3;5;7;9
Mỗi chữ số ở hàng đơn vị ta có 8 cách chọn chữ số hàng chục (không chọn chữ số 0 và chữ số ở hàng đơn vị).
Số số lẻ có 2 chữ số khác nhau là: 5 x 8 = 40 (số)
Đáp số: 40 số
Bài 55:
 Muốn viết các số từ 1000 đến 2013 cần bao nhiêu chữ số 8
Từ 1000 đến 1999 có 1000 số không có số 8 ở hàng nghìn.
Ta xét từ 000 đến 999 có 1000 số (999-000+1 = 1000) có số chữ số là: 3 x 1000 = 3000 (chữ số) được chia đều cho 10 chữ số từ 0 đến 9.
Số chữ số 8 là: 3000 : 10 = 300 (chữ số)
Ở số 2008 có 1 chữ số 8.
Nên số chữ số 8 có trong các số từ 1000 đến 2013 là: 300 + 1 = 301 (chữ số)
Đáp số: 301 chữ số 8
Bài 56: 
 Để viết các số từ 100 đến 999 cần bao nhiêu chữ số 9 ?
Ta xét từ 00 (viết cho đủ 2 chữ số)đến 99 có 100 số. Có 100 x 2 = 200 (chữ số) được chia đều cho 10 chữ số (từ 0 đến 9) nên có 200:10=20(chữ số 9)
Từ 000 đến 999 có 1000 số. Có 3 x 1000= 3 000 (chữ số) được chia đều cho 10 chữ số (từ 0 đến 9). Vậy trong 1000 số này có: 3000 : 10 = 300 (chữ số 9)
Từ 100 đến 999 có: 300 – 20 = 280 (chữ số 9)
Bài 57:
 Tìm một số có 5 chữ số. Biết nếu viết thêm số 2 vào đằng sau số cần tìm được một số bằng số cần tìm viết thêm 2 vào trước nhân 3
 Số có dạng: abcde2=2abcde x 3 tìm abcde=?
abcde x 10 + 2 = (200000+abcde) x 3
abcde x 7 = 599998
abcde = 599998 : 7 
abcde = 85714