Đề tài Tìm lại tích đúng

đặt vấn đề
Như chúng ta đã biết dù ở cấp học nào thì môn Toán cũng đều đóng vai trò, vị trí hết sức quan trọng đối với học sinh. Nó không chỉ giúp các em nắm được lí thuyết, làm được bài tập mà còn hình thành cho các em kĩ năng tư duy, kĩ năng tính toán, óc tưởng tượng, rèn cho học sinh phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận để giải quyết vấn đề, góp phần phát triển trí thông minh, năng lực tư duy sáng tạo từ việc phân tích, so sánh, tổng hợp đến khái quát hoá, trừu tượng hoá vấn đề. Chính vì vậy, giải toán là một vấn đề lí thú đối với rất nhiều em nhưng cũng không ít khó khăn đối với nhiều học sinh.
Dạy học về bốn phép tính là một nội dung trong mạch kiến thức về các yếu tố đại số của chương trình Toán Tiểu học. Trong đó có một lượng không nhỏ dạng bài tập “Tìm lại tích đúng”. Để giải quyết loại bài tập này, học sinh phải vận dụng linh hoạt các tính chất của 4 phép tính hoặc mối quan hệ trong các đại lượng để giải. Có thể nói đây là sự kết tinh các kết quả của quá trình dạy học Số học ở Tiểu học.Chính vì vậy mà phạm vi và cấu trúc nội dung của chương trình môn Toán ở Tiểu học đã tạo điều kiện cho học sinh phát triển các kiến thức và kĩ năng cơ bản của Số học ngày càng sâu và rộng, đến lớp 5 có thể đạt tới đỉnh cao của sự phát triển đó.Nếu coi Toán 4 là sự mở đầu thì Toán 5 là sự phát triển tiếp theo và ở mức cao hơn, hoàn thiện hơn của giai đoạn dạy học các nội dung cơ bản nhưng ở mức sâu hơn, trừu tượng và khái quát hơn, tường minh hơn so với giai đoạn các lớp 1 - 2 - 3.
 Đặc biệt đối với học sinh khá giỏi thì lượng bài tập “Tìm lại tích đúng” xuất hiện rất nhiều ở các sách nâng cao, sách bồi dưỡng học sinh giỏi, ở các đề thi học sinh giỏi các cấp.
Nhận thức rõ tầm quan trọng của việc bồi dưỡng Toán cho học sinh giỏi lớp 4 - 5, tôi đã nghĩ đến cách hướng dẫn học sinh giải dạng toán này. Đó cũng chính là lí do tâm đắc nhất để tôi chọn đề tài này. 
B – Giải quyết vấn đề
I -Cơ sở khoa học:
1- Cơ sở lí luận
Phát hiện và bồi dưỡng học sinh giỏi toán là một trong những nhiệm vụ quan trọng của dạy học toán ở Tiểu học nói riêng, ở giáo dục phổ thông nói chung; đồng thời còn là truyền thống và là một trong những thế mạnh của giáo dục phổ thông Việt Nam.
 Trong quá trình soạn thảo và triển khai Chương trình Tiểu học mới, Viện Chiến lược và Chương trình giáo dục đã và đang phối hợp với một số cơ quan của Bộ Giáo dục và Đào tạo, một số nhà giáo có tâm huyết và có kinh nghiệm,...để thực hiện đổi mới công tác phát hiện và bồi dưỡng học sinh giỏi toán ở tiểu học nhằm đáp ứng nhu cầu và nguyện vọng phát triển năng lực học tập toán của học sinh tiểu học, góp phần phục vụ đào tạo nguồn nhân lực và bồi dưỡng nhân tài cho đất nước.
Đối với học sinh Tiểu học, các bài toán về 4 phép tính là loại toán chiếm số lượng khá lớn trong chương trình. Trong đó dạng toán “ Tìm lại tích đúng” là một dạng toán mà rất ít tài liệu đề cập đến cách giải. Vả lại, đây là một dạng toán khó, rất dễ nhầm đối với học sinh tiểu học. Ngay khi đọc xong đề toán, học sinh rất dễ bị đánh lừa. Một phần do không nắm được bản chất của dạng toán này nên dẫn đến giải sai, một phần do đặc điểm tâm sinh lí học sinh tiểu học. Đối với dạng toán này, học sinh phải nắm được vai trò,vị trí của các tích riêng và tầm quan trọng của chúng để từ đó có thể giải được các bài toán một cách dễ dàng. Trong chương trình Tiểu học, dạng toán này không phải là dạng toán cơ bản được dạy trong chương trình chính khoá nhưng lại xuất hiện rất nhiều trong các đề thi học sinh giỏi từ cấp Huyện đến cấp Quốc gia. Chương trình Toán 4 – 5 chỉ cung cấp những dạng toán cơ bản, điển hình, làm nền móng cho những dạng toán nâng cao. Chính vì vậy người giáo viên tiểu học phải có nhiệm vụ cung cấp thêm các dạng toán đó để đáp ứng nhu cầu nguyện vọng của học sinh khá giỏi.
2- Cơ sở thực tiễn:
Trong thực tế, dạng toán “Tìm lại tích đúng” tuy không phổ biến cho tất cả các học sinh Tiểu học nhưng lại khá phổ biến và thiết thực cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi khối 4 - 5. Khi học về phép nhân ngoài bảng, học sinh cần nắm vững kĩ thuật đặt tính và tính, mối quan hệ giữa thành phần ( thừa số), và kết quả ( tích) để giải các bài toán có liên quan đến phép nhân. Nhưng thực tế có rất nhiều học sinh đã đặt tính sai hoặc ghi thiếu chữ số của một trong hai thừa số nên dẫn đến kết quả sai. Dạng toán “Tìm lại tích đúng” sẽ giúp các em thấy được vai trò của vị trí các tích riêng.Từ đó các em sẽ thận trọng và cẩn thận hơn khi tính toán.
 II – Các giải pháp thực hiện 
1- Khảo sát thực trạng :
 	Qua nhiều năm giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi khối 4 - 5, tôi thấy kĩ thuật đặt tính và tính của học sinh còn chưa chắc chắn. Rất nhiều em đang còn nhầm lẫn về vai trò và vị trí của các tích riêng. Trước khi dạy cho học sinh cách giải dạng toán này, tôi đã ra đề khảo sát đội tuyển học sinh giỏi khối 4 - 5 ( năm học 2009 – 2010).
Đề ra: ( Thời gian 15 phút )
Bài 1:Khi nhân một số với 436, bạn Hoa đã đặt các tích riêng thẳng cột với nhau nên tìm ra kết quả là 30524.
Hãy tìm tích đúng.
Bài 2: Khi nhân 254 với số có hai chữ số khác nhau, bạn Bình đã đặt các tích riêng thẳng cột như trong phép cộng nên tìm ra kết quả so với tích đúng giảm đi 16002 đơn vị. Hãy tìm tích đúng của phép nhân.
 Kết quả như sau :
Năm học
Tổng số hs được khảo sát
Học sinh khối 4
Học sinh khối 5
G
Tỉ lệ %
K
Tỉ lệ%
TB
Tỉ lệ%
Y
Tỉ lệ%
G
Tỉ lệ%
K
Tỉ lệ%
TB
Tỉ lệ%
Y
Tỉ lệ%
2009-2010
21
1
5
3
14
9 
43
8
38
2
10
6
28
9
43
4
19
2– Biện pháp thực hiện:
2.1- Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán dạng “Tìm lại tích đúng”:
Bài toán 1 : Khi nhân một số với 245, một học sinh đã đặt các tích riêng thẳng cột như trong phép cộng nên tìm ra kết quả là 4257. Tìm tích đúng của phép nhân đó .
Phân tích :
Từ cách đặt các tích riêng trong phép nhân với số có 3 chữ số ta có thể nhận thấy rằng tích riêng thứ hai đặt lùi sang phải một chữ số so với tích riêng thứ nhất, tích riêng thứ ba đặt lùi sang phải một chữ số so với tích riềng thứ hai để thể hiện các hàng của thừa số được nhân.Vậy khi đặt ba tích riêng thẳng cột tức là thừa số thứ nhất được nhân với 5, rồi lại nhân với 4, nhân với 3. Do vậy nên 4257 là tổng của ba tích riêng.
Bài giải :
Cách 1 : Khi đặt các tích riêng thẳng cột như vậy, tức là bạn đó đã lấy thừa số thứ nhất nhân với 5, rồi nhân với 4; 2 rồi cuối cùng cộng 3 tích riêng lại.Mà : 5 + 4 + 2 = 11.
Như thế tức là 11 lần thừa số thứ nhất bằng 4257.
Vậy thừa số thứ nhất là: 4257 : 11 = 387
Tích đúng là : 387 x 245 = 94815.
Cách 2 : Bạn đặt như vậy tức là bạn đã lấy thừa số thứ nhất lần lượt nhân với 5, với 4, với 2 rồi cộng các kết quả lại.
Vậy 4257 bằng 11 lần thừa số thứ nhất.Mà tích đúng phải bằng 245 lần thừa số thứ nhất.Ta thấy tích đúng gấp tích bạn đã tìm số lần là : 
245 : 11 = 
Vậy tích đúng là :
 x 4257 = 94815
Bài toán 2 : Khi nhân một số với 235,bạn Thư đã sơ ý đặt tích riêng thứ hai và thứ ba thẳng cột với nhau nên tìm ra kết quả là 10285. Hãy tìm tích đúng.
Phân tích : Tương tự như bài toán 1, lưu ý : ở bài toán này, bạn Thư chỉ đặt nhầm tích riêng thứ hai và tích riêng thứ ba thẳng cột, tức là chỉ đặt sai tích riêng thứ ba. Còn tích riêng thứ nhất và tích riêng thứ hai thì đặt đúng.
Bài giải :
Cách 1 : Bạn Thư đặt như vậy tức là bạn đã lấy thừa số thứ nhất nhân với 5 rồi tiếp tục nhân với 30; 20 rồi cộng 3 kết quả lại.
Như vậy thừa số thứ nhất là :
10285 : ( 5 + 30 + 20 ) = 187
Tích đúng là :
187 x 235 = 43945.
Cách 2 : Thư đặt như vậy tức là bạn đã lấy thừa số thứ nhất nhân với lần lượt 5; 30; 20. Tích Thư tìm được gấp thừa số thứ nhất số lần là:
5 + 30 + 20 = 55 ( lần )
Tích đúng gấp tích bạn tìm là :
235 : 55 = ( lần )
Tích đúng là :
10285 x = 43945
Bài toán 3 : Khi nhân một số có 3 chữ số với một số có 2 chữ số , một bạn đã đặt tích riêng thẳng cột nên tích đúng đã bị giảm đi 3429 đơn vị. Hãy tìm tích đúng, biết tích đúng là một số lẻ vừa chia hết cho 5, vừa chia hết cho 9.
Phân tích : ở bài này cả 2 thừa số đều chưa biết, nhưng bài toán đã biết đặt tích riêng thẳng cột thì tích đúng bị giảm đi 3429 đơn vị. Như vậy 3429 bằng tích riêng thứ hai. Và tích đúng là số lẻ vừa chia hết cho 5, vừa chia hết cho 9 nên tích đúng có hàng đợn vị là 5.Dựa vào các điều kiện đã cho, ta có thể giải bài toán như sau:
Bài giải :
 	Gọi abc là thừa số thứ nhất, mn là thừa số thứ hai. Khi đặt nhầm như vậy thì tích riêng thứ hai bị giảm đi 10 lần, tức là tích đúng giảm đi lần tích riêng thứ hai.
 Ta có tích riêng thứ hai bằng 3429. Do đó tích riêng thứ hai là :
3429 : = 3810
Ta có : abc x m = 381
Vì 381 = 127 x 3 = 381 x 1 nên có hai khả năng:
abc = 127; m= 3 hoặc abc = 381; m= 1
Từ abc = 127 hoặc abc = 381 nên suy ra c là số lẻ.
Mà tích đúng là số lẻ chia hết cho 5 nên chữ số tận cùng ở tích đúng là 5.
Vậy n x c có tận cùng là 5 mà c lẻ nên suy ra n = 5
Ta thử từng trường hợp :
 Trường hợp thứ nhất :
127 x 35 = 4445; 4445 không chia hết cho 9 nên loại.
 Trường hợp thứ hai ; 
381 x 15 = 5715; 5715 là số chia hết cho 9 ( ta chọn )
Vậy ta có tích đúng là : 381
 x 
 15
 1905
 381
 5715
Bài toán 4: Một học sinh khi nhân với 207 đã quên viết chữ số 0 của số 207 nên kết quả so với tích đúng giảm đi 6120 đơn vị.Tìm tích đúng của phép nhân. 
Phân tích:
ở bài toán này, bạn học sinh đã quên viết chữ số 0 của thừa số thứ 2 nên thừa số thứ hai trở thành 27. Như vậy thừa số thứ hai đã bị giảm đi 207 – 27 = 180 đơn vị. Tức là tích đã bị giảm đi 180 lần thừa số thứ nhất, hay 180 lần thừa số thứ nhất thì bằng 6120. Từ đó sẽ tìm được thừa số thừa nhất.
Bài giải
Khi bỏ chữ số 0 thì thừa số thứ hai trở thành 27.
Như vậy thừa số thứ hai đã bị giảm đi : 207 – 27 = 180.
Do thừa số thứ hai bị giảm đi 180 đơn vị nên tích sẽ bị giảm đi 180 lần thừa số thứ nhất mà theo đề ra, kết quả so với tích đúng giảm đi 6120 đơn vị, tức là 180 lần thừa số thứ nhất bằng 6120.
Vậy thừa số thứ nhất là:
6120 : 180 = 34
Tích đúng của phép nhân là :
 34 x 207 = 7038
Bài toán 5 : Khi nhân 254 với số có 2 chữ số giống nhau, bạn Hà đã sơ ý đặt tích riêng thẳng cột như phép cộng nên tìm ra kết quả so với tích đúng giảm đi 16002 đơn vị. Tìm tích đúng.
Phân tích
Khi nhân 254 với số có hai chữ số giống nhau, tức là lấy 254 x aa .
Mà aa = 11 x a, nên 254 x aa = 254 x 11 x a.
Do bạn Hà đặt các tích riêng thẳng cột như trong phép cộng nên kết quả tìm được chính bằng 254 x a + 254 x a, tức là bằng 254 x a x2. Như vậy, so với tích đúng thì kết quả đã giảm đi 254 x a x9. Mà theo bài ra, kết quả so với tích đúng giảm đi 16002 đơn vị. Từ đó, ta sẽ tìm được a, biết được thừa số thứ hai và tìm được tích đúng. 
Bài giải :
Gọi thừa số thứ hai là aa .
Khi nhân đúng ta có 254 x aa . Mà aa = a x 11
Vậy 254 x aa = 254 x a x 11
Khi bạn Hà sơ ý đặt sai tích riêng tức là lấy 254 x a + 254 x a = 254 x a x 2.
So với tích đúng thì kết quả đã bị giảm đi : 
254 x a x 11 – 254 x a x 2 = 254 x a x 9.
Theo bài ra, kết quả so với tích đúng bị giảm đi 16002 đơn vị, hay:
254 x a x 9 = 16002
2286 x a = 16002
a = 16002 : 2286 = 7
Vậy thừa số thứ hai là 77.
Tích đúng của phép nhân là :
254 x 77 = 19558
2.2 - Một số bài tập vận dụng :
Bài 1 : Khi nhân một số tự nhiên với 44, một bạn đã viết các tích riêng thẳng cột như trong phép cộng, do đó được kết quả là 2096.Tìm tích đúng của phép nhân đó.
Bài 2 : Một học sinh khi nhân một số với 1007 đã quên viết hai chữ số 0 của số 1007 nên tích số giảm đi 3153150 đơn vị. Hãy tìm tích đúng của phép nhân.
Bài 3: Trong phép nhân có thừa số thứ hai là 64. Nếu thực hiện phép nhân mà không viết tích riêng thứ hai lùi vào một cột so với tích riêng thứ nhất, sau đó cộng hai tích riêng lại thì được kết quả là 870. Tìm tích đúng của phép nhân.
3- Kết quả
Sau khi dạy xong 2 tiết bồi dưỡng về “Tìm lại tích đúng”, tôi đã ra đề kiểm tra trong thời gian 15 phút 2 bài toán sau: 
Đề ra:
Bài 1:Khi nhân một số với 357, bạn Hoa đã đặt các tích riêng thẳng cột với nhau nên tìm ra kết quả là 3510.
Hãy tìm tích đúng.
Bài 2: Khi nhân 314 với số có hai chữ số khác nhau, bạn Quỳnh đã đặt các tích riêng thẳng cột như trong phép cộng nên tìm ra kết quả so với tích đúng giảm đi 2826 đơn vị. Hãy tìm tích đúng của phép nhân.
 Kết quả cụ thể như sau :
Năm học
Tổng số hs được khảo sát
Học sinh khối 4
Học sinh khối 5
G
Tỉ lệ %
K
Tỉ lệ%
TB
Tỉ lệ%
Y
Tỉ lệ%
G
Tỉ lệ%
K
Tỉ lệ%
TB
Tỉ lệ%
Y
Tỉ lệ%
2009-2010
21
14
67
6
29
1 
4
0
0
16
76
5
24
0
0
0
0
Qua lần khảo sát này, tôi thấy học sinh đã vận dụng các kiến thức trên để giải các bài toán một cách thành thạo. Và cũng qua đây, học sinh đã biết vị trí của các tích riêng trong phép nhân là rất quan trọng. Từ đó, học sinh thận trọng, cẩn thận hơn trong tính toán.
C - kết luận
Qua thực tế giảng dạy ở trường Tiểu học, tôi thấy kĩ năng đặt tính và tính toán của học sinh còn chưa thật chính xác. Đặc biệt là cách giải các bài toán dạng“ Tìm lại tích đúng”, học sinh còn rất bỡ ngỡ, mới lạ. Qua việc dạy bồi dưỡng cho học sinh về cách tìm lại tích đúng, tôi thấy bước đầu, cơ bản các em đã biết cách làm các bài toán dạng này một cách thanh thạo. Không những thế mà ngay cả trong kĩ năng đặt tính và tính toán, các em đều nhận thức rõ vai trò và vị trí của các tích riêng trong phép nhân, nắm được mối quan hệ giữa các thành phần ( thừa số ) và kết quả ( tích ) để giải các bài toán có liên quan đến phép nhân. Để những tiết dạy dạng toán “ tìm lại tích đúng” đạt kết quả cao, tôi đã rút ra một số kinh nghiệm nhỏ như sau :
+ Để giúp học sinh, đặc biệt là học sinh khá giỏi nắm chắc được kiến thức Toán học thì người giáo viên nhất thiết phải cung cấp cho học sinh hiểu được cơ sở Toán học, bản chất của vấn đề hay mối quan hệ của các đại lượng, các dữ kiện trong từng bài toán, trong dạng toán, từng phần lí thuyết.
+ Khi dạy, không phải giáo viên cứ rèn cho học sinh giải từng bài toán cụ thể hết bài này sang bài khác mà điều quan trọng là giáo viên phải biết đi từ những bài toán cụ thể từ dễ đến khó.Trên cơ sở đó , định hướng cho học sinh cách giải, từ đó rút ra cách giải tổng quát cho từng dạng toán.
+ Thông qua dạy dạng “tìm lại tích đúng” để từ đó nhắc nhở các em cách trình bày , kĩ năng đặt tính và tính trong phép nhân.
d- kiến nghị và đề xuất
Trên đây chỉ mới là một phương pháp để giải một dạng toán trong rất nhiều kiểu bài, dạng bài khác nhau ở chơng trình Toán Tiểu học.Và có thể phương pháp mà tôi đưa ra đây chưa thật sự là tối ưu. Vì vậy, tôi mong rằng hằng năm, trường, Phòng, Sở tổ chức các lớp chuyên đề về phương pháp giải Toán ở Tiểu học để tôi có cơ hội được học hỏi nhiều hơn nhằm nâng cao trình độ tay nghề và năng lực chuyên môn.
Tôi rất mong đợc sự bổ sung, góp ý chân thành của Hội đồng Khoa học Ngành để bản thân tôi ngày càng tiến bộ.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
 Hà Tĩnh, tháng 4 năm 2010
 Sở giáo dục - đào tạo hà tĩnh
Hớng dẫn học sinh giỏi lớp 4 - 5 
giảI dạng toán “ tìm lại tích đúng” 
**********
Hà Tĩnh, tháng 4 năm 2010
 Sở giáo dục - đào tạo hà tĩnh
Hớng dẫn học sinh giỏi lớp 4 - 5 
giảI dạng toán “ tìm lại tích đúng” 
**********
Ngời viết :Dơng Thị Hồng Thơng
Đơn vị : Trờng Tiểu học Thạch Khê – Thạch Hà .
Hà Tĩnh, tháng 4 năm 2010