Một số bài Toán tính nhanh

MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍNH NHANH
(PHÂN SỐ, CHỮ SỐ TẬN CÙNG, TèM X, DẤU HIỆU CHIA HẾT)
Đề bài
Đỏp ỏn
Bài 1: Tính biểu thức sau một cách hợp lí nhất:
a) 
b) A = + + + ......+ + 
 a) Phân tích mẫu số ta có:
1997 1996 – 1995 1996 = 1996(1997 -1995) = 1996 2.
Phân tích tử số ta có:
1998 1996 + 1997 11 + 1985 = 1998 1996 + (1996 + 1) 11 + 1985
= 1998 1996 + 1996 11 + 11 +1985 = 1998 1996 + 1996 11 +1996
= 1996 (1998 + 11 + 1 ) = 1996 2010.
Vậy giá trị phân số trên là: = 1005.
b) A = + + + ......+ + 
Ta có: 2 x A = 1 + + + + ......+ 
A = 2 x A – A = 1 + + + + .....+ - + + + ......+ + ; A = 1 - A = 
Bài 2 : Tớnh nhanh tổng sau : 
Đặt tổng trờn bằng A ta cú :
Bài 3:
a) Không làm tính hãy so sánh:
A = 1991 x 1999 và B = 1995 x 1995
b) Tính nhanh biểu thức sau:
Cách 1: 
= 
= 
a) So sánh A và B: B = 1995 x 1995
A = 1991 x 1999 = 1995 x (1991+4)
 = 1991 x (1995 + 4) = 1995 x 1991 + 1995 x 4
 = 1991 x 1995 + 1991 x 4
Vì 1991 x 1995 = 1995 x 1991 và 1991 x 4 < 1995 x 4
nên 1991 x 1999 < 1995 x 1995
Cách 2: Nhận xét ; ; 	; ; 	
C = = 
 = 
Cách 3: Nhận xét:
	Do đó	
	Do đó: 
Cứ theo quy luật này ta có:
C = = = 
Bài 4 : Cho S = 
Hãy so sánh S và .
Xét các số hạng của tổng ta thấy : 
. Ta có : 
>x10
 >
 Nên S > .
Bài 5 :Tớnh nhanh:
( 1+3+5+7++2003+2005) x (125 125 x 127 – 127 127 x 125)
a) Ta cú:
125 125x127 – 127 127x125 = 1001x125x127 – 1001x127x125 = 0 . nờn : (1+3+5+...+2005)(125 125x127 – 127 127x125) = 0 
Bài 6: Không quy đồng tử số và mẫu số. Hãy so sánh:
a/ ; b/ 
a/ Ta có: ; 
Mà vì hai phân số có cùng tử số, phân số nào có mẫu số bé hơn là phân số lớn hơn. Suy ra: 
b/ suy ra 
Bài 7 : Cho 7 phõn số : 
Thăng chọn được hai phõn số mà tổng cú giỏ trị lớn nhất. Long chọn hai phõn số mà tổng cú giỏ trị nhỏ nhất. Tớnh tổng 4 phõn số mà Thăng và Long đó chọn. 
Vậy ta sắp xếp được như sau :
Tổng hai phõn số cú giỏ trị lớn nhất là : 
 Tổng hai phõn số cú giỏ trị nhỏ nhất là : 
Do đú tổng bốn phõn số mà Thăng và Long đó chọn là : 
Bài 8 : Cho tổng : 
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 49 + 50.
Liệu cú thể liờn tục thay hai số bất kỡ bằng hiệu của chỳng cho tới khi được kết quả là 0 hay khụng ? 
Bài giải : Ta đặt A = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 49 + 50. Dóy số tự nhiờn liờn tiếp từ 1 đến 50 cú 50 số, trong đú số cỏc số lẻ bằng số cỏc số chẵn nờn cú 50 : 2 = 25 (số lẻ). Vậy A là một số lẻ. Gọi a và b là hai số bất kỡ của A, khi thay tổng a + b bằng hiệu a - b thỡ A giảm đi : (a + b) - (a - b) = 2 x b tức là giảm đi một số chẵn. Hiệu của một số lẻ và một số chẵn luụn là một số lẻ nờn sau mỗi lần thay, tổng mới vẫn là một số lẻ. Vỡ vậy khụng bao giờ nhận được kết quả là 0. 
Bài 9 : Viết liờn tiếp cỏc số từ trỏi sang phải theo cỏch sau : Số đầu tiờn là 1, số thứ hai là 2, số thứ ba là chữ số tận cựng của tổng số thứ nhất và số thứ hai, số thứ tư là chữ số tận cựng của tổng số thứ hai và số thứ ba. Cứ tiếp tục như thế ta được dóy cỏc số như sau : 1235831459437...... Trong dóy trờn cú xuất hiện số 2005 hay khụng ? 
Giả sử trong số tạo bởi cỏch viết như trờn cú xuất hiện nhúm chữ 2005 thỡ ta cú : 2 + 0 là số cú chữ số tận cựng là 0 (vụ lớ). 
Vậy trong dóy trờn khụng thể xuất hiện số 2005.
Bài 10: Tìm x sao cho:
1,2 x ( - 0,05 ) = 1,44
 1,2 x ( - 0,05 ) = 1,44
( - 0,05) = 1,44 : 1,2
 - 0,05 = 1,2 nờn = 1,2 + 0,05 
 = 1,25 do đú 2,4 x X – 0,23 = 1,25 x X
2,4 x X –1,25 x X = 0,23 nờn X x (2,4 -1,25 ) = 0,23
 X = 0,23 : 1,15 Vậy X= 0,2
Bài 11: a) Tỡm số tự nhiờn bộ nhất để thay vào x thỡ được: 
 3,15 x X > 15,5 3,15
b) Tỡm số tự nhiờn x biết rằng: 
c) 75% X + X + X = 30	
a) Tỡm số tự nhiờn bộ nhất để thay vào x thỡ được: (0, 75 đ)
 X > 15,5 3,15
Hai tớch cú thừa số (*) giống nhau thỡ tớch nào lớn hơn sẽ cú thừa số cũn lại lớn hơn.
Vậy; X > 15,5 mà vỡ X là số tự nhiờn bộ nhất nờn X = 16
	b) Tỡm số tự nhiờn x biết rằng: ( 0, 75đ)
 ; ; 1< x< 3 ; Vậy x = 2
c) 0,75 X + 0,75 X + 1 X = 30	 
(0,75 + 0,75 + 1) X = 30 ; 2,5 X = 30	 X = 30 : 2,5 	 ; X= 12	
Bài 12 : Tỡm cỏc chữ số a và b thỏa món : 
Vỡ 1/3 là phõn số tối giản nờn a chia hết cho 3 hoặc b chia hết cho 3. Giả sử a chia hết cho 3, vỡ 1/a 3 mà a < 10 do đú a = 6 ; 9. 
Vậy a = b = 6.
Bài 13 : Tớch sau đõy cú tận cựng bằng chữ số nào ?
Tớch của bốn thừa số 2 là 2 x 2 x 2 x 2 = 16 và 2003 : 4 = 500 (dư 3) nờn ta cú thể viết tớch của 2003 thừa số 2 dưới dạng tớch của 500 nhúm (mỗi nhúm là tớch của bốn thừa số 2) và tớch của ba thừa số 2 cũn lại. Vỡ tớch của cỏc thừa số cú tận cựng là 6 cũng là số cú tận cựng bằng 6 nờn tớch của 500 nhúm trờn cú tận cựng là 6. Do 2 x 2 x 2 = 8 nờn khi nhõn số cú tận cựng bằng 6 với 8 thỡ ta được số cú tận cựng bằng 8 (vỡ 6 x 8 = 48). Vậy tớch của 2003 thừa số 2 sẽ là số cú tận cựng bằng 8.
Bài 14 : Cho A = 2004 x 2004 x ... x 2004 (A gồm 2003 thừa số) và B = 2003 x 2003 x ... x 2003 (B gồm 2004 thừa số). Hóy cho biết A + B cú chia hết cho 5 hay khụng ? Vỡ sao ? 
A = (2004 x 2004 x ... x 2004) x 2004 = C x 2004 (C cú 2002 thừa số 2004). C cú tận cựng là 6 nhõn với 2004 nờn A cú tận cựng là 4 (vỡ 6 x 4 = 24). B = 2003 x 2003 x ... x 2003 (gồm 2004 thừa số) = (2003 x 2003 x 2003 x 2003) x ... x (2003 x 2003 x 2003 x 2003). Vỡ 2004 : 4 = 501 (nhũm) nờn B cú 501 nhúm, mỗi nhúm gồm 4 thừa số 2003. Tận cựng của mỗi nhúm là 1 (vỡ 3 x 3 = 9 ; 9 x 3 = 27 ; 27 x 3 = 81). Vậy tận cựng của A + B là 4 + 1 = 5. Do đú A + B chia hết cho 5.
Bài 15: Cho tích sau:
0,9 x 1,9 x 2,9 x 3,9x  x 18,9
a, Không viết cả dãy, cho biết tích này có bao nhiêu thừa số ?
b, Tích này tận cùng bằng chữ số nào?
c, Tích này có bao nhiêu chữ số phần thập phân?
a, Ta nhận thấy khoảng cách giữa các thừa số liền nhau đèu là 1 đơn vị nêu số đầu là 0,9 -> thừa số cuối là 18,9 .Vậy tích này có 19 thừa số .
b, Vì tích này có 19 thừa số, mà các chữ số cuối cùng đều là 9 nên chữ số cuối cùng của tích là chữ số 9.
c,Vì các thừa số đều có một chữ số phần thập phân nên tích này có 19 chữ số ở phần thập phân.
Bài 16 : A là số tự nhiờn cú 2004 chữ số. A là số chia hết cho 9 ; B là tổng cỏc chữ số của A ; C là tổng cỏc chữ số của B ; D là tổng cỏc chữ số của C. Tỡm D. 
Vỡ A là số chia hết cho 9 mà B là tổng cỏc chữ số của A nờn B chia hết cho 9. Tương tự ta cú C, D cũng chia hết cho 9 và đương nhiờn khỏc 0. Vỡ A gồm 2004 chữ số mà mỗi chữ số khụng vượt quỏ 9 nờn B khụng vượt quỏ 9 x 2004 = 18036. Do đú B cú khụng quỏ 5 chữ số và C < 9 x 5 = 45. Nhưng C là số chia hết cho 9 và khỏc 0 nờn C chỉ cú thể là 9 ; 18 ; 27 ; 36. Dự trường hợp nào xảy ra thỡ ta cũng cú D = 9. 
Bài 17 : Biết rằng số A chỉ viết bởi cỏc chữ số 9. Hóy tỡm số tự nhiờn nhỏ nhất mà cộng số này với A ta được số chia hết cho 45. 
* Cỏch 1 : A chỉ viết bởi cỏc chữ số 9 nờn: 
Vậy A chia cho 45 dư 9. Một số nhỏ nhất mà cộng với A để được số chia hết cho 45 thỡ số đú cộng với 9 phải bằng 45. Vậy số đú là : 45 - 9 = 36. *Cỏch 2 : Gọi số tự nhiờn nhỏ nhất cộng vào A là m. Ta cú A + m là số chia hết cho 45 hay chia hết cho 5 và 9 (vỡ 5 x 9 = 45 ; 5 và 9 khụng cựng chia hết cho một số số nào đú khỏc 1). Vỡ A viết bởi cỏc chữ số 9 nờn A chia hết cho 9, do đú m chia hết cho 9. A + m chia hết cho 5 khi A + m cú tận cựng là 0 hoặc 5 mà A cú tận cựng là 9 nờn m cú tận cựng là 1 hoặc 6. Số nhỏ nhất cú tận cựng là 1 hoặc 6 mà chia hết cho 9 là 36. Vậy m = 36. 
Bài 18 : Người ta lấy tớch cỏc số tự nhiờn liờn tiếp từ 1 đến 30 để chia cho 1000000. Bạn hóy cho biết : 
1) Phộp chia cú dư khụng ? 
2) Thương là một số tự nhiờn cú chữ số tận cựng là bao nhiờu ? 
Xột tớch A = 1 x 2 x 3 x ... x 29 x 30, trong đú cỏc thừa số chia hết cho 5 là 5, 10, 15, 20, 25, 30 ; mà 25 = 5 x 5 do đú cú thể coi là cú 7 thừa số chia hết cho 5. Mỗi thừa số này nhõn với một số chẵn cho ta một số cú tận cựng là số 0. Trong tớch A cú cỏc thừa số là số chẵn và khụng chia hết cho 5 là : 2, 4, 6, 8, 12, . . . , 26, 28 (cú 12 số). Như vật trong tớch A cú ớt nhất 7 cặp số cú tớch tận cựng là 0, do đú tớch A cú tận cựng là 7 chữ số 0. Số 1 000 000 cú tận cựng là 6 chữ số 0 nờn A chia hết cho 1 000 000 và thương là số tự nhiờn cú tận cựng là chữ số 0. 
Câu 19: Khi chia 1095 cho một số tự nhiên ta được thương là 7 và số dư là số lớn nhất có thể. Tìm số chia.
Theo đề bài, phép chia 1096 cho một số tự nhiên có số dư lớn nhất nên khi số bị chia cộng thêm 1 thì được số mới sẽ chia hết cho số chia cũ. Khi đó thương sẽ tăng thêm 1 đơn vị.
	Vậy số chia cần tìm là: (1905 + 1 ) : (7 + 1 ) = 137
Bài 20: ( 3 điểm) Tỡm tất cả cỏc số tự nhiờn cú 2 chữ số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3 lại vừa chia hết cho 5?
Đặt điều kiện một số tự nhiờn cú 2 chữ số vừa chia hết cho 2 và vừa chia hết cho 5 là số cú tận cựng là 0, vậy số đú là số trũn chục. 
Để cỏc số trũn chục chia hết cho 3 thỡ chữ số hàng chục phải chia hết cho 3(1đ) Vậy cỏc số đú là: 30; 60 ; 90. 
Bài 20 : Hai số tự nhiờn A và B, biết A < B và hai số cú chung những đặc điểm sau : - Là số cú 2 chữ số. 
- Hai chữ số trong mỗi số giống nhau. 
- Khụng chia hết cho 2 ; 3 và 5. 
a) Tỡm 2 số đú. 
b) Tổng của 2 số đú chia hết cho số tự nhiờn nào ? 
Vỡ A và B đều khụng chia hết cho 2 và 5 nờn A và B chỉ cú thể cú tận cựng là 1 ; 3 ; 7 ; 9. Vỡ 3 + 3 = 6 và 9 + 9 = 18 là 2 số chia hết cho 3 nờn loại trừ số 33 và 99. A < B nờn A = 11 và B = 77. 
b) Tổng của hai số đú là : 11 + 77 = 88.
Ta cú : 88 = 1 x 88 = 2 x 44 = 4 x 22 = 8 x 11. 
Vậy tổng 2 số chia hết cho cỏc số : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 11 ; 22 ; 44 ; 88.
Bài 21 Tỡm số cú ba chữ số, biết số đú chia cho 2 dư 1, chia cho 5 dư 3 và chia hết cho 3, biết chữ số hàng trăm là 8.
Theo đề bài ta cú: số đú cú dạng , 0, a 0 
Để chia 2 dư 1 thỡ b = 1;3;5;7;9 ( 1)	
Để chia 5 dư 3 thỡ b = 3 hoặc 8 ( 2)
Từ (1) và (2) suy ra b = 3 
Số đú cú dạng 
Để chia hết cho 3 thỡ (8 +a + 3) chia hết cho 3 hay (11 + a) chia hết cho 3 
Suy ra a = 1; 4; 7	
Vậy cỏc số cần tỡm là: 813; 843; 873	 
DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ
Một số lưu ý khi giải toỏn về “dóy số”
	Trong bài toỏn về dóy số thường người ta khụng cho biết cả dóy số (vỡ dóy số cú nhiều số khụng thể viết ra hết được) vỡ vậy, phải tỡm ra được quy luật của dóy (mà cú rất nhiều quy luật khỏc nhau) mới tỡm được cỏc số mà dóy số khụng cho biết. Đú là những quy luật của dóy số cỏch đều, dóy số khụng cỏch đều hoặc dựa vào dấu hiệu chia hết để tỡm ra quy luật.Ở dạng 2: Muốn kiểm tra số A cú thoả món quy luật của dóy đó cho hay khụng? Ta cần  ...  Giải:
	Trong dãy số bạn học sinh viết cứ 5 số lại lặp lại từ đâu.
	Ta có: 1996 : 5 = 399 (dư 1)
	Như thế bạn học sinh đã viết 399 lần các sô 1, 2, 3, 4, 5 và được 5 x 399 = 1995 (số hạng).
	Như vậy, số hạng thứ 1996 phải là số 1.
* Bài tập tự luyện:
	1. Một người viết liên tiếp nhóm nhữ: toán năm thành toan nam toan nam toan
	a. Chữ cái thứ 2002 trong dãy là gì?
	b. Nếu người ta đếm được trong dãy có 50 chữ N thì dãy đó có bao nhiêu chữ A? Bao nhiêu chữ O?
	c. Một người đếm được trong dãy có 2000 chữ A, hỏi người đó đếm đúng hay sai? Giải thích tại sao?
	d. Người ta tô màu các chữ cái trong dãy theo thứ tự xanh, đỏ, tím, vàng, xanh, đỏ, tím hỏi chữ cái thứ 1999 trong dãy được tô màu gì?
	2. Một người đánh máy chữ phải đánh liên tiếp nhóm chữ “tiền hải” thành một dãy chữ TIEN HAI TIEN HAI hỏi lần gõ vào máy thứ 2001 rơi vào chữ cái nào?
	3. Viết liên tiếp các số tự nhiên chẵn thành dãy: 2, 4, 6, 8, 10, hỏi chữ số thứ 1994 chữ số mấy?
	4. Người ta viết liên tiếp các chữ số 0123456789 thành một số A, hỏi chữ số thứ 195 của số A là chữ số nào?
	5. Người ta viết các chữ cái dạy tốt, học tốt, thành DAY TOT HOC TOT bằng 3 màu xanh, đỏ, tím, mỗi tiếng một màu.
	Hỏi chữ cái thứ 2002 là chữ cái gì? Màu gì?
Nội dung 3:	Một số lưu ý khi giải toán về “dãy số”
	Trong bài toán về dãy số thường, người ta cho biết cả dãy số (vì dãy số có nhiều số không thể viết ra hết được) vì vậy, phải tìm ra được quy luật của dãy (mà có rất nhiều quy luật khác nhau) mới tìm được các số mà dãy số khô cho biết. Đó là những quy luật của dãy số cách đều, dãy số không cách đều hoặc dựa vào dấu hiệu chia hết để tìm ra quy luật ở dạng 1, muốn giải bài toán về tìm chữ số cuối cùng của dãy (khi biết dãy đó có tất cả bao nhiêu số hạng) thì ta phải tìm số khoảng cách của dãy số bằng cách lấy dãy đó có bao nhiêu số hạng trừ đi 1, sau đó tìm hiệu của số cuối cùng của dãy bằng hiệu của số cuối cùng và số đầu bằng khoảng cách giữa 2 số nhân với số khoảng cách. Từ đó tìm được số cuối cùng của dãy bằng hiệu của số cuối và số đầu cộng với số đầu tiên của dãy.
	ở dạng 2: Muốn kiểm tra số a có thoả mãn quy luật của dãy đã cho hay không? Ta cần xem dãy số cho trước và số cần xác định có cùng tính chất hay không? (Có cùng chia hết cho một số nào đó hoặc có cùng số dư) thf số đó thuộc dãy đã cho.
	ở dạng 3: Có các yêu cầu sau:
	+ Tìm tất cả các chữ số của dãy.
	+ Tìm tất cả các số hạng của dãy.
	Khi giải cũng tính bằng một công thức như ở phần cách giải đã nói.
	+ Tìm chứ số thứ n của dãy.
	Ta cần phải tìm số đầu tiên đến số liên quan đến chữ số thứ n của dãy là số có bao nhiêu chữ số, từ đó tìm ra câu hỏi của bài toán.
	+ Tìm số hạng thứ n của dãy.
	Ta chỉ cần tìm đấn quy luật của dãy là được (nếu là dãy số cách đều), nếu là dãy số (không cách đều) được tính theo công thức n x (n – 1) : 2.
	ở dạng 4: Có các yêu cầu:
	+ Tìm tổng các số hạng của dãy.
	+ Tính nhanh tổng.
	* Khi giải: Sau khi tìm ra quy luật của dãy, ta sắp xếp các số theo từng cặp sao cho có tổng đều bằng nhau, sau đó tìm cặmp số rồi tìm tổng các số hạng của dãy. Chú ý: Khi tìm số cặp số mà còn dư một số hạng thì khi tìm tổng ta phải cộng số dư đó vào.
	Nếu tính nhanh tổng phải dựa vào tính chất của phân số.
	ở dạng 5: Đó là dãy chữ khi giải đề phải dựa vào quy luật của dãy, sau đó có thể xem dãy chữ hoặc dãy số có tất cả bao nhiêu chữ hoặc số rồi đi tìm có tất cả bao nhiêu nhóm và đó chính là phần trả lời của bài toán.
Chuyeõn ủeà veà daừy soỏ caựch ủeàu
- Daừy soỏ caựch ủeàu laứ moọt daùng toaựn thửụứng gaởp ụỷ tieồu hoùc . Tửứ quy luaọt cuỷa daừy soỏ , ta coự theồ tỡm thaỏy raỏt nhieàu baứi toaựn maứ giaỷi noự caàn vaọn duùng nhieàu kieỏn thửực maứ caực em daừ ủửụùc trang bũ . Chuựng ta caàn tỡm hieồu maỏy baứi toaựn sau : 
Baứi toaựn 1 : 
Cho daừy soỏ : 1 , 3 , 5 , 7 , 9,.,17 , 19 
Xaực ủũnh quy luaọt cuỷa daừy soỏ .
Vieỏt tieỏp 4 soỏ haùng cuoỏi cuứng cuỷa daừy .
Tớnh caực soỏ haùng cuỷa daừy 
Phaõn tớch : Muoỏn xaực ủũnh quy luaọt cuỷa daừy , ta dửùa vaứo caực soỏ haùng ủaừ cho trong daừy ủeồ ruựt ra quy luaọt . Tửứ quy luaọt aỏy ta tỡm ra ủửụùc 4 soỏ haùng cuoỏi cuứng cuỷa daừy .
Tớnh caực soỏ haùng cuỷa daừy tửực laứ tớnh xem daừy ủoự coự bao nhieõu soỏ haùng . Coự nhieàu caựch tớnh maứ moọt trong nhửừng caựch ủoự dửùa vaứo toaựn troàng caõy ụỷ caỷ hai ủaàu ủửụứng . Khi troàng caõy ụỷ caỷ hai ủaàu ủửụứng thỡ soỏ caõy baống soỏ khoaỷng caựch coọng theõm 1.
Baứi giaỷi : 
Nhaọn xeựt : 
 3-1 = 2
5-3 = 2
.
19- 17 = 2
Quy luaọt : Hai soỏ ủửựng lieàn nhau hụn ( keựm ) nhau 2 ủụn vũ .
Boỏn soỏ haùng cuoỏi cuứng cuỷa daừy laứ : 
19 + 2 = 21 
21 + 2 = 23 
23 + 2 = 25 
25 + 2 = 27 
Ta coự daừy soỏ :
1, 3 ,5 ,7 9  17, 19 , 21 , 23, 25, 27 .
c. Hai soỏ lieàn nhau goùi laứ moọt khoaỷng caựch neõn moói khoaỷng caựch laứ 2 .
Tửứ 1 ủeỏn 27 coự soỏ khoaỷng caựch laứ :
( 27 – 1 ): 2 = 13 Khoaỷng caựch 
Vaọy tửứ 1 ủeỏn 27 coự caực soỏ leỷ lieõn tieỏp laứ : 
13 + 1 = 14 ( soỏ) 
Nhaọn xeựt : Tửứ caựch tớnh soỏ caực soỏ haùng cuỷa daừy ta coự theồ neõu thaứnh coõng thửực tỡm soỏ caực soỏ haùng cuỷa daừy soỏ caựch ủeàu nhử sau : 
Soỏ caực soỏ haùng = ( Soỏ lụựn nhaỏt – soỏ beự nhaỏt ) : khoaỷng caựch + 1 
Baứi toaựn 2: Cho daừy soỏ : 1,4, 7 , 10, 97 , 100 . 
Tớnh soỏ caực soỏ haùng cuỷa daừy .
Tớnh toồng caực soỏ haùng cuỷa daừy .
Phaõn tớch : AÙp duùng coõng thửực tớnh soỏ caực soỏ haùng cuỷa daừy caựch ủeàu ta deó daứng tỡm ủửụùc soỏ caực soỏ haùng cuỷa daừy treõn . Tuy nhieõn trửụực heỏt ta phaỷi tỡm quy luaọt ủeồ suy ra khoaỷng caựch giửừa khoaỷng caựch giửừa hai soỏ lieàn nhau trong daừy .
Ta coự : 1 + 4 + 7 + 10 + + 94 + 97 + 100 = ( 1 + 100 ) + ( 4 + 97 + + ( 7 + 94 ) + + = 101 + 100 +101 + 
Nhử vaọy soỏ caởp coự toồng baống 101 + 101 + 101 + 
Nhử vaọy soỏ caởp coự toồng baống 101 seừ baống ẵ soỏ caực soỏ haùng cuỷa daừy . Do ủoự ủeồ Tớnh toồng caực soỏ haùng treõn ta coự theồ tớnh baống coõng thửực sau :
Toồng caực soỏ haùng = ( soỏ lụựn nhaỏt + soỏ beự nhaỏt ) .(soỏ caực soỏ haùng): 2 
Baứi giaỷi :
Nhaọn xeựt 
4- 1 = 3 
7- 4 = 3
10 – 7 = 3 
..
100 – 97 = 3 
Quy luaọt : Hai soỏ ủửựng lieàn nhau hụn ( keựm ) nhau 3ủụn vũ .
Soỏ caực soỏ haùng cuỷa daừy laứ : ( 100 – 1 ) : 3 + 1 = 34 ( soỏ ) 
Toồng soỏ caực soỏ haùng cuỷa daừy laứ : 
( 100 + 1 ) x 34 : 2 = 1717 
Baứi toaựn 3 :
Cho daừy soỏ : 2, 5, 8, 11, 14 , 17 , 98 , 101 , 104 , 107 , 110 ,
Tớnh soỏ caực soỏ haùng thửự 25 cuỷa daừy 
Tỡm soỏ haùng thửự 25 cuỷa daừy .
Xeựt xem soỏ 56 , 75 , 113 coự thuoọc daừy soỏ treõn khoõng , neỏu coự thỡ noự laứ thửự bao nhieõu cuỷa daừy ? 
Phaõn tớch : Tỡm soỏ haùng 25 cuỷa daừy tửực laứ tớnh ủeỏn soỏ haùng caàn tỡm laứ 25 soỏ haùng . Do ủoự ta goùi soỏ haùng ủoự laứ x roài vaõn duùng coõng thửực tớnh soỏ caực soỏ haùng cuỷa daừy ủeồ tớnh .
Neỏu dửùa vaứo quy luaọt caựch ủeàu thỡ seừ khoõng nhaọn bieỏt ủửụùc soỏ naứo trong soỏ ủaừ cho laứ soỏ haùng cuỷa daừy . Chaỳng haùn muoỏn bieỏt soỏ 56 coự phaỷi laứ soỏ haùng cuỷa daừy khoõng ta phaỷi xeựt xem soỏ 53 thuoọc daừy khoõng , muoỏn bieỏt 53 coự thuoọc daừy khoõng laùi phaỷi xem xeựt soỏ 50 coự thuoọc daừy khoõng.Tuy nhieõn ta coự theồ giaỷ sửỷ soỏ caàn xeựt laứ soỏ haùng cuỷa daừy vaứ tỡm vũ trớ cuỷa noự , neỏu khoõng tỡm ủửụùc vũ trớ naứo thỡ soỏ ủoự khoõng thuoọc daừy . Ta cuừng coự theồ tỡm caựch khaực chaỳng haùn : Neỏu laỏy moói soỏ cuỷa daừy chia cho 3 ( khoaỷng caựch ) thỡ luoõn coự soỏ dử laứ 2 . Nhử vaọy soỏ naứo chia cho 3 coự soỏ dử laứ 2 thỡ mụựi laứ soỏ haùng cuỷa daừy . Dửùa vaứo caựch tớnh soỏ caực soỏ haùng cuỷa daừy hoaởc thửụng cuỷa noự so vụựi soỏ chổ vũ trớ cuỷa tửứng soỏ haùng seừ bieỏt ủửụùc vũ trớ cuỷa soỏ haùng ủoự .
Baứi giaỷi :
Nhaọn xeựt : 
2 + 3= 5
5 + 3= 8 
8 + 3=11 
..
101 + 3 = 104 
104 + 3 = 107 
107 + 3 = 110 
Quy luaọt : Hai soỏ ủửựng lieàn nhau hụn ( keựm ) nhau 3 ủụn vũ .
Soỏ caực soỏ haùng cuỷa daừy laứ : 
( 110 – 2 ): 3 + 1 = 37 ( soỏ ) 
Goùi soỏ haùng thửự 25 cuỷa daừy laứ y ta coự : 
( y – 2 ) : 3 + 1 = 25 
( y – 2 ) : 3 = 25 -1 
( y – 2 ) : 3 = 24 
( y – 2 ) = 24 x 3
Y – 2= 72 
Y = 72 + 2 
Y = 74 
Vaọy soỏ haùng thửự 25 cuỷa daừy laứ 74 .
Caựch 1 : 
Giaỷ sửỷ 56 laứ soỏ haùng cuỷa daừy thỡ vũ trớ cuỷa noự trong daừy soỏ ủoự laứ : 
( 56- 2 ) : 2 + 1 = 19 
Tỡm ủửụùc vũ trớ cuỷa soỏ 56 trong daừy neõn 56 laứ soỏ haùng cuỷa daừy vaứ laứ soỏ haùng thửự 19 .
Giaỷ sửỷ 75 laứ soỏ haùng cuỷa daừy thỡ vũ trớ cuỷa noự trong daừy soỏ ủoự laứ : 
( 75 – 2 ) : 3+ 1 = 24 
Khoõng tỡm ủửụùc vũ trớ cuỷa soỏ 75 trong daừy neõn soỏ 75 khoõng thuoọc daừy soỏ ủoự . 
Soỏ 113 > 110 ( 110 laứ soỏ lụựn nhaỏt trong daừy ) . Vaọy soỏ 113 khoõng phaỷi laứ soỏ haùng trong daừy soỏ treõn .
Caựch 2 : 
Nhaọn xeựt 
2 : 3 = 0 ( dử 2 ) 
5 : 3 = 0 ( dử 2 ) 
8 : 3 = 2 ( dử 3) 
107 : 3 = 35 ( dử 2 ) 
110 : 3 = 2( dử 2 ) 
Quy luaọt : Moói soỏ haùng cuỷa daừy khi chia cho 3 ủeàu dử 2 vaứ thửụng keựm soỏ chổ vũ trớ cuỷa noự 1 ủụn vũ .
+ Xeựt soỏ 56 , ta coự : 56 : 3 = 18 ( dử 2 ) neõn 56 laứ soỏ haùng cuỷa daừy soỏ treõn .
Vỡ thửụng luoõn keựm soỏ chổ vũ trớ 1 ủụn vũ maứ 18 + 1 = 19 neõn soỏ 56 laứ soỏ haùng thửự 18 cuỷa daừy soỏ treõn .
+ Xeựt soỏ 60 khoõng phaỷi laứ soỏ haùng cuỷa daừy .
+ Xeựt soỏ 113 : Ta thaỏy soỏ 113 lụựn hụn soỏ lụựn nhaỏt cuỷa daừy laứ 110 neõn 113 khoõng thuoọc daừy soỏ treõn .
Lửu yự : Ta cuừng coự theồ tỡm soỏ haùng thửự 25 cuỷa daừy dửùa vaứo quy luaọt ủoàng dử treõn .
Caựch laứm nhử sau : 
Vỡ moói soỏ haùng cuỷa daừy khi chia cho 3 ủeàu dử 2 vaứ thửụng keựm soỏ chổ vũ trớ cuỷa noự 1 ủụn vũ neõn soỏ haùng thửự 25 khi chia cho 3 cuừng dử 2vaứ ủửụùc thửụng laứ:
25 – 1 = 24
Soỏ haùng thửự 25 cuỷa daừy laứ 
24 x 3 + 2=74 
Treõn ủaõy laứ 3 baứi toaựn tieõu bieồu cho 3 daùng toaựn veà daừy soỏ caựch ủeàu . 
Baứi taọp veà nhaứ 
Baứi 1 : Cho daừy soỏ : 1,5, 10 , 15 , 20 245 , 250 .
Tớnh soỏ caực soỏ haùng cuỷa daừy 
Tớnh toồng caực soỏ haùng cuỷa daừy 
Baứi 2 : Cho daừy soỏ : 1, 5, 9,13 , 17, 21 
Xaực ủũnh quy luaọt cuỷa daừy roài vieỏt theõm 4 soỏ haùng cuỷa daừy .
Tỡm soỏ haùng thửự 32 cuỷa daừy .
Baứi 3 : Cho daừy soỏ : 500 , 496, 492  , 30 , 26 , 22
Xaực ủũnh quy luaọt cuỷa daừy roài vieỏt theõm 4 soỏ haùng cuoỏi cuứng cuỷa daừy .
Tớnh toồng caực soỏ haùng cuỷa daừy . 
Xem xeựt caực soỏ : 504 , 74 , 47 , 18 ( coự thuoọc daừy khoõng ? Neỏu coự thỡ noự laứ soỏ haùng thửự bao nhieõu cuỷa daừy ?