Tư duy Toán tiểu học

§7, 8: CHUYÊN ĐỀ SỐ TỰ NHÊN LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT
2. Số tự nhiên lớn nhất, nhỏ nhất chia hết cho một số.
a) Tính chất.
Bài toán: 
Trong n số tự nhiên liên tiếp (n ≥ 2) có một số duy nhất là chia hết cho n.
 Chứng minh:
Xét n số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số k, k là số tự nhiên bất kì.
k, k + 1, k + 2,  , k + n – 1. (1)
Trước tiên ta chứng minh trong dãy (1) tồn tại một số chia hết cho n.
Nếu k ⋮ n, thì trong dãy (1) có số k ⋮ n. Xét k ‏٪ n. Theo định nghĩa và tính chất phép chia còn dư tồn tại cặp số tự nhiên p và q sao cho:
k=n×p+q0<q<n.
Khi đó q ≥ 1. Xét số k + n – q, ta có k + n – q ≤ k + n – 1 nên số này thuộc dãy (1).
Mà h + n – q = n × p + q + n – q = n × p + n
 = n × (p + 1).
Do đó k + n – 1 chia hết cho n.
Vậy trong dãy (1) tồn tại một số chia hết cho n. Bây giờ ta chứng minh sự tồn tại này là duy nhất. Giả sử có hai số x và y thuộc dãy (1) thỏa mãn bài toán. 
Tức là k ≤ x, y ≤ k + n – 1 và x ⋮ n, y ⋮ n, không giảm tổng quát giả sử x ≤ y.
Ta có: (y – x) ⋮ n. Mà 0 ≤ y – x ≤ n – 1.
Do đó y – x = 0 hay x = y (đpcm).
▲Ví dụ 10: Mỗi em hãy lấy ví dụ viết 10 số tự nhiên liên tiếp và tìm xem trong 10 số các em viết có bao nhiêu số chia hết cho 10, và nếu có thì là số nào?
Hệ quả:
 Trong n số tự nhiên liên tiếp ( n ≥ 2) luôn tồn tại một số duy nhất chia cho n dư k 
(k ≤ n).
▲Ví dụ 11: Mỗi em hãy lấy ví dụ viết 5 số tự nhiên liên tiếp và lập bảng xem có bao nhiêu số chia hết cho 5, chia cho 5 dư 1; 2; 3; 4?
b) Một số ví dụ áp dụng.
Ví dụ 12: Tìm số tự nhiên lớn nhất có ba chữ số khác nhau và chia hết cho 13?
Lời giải:
• Hướng dẫn:
+ Trong 13 số tự nhiên liên tiếp bất kì luôn tồn tại duy nhất một số chia hết cho 13.
+ Ta gọi số lớn nhất có thể để tất cả các số đó tạo thành được 13 số tự nhiên liên tiếp. Do đó gọi số cần tìm có dạng 9abc.
+ Không có dấu hiệu chia hết cho 13 ta phải áp dụng công thức cấu trúc số tự nhiên và các tính chất chia hết.
• Trình bày lời giải:
Gọi số cần tìm là 9abc, trong đó a, b ≤ 8, a ≠ b và ab lớn nhất có thể. Do đó ab ≤ 87.
Ta có: 9abc = 900 + ab = 13 × 69 + 3 + ab.
Để 9ab ⋮ 13 thì (3 + ab) ⋮ 13. Do ab ≤ 87 nên 3 + ab ≤ 90.
Số lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng 90 chia hết cho 13 là 78.
Nếu 3 + ab = 78 thì ab = 75 (thỏa mãn).
Vậy số cần tìm là 975.
Ví dụ 13: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có bốn chữ số khác nhau chia cho 23 dư 21.
Lời giải:
Gọi số cần tìm là 10ab, trong đó a, b ≥ 2, a ≠ b và ab nhỏ nhất có thể. Do đó ab ≥ 23.
Để 10ab chia cho 23 dư 21 thì (10ab – 21) ⋮ 23.
Ta có: 10ab – 21 = 1000 + ab – 21 = 979 + ab
 = 23 × 42 + 13 + ab.
Do đó (13 + ab) ⋮ 23. Khi đó có số tự nhiên k sao cho:
13 + ab = 23 × k. Mà ab ≥ 23 nên 13 + ab ≥ 36 hay 23 × k ≥ 36. Do đó k ≥ 2.
Ta có bảng sau:
k
2
3
ab
33 (loại)
56 (thỏa mãn)
Vậy số cần tìm là 1056.
▲Ví dụ 14: Tìm số tự nhiên lớn nhất có ba chữ số khác nhau chia hết cho 9 (học sinh trình bày bằng 2 cách).
▲Ví dụ 15: Tìm số tự nhiên lớn nhất có năm chữ số khác nhau chia cho 15 dư 6.
3. Cần dùng ít nhất bao nhiêu chữ số?
Ví dụ 16: Cần ít nhất bao nhiê chữ số 1 để tạo thành các số có tổng bằng 2014? Viết phép tính.
Lời giải:
Số lớn nhấy gồm toàn chữ số 1 và nhỏ hơn 2014 là 1111. Ta có: 2014 = 1111 × 1 + 903.
Tiếp theo số lớn nhất gồm toàn chữ số 1 và nhỏ hơn 903 là 111. Ta có: 903 = 111 × 8 = 15.
Số lớn nhất gồm toàn chữ số 1 và nhỏ hơn 15 là 11. Ta có: 15 = 11 × 1 + 4.
 Mà 4 = 1 + 1 + 1 + 1.
Phép tính là: 
1111 + 111 + 111 + + 111 8 lần 111.+ 11 + 1 + 1 + 1 + 1 = 2014.
Vậy cần ít nhất 34 số 1.
▲Ví dụ 17: Cần ít nhất bao nhiêu chữ số 3 để tạo thành các số có tổng bằng 2012. Viết phép tính.
§ 9, 10, 11: CHUYÊN ĐỀ CHIA HẾT
Các bài toán về chia hết yêu cầu học sinh nẵm vững định nghĩa, tính chất của chia hết và phép chia, đặc biệt dấu hiệu khi chia cho 2; 3; 5; 9; 4 và 25; 8 và 125.
Ngoài ra học sinh cũng cần vận dụng cấu trúc số tự nhiên và kỹ năng tính toán biến đổi đẳng thức.
1. Vận dụng dấu hiệu khi chia cho 2; 3; 5; 9; 4 và 25; 8 và 125.
Ví dụ 1: Cho n = 2014a, tìm chữ số a để:
a) n ⋮ 2?
c) n ⋮ 3?
b) n ⋮ 5?
d) n ⋮ 9?
 Lời giải:
a) Để n ⋮ 2 thì a ⋮ 2. Do đó a = 0; 2; 4; 6; 8.
Vậy a = 0; 2; 4; 6; 8 thỏa mãn bài toán.
b) Để n ⋮ 5 thì a ⋮ 5. Do đó a = 0; 5.
Vậy a = 0; 5 thỏa mãn bài toán.
c) Để n ⋮ 3 thì tổng các chữ số của n chia hết cho 3.
Tổng các chữ số của n là : 2 + 0 + 1 + 4 + a = a + 7.
Do đó (a + 7) ⋮ 3, nên a = 2; 5; 8.
Vậy a = 2; 5; 8 thỏa mãn bài toán.
d) Để n ⋮ 9 thì (a + 7) ⋮ 9. Do đó a = 2.
Vậy a = 2 thỏa mãn bài toán.
▲Ví dụ 2: Cho n = a22a, tìm chữ số a để:
a) n ⋮ 2?
c) n ⋮ 3?
b) n ⋮ 5?
d) n ⋮ 9?
Ví dụ 3: Cho số n = 31a1a, tìm chữ số a để:
a) n chia cho 2 dư 1?
c) n chia cho 3 dư 2?
b) n chia cho 5 dư 3?
d) n chia cho 9 dư 2?
Lời giải:
a) Để n chia cho 2 dư 1 thì a chia cho 2 dư 1. Do đó a = 1; 3; 5; 7; 9 thỏa mãn bài toán.
b) Để n chia cho 5 dư 3 thì a chia cho 5 dư 3. Do đó a = 3 hoặc a = 8 thỏa mãn bài toán.
c) Tổng các chữ số của n là: 3 + 1 + a + 1 + a = 2 × a + 5.
Để n chia cho 3 dư 2 thì 2 × a + 5 chia cho 3 dư 2.
Do đó a = 0; 3; 6; 9 thỏa mãn bài toán.
d) Để n chia cho 9 dư 2 thì 2 × a + 5 chia cho 9 dư 2. Do đó a = 3 thỏa mãn bài toán.
▲Ví dụ 4: Cho số n = 40a2b, với a = b + 2. Tìm số n để?
a) n ⋮ 2?
b) n chia cho 3 dư 1?
b) n chia cho 5 dư 4?
d) n ⋮ 9?
Ví dụ 5: Cho số tự nhiên n = 41a2ab. Tìm chữ số a và b để:
a) n chia hết cho cả 2; 3 và 5?
b) n chia hết cho cả 2; 5 và 9?
Lời giải:
a) Ta có: n = 41a2ab.
Để n chia hết cho cả 2; 3 và 5 thì b = 0 và n ⋮ 3.
Khi b = 0, tổng các chữ số của n là: 4 + 1 + a + 2 + a + 0 = 2 × a + 7.
Vậy có 3 cặp số (a; b) thỏa mãn bài toán là:
a = 1 và b = 0; a = 4 và b = 0; a = 7 và b = 0.
b) Để n chia hết cho cả 2; 5 và 9 thì b = 0.
Do đó (2 × a + 7) ⋮ 9, nên a = 1.
Vậy a = 1, b = 0 thỏa mãn bài toán.
▲Ví dụ 6: Cho số tự nhiên n = 10abb. Tìm chữ số a và b để:
a) n chia hết cho cả 2; 3 và 5?
b) n chia hết cho cả 2; 5 và 9?
Ví dụ 7: Cho số tự nhiên n = 10aabb. Tìm chữ số a và b để:
a) n chia hết cho cả 3 và 5?
b) n chia hết cho cả 5 và 9?
Lời giải:
a) Để n ⋮ 5 thì b = 0 hoặc b = 5. Ta xét 2 trường hợp.
Trường hợp 1: b = 0, thì n = 10aa00. 
Khi đó tổng các chữ số của n là: 1 + 0 + a + a + 0 + 0 = 2 × a + 1.
Do n ⋮ 3 nên (2 × a + 1) ⋮ 3. Do đó a = 1; 4; 7.
Trường hợp 2: b = 5, thì n = 10aa55. 
Khi đó tổng các chữ số của n là: 1 + 0 + a + a + 5 + 5 = 2 × a + 11.
Do đó (2 × a + 11) ⋮ 3 nên a = 2; 5; 8.
Vậy có 6 cặp số (a; b) cần tìm là:
a=1b=0, a=4b=0, a=7b=0, a=2b=5, a=5b=5, a=8b=5.
b) Để n ⋮ 5 thì b = 0 hoặc b = 5.
+ Nếu b = 0, thì (2 × a + 1) ⋮ 9. Do đó a = 4.
+ Nếu b = 5, thì (2 × a = 11) ⋮ 9. Do đó a = 8.
Vậy có 2 cặp số (a; b) cần tìm là:
a=4b=0 hoặc a=8b=5.
▲Ví dụ 8: Cho số tự nhiên n = a2b. Tìm chữ số a và b để:
a) n chia hết cho cả 3 và 5?
b) n chia hết cho cả 5 và 9?
Ví dụ 9: Cho n = 37a7b.Tìm chữ số a, b để:
a) n ⋮ 25? b) n ⋮ 125?
Lời giải:
a) Để n ⋮ 25 thì 7b ⋮ 25. Do đó b = 5.
Vậy mọi chữ số a và b = 5 thỏa mãn bài toán.
b) Để n ⋮ 125 thì a7b ⋮ 125. Do đó a = 3; b = 5 hoặc a = 8; b = 5.
Vậy có 2 cặp số cần tìm là a = 3; b = 5 hoặc a = 8; b = 5.
Ví dụ 10: Cho thêm vào trước và sau số 2014 để được số có 6 chữ số chia cho 5 dư 2 và chia cho 9 dư 3. Tìm số sau khi thêm?
Lời giải:
Giả sử viết thêm chữ số a vào trước, chữ số b vào sau để được số n = a2014b thỏa mãn bài toán.
Do đó n chia cho 5 dư 2 và n chia cho 9 dư 3.
Do n chia cho 5 dư 2 nên b chia cho 5 dư 2 hay b = 2 hoặc b = 7.
+ Nếu b = 2, tổng các chữ số của n là: a + 2 + 0 + 1+ 4 + 2 = a + 9. Do đó a + 9 chia cho 9 dư 3 nên a = 3.
+ Nếu b = 7, tổng các chữ số của n là: a + 2 + 0 + 1+ 4 + 7 = a + 14. Do đó a + 14 chia cho 9 dư 3 nên a = 7.
Vậy có 2 số cần tìm là 320142 hoặc 720147.
▲Ví dụ 11: Thêm vào trước và sau số 2015 để được số có 6 chữ số chia cho 5 dư 1 và chia hết cho 9.
2. Vận dụng kỹ năng tính toán và cấu trúc số tự nhiên.
Ví dụ 12: Cho A = 2013 × n + 378, với n là số tự nhiên.
a) Chứng minh rằng A ⋮ 3.
b) Chứng minh rằng A chia cho 11 dư 4.
Lời giải:
Cách 1: Vận dụng tính chất chia hết, đồng dư.
a) Ta có A = 3 × 11 × 61 × n + 378.
Mà 3 × 11 × 61 × n ⋮ 3 và 378 ⋮ 3 nên A ⋮ 3 (đpcm).
b) 2013 × n = 3 × 11 × 61 × n ⋮ 11, và 378 chia cho 11 dư 4 nên A chia cho 11 dư 4 (đpcm)
Cách 2: Vận dụng định nghĩa phép chia.
a) Ta có: A = 3 × 671 × n + 3 × 126
 = 3 × (671 × n + 126).
Do đó A chia hết cho 3 (đpcm)
b) Ta có A = 11 × 183 × n + 11 × 34 + 4
 = 11 × (183 × n + 34) + 4.
Do đó A chia cho 11 dư 4 (đpcm).
▲Ví dụ 13: Cho A = 66 × n + 420, với n là số tự nhiên. Chứng minh rằng A chia cho 11 dư 2 bằng 2 cách.
Ví dụ 14: Cho A chia cho 135 dư 52. Hỏi số dư của A khi chia cho 45?
Lời giải:
Do A chia cho 135 dư 52 nên có số tự nhiên n sao cho: A = 135 × n + 52.
Do đó A = 45 × 3 × n + 45 × 1 + 7 = 45 × (3 × n + 1) + 7.
Vậy A chia cho 45 dư 7.
▲Ví dụ 15: a) Cho A chia hết cho 18. Hỏi số dư của A khi chia cho 9?
b) Cho B chia cho 120 dư 79. Hỏi số dư của B khi chia cho 15?
Ví dụ 16: Cho A chia cho 9 dư 5, chia cho 5 dư 3. Hỏi số dư của A khi chia cho 45?
Lời giải:
Do A chia cho 9 dư 5 nên có số tự nhiên m sao cho A = 9 × m + 5.
Đặt m = 5 × n + r, r < 5.
Ta có: A = 9 × (5 × n + r) + 5 = 45 × n + 9 × r + 5
 = 5 × (9 × n + r + 1) + 4 × r.
Do A chia cho 5 dư 3 nên 4 × r chia cho 5 dư 3 hay r = 2.
Vậy A = 45 × n + 23, A chia cho 45 dư 23.
▲Ví dụ 17: a) Cho A chia cho 5 dư 2, chia cho 3 dư 1. Hỏi số dư của a khi chia cho 15?
b) Cho A chia cho 9 dư 5, chia cho 8 dư 3. Hỏi số dư của a khi chia cho 72?
Ví dụ 18: Cho số tự nhiên n = 32aa6, tìm chữ số a để:
a) n ⋮ 7? b) n chia cho 13 dư 5?
Lời giải:
a) Ta có: n = 32aa6 = 110 × a + 32006
 = (7 × 15 + 5) × a + (7 × 4572 + 2)
 = 7 × (15 × a + 4572) + 5 × a + 2.
Để n ⋮ 7 thì (5 × a + 2) ⋮ 7, do đó a = 1 hoặc a = 8.
Vậy a = 1 hoặc a = 8 thỏa mãn bài toán.
b) Ta có: n = (13 × 8 + 6) × a + 13 × 2462
 = 13 × (8 × a + 2462) + 6 × a.
Để a chia cho 13 dư 5 thì 6 × a chia cho 13 dư 5. Do đó a = 3.
▲Ví dụ 19: Cho số tự nhiên n = 10aa1, tìm n thỏa mãn:
a) n chia cho 7 dư 1? b) n chia hết cho 13?
Ví dụ 20: Tìm số tự nhiên biết số đó chia cho 6 dư 3, chia cho 9 cũng dư 3 và hiệu các thương bằng 27?
Lời giải: Gọi số cần tìm là x, và k là thương của phép chia số đó cho 9.
Ta có: x = 9 × k + 3 và k + 27 là thương của phép chia số đó cho 6
Do đó: x = 6 × (k + 27) + 3.
Vậy 
 9 × k + 3 = 6 × (k + 27) + 3
 9 × k + 3 = 6 × k + 162 + 3
 (9 – 6) × k = 165 -3
 3 × k = 162
 k = 162 : 2
 k = 54.
x = 9 × 54 + 3 = 489.
Vậy số cần tìm là 489.
▲Ví dụ 21: Tìm số tự nhiên biết số đó chia cho 13 dư 9, chia cho 21 dư 20 và hiệu các thương bằng 127.
▲Ví dụ 22: Tìm số tự nhiên biết số đó chia hết cho 9, chia cho 5 dư 3 và tổng các thương bằng 149.
Ví dụ 23: Tìm số tự nhiên có 4 chữ số, biết số đó có chữ số hàng nghìn là 4 và số đó chia cho 13 dư 2 và chia cho 19 dư 5.
Lời giải:
Gọi số cần tìm là n = 4abc.
Theo đề bài ta có: n chia cho 13 dư 2 (1)n chia cho 19 dư 5 2.
Từ (2) có số tự nhiên k để: n = 19 × k + 5.
Đặt k = 13 × m + r, r < 13 sao cho n chia cho 13 dư 1.
Ta có: n = 19 × (13 × m + r) + 5
 = 13 × (19 × m + r) + 6 × r + 5.
Do đó 6 × r + 5 chia cho 13 dư 1 hay r = 8.
Vậy n = 19 × (13 × m + 8) = 5 = 247 × m + 157.
Mà 4abc = 247 × m + 157 nên 4000 ≤ 247 × m + 157 ≤ 4999.
Do m là số tự nhiên nên m = 16; 17; 18; 19. Khi đó n tương ứng lần lượt bằng 4109; 4356; 4603; 4850.
Vậy có 4 số cần tìm là 4109; 4356; 4603; 4850.
Ví dụ 24: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≠ 0 ta có: 666 (n chữ số 6) chia cho 30 dư 6.
Lời giải:
Đặt A = 666 (n chữ số 6).
Ta có A chia hết cho 6 và A chia cho 5 dư 1.
Do A chia hết cho 6 nên có số tự nhiên m sao cho: A = 6 × m. Đặt m = 5 × k + r, r < 5 sao cho A chia cho 5 dư 1.
Ta có A = 6 × (5 × k + r) = 5 × (6 × k + r) + r.
Do đó r chia cho 5 dư 1 nên r = 1.
Vậy A = 6 × (5 × k + 1) = 30 × k + 6.
Vậy A chia cho 30 dư 6 (đpcm).
▲Ví dụ 25: a) Chứng minh rằng 777 ( một số lẻ chữ số 7) chia cho 77 dư 7.
b) Tìm số dư của số 444 ( 2014 chữ số 4) khi chia cho 45?
3. Một số ví dụ khác.
Ví dụ 26: Chứng minh rằng không thể có các chữ số a, b, c, d thỏa mãn:
a) abcd – (a + b + c + d) = 2014;
b) abcd - dcba = 2014.
Lời giải:
a) Do abcd có cùng số dư với a + b + c + d khi chia cho 9 nên abcd – (a + b + c + d) chia hết cho 9.
Mà 2014 ‏٪ 9 nên không thể có chữ số a, b, c, d thỏa mãn bài toán (đpcm).
b) Do abcd và dcba đều có tổng các chữ số là a + b + c + d nên (abcd - dcba) ⋮ 9. Mà 2014 ‏٪ 9 nên không thể có chữ số a, b, c, d thỏa mãn bài toán (đpcm).
▲Ví dụ 27: Chứng minh rằng không thể có các chữ số a, b, c, d thỏa mãn:
4abcd210 - dcba70 = 31121986.
Ví dụ 28: Cho 4 tờ giấy xé mỗi tờ làm 5 mảnh. Lấy ra một số mảnh và lại xé mỗi mảnh làm 5 mảnh. Hỏi nếu cứ làm như vậy có thể được 2014 mảnh lớn nhỏ hay không?
Lời giải:
Ban đầu có 4 tờ giấy, xé mỗi tờ làm 5 mảnh được 20 mảnh. Số mảnh tăng thêm khi đó là
 20 – 4 = 16 mảnh, 16 ⋮ 4. Sau mỗi lần xé một số mảnh, xé một mảnh thành 5 mảnh thì số mảnh tăng thêm luôn chia hết cho 4. Vậy sau nhiều lần xé số mảnh giấy tăng thêm luôn chia hết cho 4. Mà 2014 – 4 = 2010; 2014 ‏٪ 4. Do đó không thể xé được 2014 mảnh lớn nhỏ.
▲Ví dụ 29: Cho ba tờ giấy. Xé mỗi tờ làm 4 mảnh. Lấy ra một số mảnh và lại xé mỗi mảnh làm 4 mảnh. Hỏi nếu cứ làm như vậy có thể được 2014 mảnh lớn nhỏ hay không?
Ví dụ 30: Viết các kí tự C, H, A, O, M, Ư, N, G, N, G, A, Y, N, H, A, G, I, A, O, V, I, Ê, T, N, A, M, 2, 0, “ - ”, 1, 1 để thành dãy:
CHAOMƯNGNGAYNHAGIAOVIÊTNAM 20 – 11bằng 6