Giáo án Toán học - Chương III: Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

CHƯƠNG III
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
	Vectơ đgl vectơ chỉ phương của đường thẳng D nếu giá của nó song song hoặc trùng với D.
	Nhận xét:	– Nếu là một VTCP của D thì (k ¹ 0) cũng là một VTCP của D.
	– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTCP.
2. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
	Vectơ đgl vectơ pháp tuyến của đường thẳng D nếu giá của nó vuông góc với D.
	Nhận xét: – Nếu là một VTPT của D thì (k ¹ 0) cũng là một VTPT của D.
	– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTPT.
	– Nếu là một VTCP và là một VTPT của D thì .
3. Phương trình tham số của đường thẳng
	Cho đường thẳng D đi qua và có VTCP . 
	Phương trình tham số của D: 	 (1)	( t là tham số).
	Nhận xét: – M(x; y) Î D Û $ t Î R: .
	– Gọi k là hệ số góc của D thì:
	+ k = tana,	với a = , a ¹ .
	+ k = , 	với .
4. Phương trình chính tắc của đường thẳng
	Cho đường thẳng D đi qua và có VTCP . 
	Phương trình chính tắc của D:	 (2) (u1 ¹ 0, u2 ¹ 0).
	Chú ý: Trong trường hợp u1 = 0 hoặc u2 = 0 thì đường thẳng không có phương trình 	 chính tắc.
5. Phương trình tham số của đường thẳng
	PT với đgl phương trình tổng quát của đường thẳng.
	Nhận xét: – Nếu D có phương trình thì D có:
	 VTPT là và VTCP 	 hoặc .
	– Nếu D đi qua và có VTPT thì phương trình của D là:
	Các trường hợp đặc biệt:
Các hệ số
Phương trình đường thẳng D
Tính chất đường thẳng D
c = 0
D đi qua gốc toạ độ O
a = 0
D // Ox hoặc D º Ox
b = 0
D // Oy hoặc D º Oy
	· D đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b ¹ 0): Phương trình của D: .
	(phương trình đường thẳng theo đoạn chắn) .
	· D đi qua điểm và có hệ số góc k: Phương trình của D: 
	(phương trình đường thẳng theo hệ số góc)
6. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
	Cho hai đường thẳng D1: và D2: .
	Toạ độ giao điểm của D1 và D2 là nghiệm của hệ phương trình:
	(1)
	· D1 cắt D2 	Û hệ (1) có một nghiệm	Û 	(nếu )
	· D1 // D2 	Û hệ (1) vô nghiệm	Û (nếu )	· D1 º D2 	Û hệ (1) có vô số nghiệm	Û (nếu )
7. Góc giữa hai đường thẳng
	Cho hai đường thẳng D1: (có VTPT )
	 và D2: (có VTPT ).
	Chú ý:	· D1 ^ D2 Û .
	· Cho D1: , D2: thì:
	+ D1 // D2 Û k1 = k2	+ D1 ^ D2 Û k1. k2 = –1.
8. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
	· Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
	Cho đường thẳng D: và điểm .
	· Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng
	Cho đường thẳng D: và hai điểm Ï D.
	– M, N nằm cùng phía đối với D Û .
	– M, N nằm khác phía đối với D Û .
	· Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng
	Cho hai đường thẳng D1: và D2: cắt nhau.
	Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng D1 và D2 là:
VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình đường thẳng
	· Để lập phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng D ta cần xác định một điểm Î D và một VTCP của D.
	PTTS của D: ;	PTCT của D: (u1 ¹ 0, u2 ¹ 0).
	· Để lập phương trình tổng quát của đường thẳng D ta cần xác định một điểm Î D và một VTPT của D.
	PTTQ của D: 
	· Một số bài toán thường gặp:
	+ D đi qua hai điểm (với ):
	PT của D: 
	+ D đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b ¹ 0): PT của D: .
	+ D đi qua điểm và có hệ số góc k: PT của D: 
	Chú ý: Ta có thể chuyển đổi giữa các phương trình tham số, chính tắc, tổng quát của một 	đường thẳng.
	· Để tìm điểm M¢ đối xứng với điểm M qua đường thẳng d, ta có thể thực hiện như sau:
	Cách 1: – Viết phương trình đường thẳng D qua M và vuông góc với d.
	– Xác định I = d Ç D (I là hình chiếu của M trên d).
	– Xác định M¢ sao cho I là trung điểm của MM¢.
	Cách 2: Gọi I là trung điểm của MM¢. Khi đó:
	M¢ đối xứng của M qua d Û (sử dụng toạ độ)
	· Để viết phương trình đường thẳng d¢ đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng D, ta có thể thực hiện như sau:
	– Nếu d // D:	
	+ Lấy A Î d. Xác định A¢ đối xứng với A qua D.
	+ Viết phương trình đường thẳng d¢ qua A¢ và song song với d.
	– Nếu d Ç D = I:	
	+ Lấy A Î d (A ¹ I). Xác định A¢ đối xứng với A qua D.
	+ Viết phương trình đường thẳng d¢ qua A¢ và I.
	· Để viết phương trình đường thẳng d¢ đối xứng với đường thẳng d qua điểm I, D, ta có thể thực hiện như sau:
	– Lấy A Î d. Xác định A¢ đối xứng với A qua I.
	– Viết phương trình đường thẳng d¢ qua A¢ và song song với d.
Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có VTCP :
	a) M(–2; 3) , 	b) M(–1; 2), 	c) M(3; –1), 
	d) M(1; 2), 	e) M(7; –3), 	f) M º O(0; 0), 
Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có VTPT :
	a) M(–2; 3) , 	b) M(–1; 2), 	c) M(3; –1), 
	d) M(1; 2), 	e) M(7; –3), 	f) M º O(0; 0), 
Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có hệ số góc k:
	a) M(–3; 1), k = –2	b) M(–3; 4), k = 3	c) M(5; 2), k = 1
	d) M(–3; –5), k = –1	e) M(2; –4), k = 0	f) M º O(0; 0), k = 4
Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua hai điểm A, B:
	a) A(–2; 4), B(1; 0)	b) A(5; 3), B(–2; –7)	c) A(3; 5), B(3; 8)
	d) A(–2; 3), B(1; 3)	e) A(4; 0), B(3; 0)	f) A(0; 3), B(0; –2)
	g) A(3; 0), B(0; 5)	h) A(0; 4), B(–3; 0)	i) A(–2; 0), B(0; –6)
Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và song song với đường thẳng d:
	a) M(2; 3), d: 	b) M(–1; 2), d º Ox	c) M(4; 3), d º Oy
	d) M(2; –3), d: 	e) M(0; 3), d: 
Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d:
	a) M(2; 3), d: 	b) M(–1; 2), d º Ox	c) M(4; 3), d º Oy
	d) M(2; –3), d: 	e) M(0; 3), d: 
Cho tam giác ABC. Viết phương trình các cạnh, các đường trung tuyến, các đường cao của tam giác với:
	a) A(2; 0), B(2; –3), C(0; –1)	b) A(1; 4), B(3; –1), C(6; 2)
	c) A(–1; –1), B(1; 9), C(9; 1)	d) A(4; –1), B(–3; 2), C(1; 6)	
Cho tam giác ABC, biết phương trình ba cạnh của tam giác. Viết phương trình các đường cao của tam giác, với:
	a) 
	b) 
Viết phương trình các cạnh và các trung trực của tam giác ABC biết trung điểm của các cạnh BC, CA, AB lần lượt là các điểm M, N, P, với:
	a) M(–1; –1), N(1; 9), P(9; 1)	b) 
	c) 	d) 
Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và chắn trên hai trục toạ độ 2 đoạn bằng nhau, với:
	a) M(–4; 10)	b) M(2; 1)	c) M(–3; –2)	d) M(2; –1)
Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và cùng với hai trục toạ độ tạo thành một tam giác có diện tích S, với:
	a) M(–4; 10), S = 2	b) M(2; 1), S = 4	c) M(–3; –2), S = 3	d) M(2; –1), S = 4
Tìm hình chiếu của điểm M lên đường thẳng d và điểm M¢ đối xứng với M qua đường thẳng d với:
	a) M(2; 1), 	b) M(3; – 1), 
	c) M(4; 1), 	d) M(– 5; 13), 
Lập phương trình đường thẳng d¢ đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng D, với:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Lập phương trình đường thẳng d¢ đối xứng với đường thẳng d qua điểm I, với:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
VẤN ĐỀ 2: Các bài toán dựng tam giác
	Đó là các bài toán xác định toạ độ các đỉnh hoặc phương trình các cạnh của một tam giác khi biết một số yếu tố của tam giác đó.
	Để giải loại bài toán này ta thường sử dụng đến các cách dựng tam giác.
	Sau đây là một số dạng:
	Dạng 1: Dựng tam giác ABC, khi biết các đường thẳng chứa cạnh BC và hai đường cao 	BB¢, CC¢.
	Cách dựng: 	– Xác định B = BC Ç BB¢, C = BC Ç CC¢.
	– Dựng AB qua B và vuông góc với CC¢.
	– Dựng AC qua C và vuông góc với BB¢.
	– Xác định A = AB Ç AC.
	Dạng 2: Dựng tam giác ABC, khi biết đỉnh A và hai đường thẳng chứa hai đường cao 	BB¢, CC¢.
	Cách dựng:	– Dựng AB qua A và vuông góc với CC¢.
	– Dựng AC qua A và vuông góc với BB¢.
	– Xác định B = AB Ç BB¢, C = AC Ç CC¢.
	Dạng 3: Dựng tam giác ABC, khi biết đỉnh A và hai đường thẳng chứa hai đường trung 	tuyến BM, CN.
	Cách dựng:	– Xác định trọng tâm G = BM Ç CN.
	– Xác định A¢ đối xứng với A qua G (suy ra BA¢ // CN, CA¢ // BM).
	– Dựng dB qua A¢ và song song với CN.
	– Dựng dC qua A¢ và song song với BM.
	– Xác định B = BM Ç dB, C = CN Ç dC.
 	Dạng 4: Dựng tam giác ABC, khi biết hai đường thẳng chứa hai cạnh AB, AC và trung 	điểm M của cạnh BC.
	Cách dựng:	– Xác định A = AB Ç AC.
	– Dựng d1 qua M và song song với AB.
	– Dựng d2 qua M và song song với AC.
	– Xác định trung điểm I của AC: I = AC Ç d1.
	– Xác định trung điểm J của AB: J = AB Ç d2.
	– Xác định B, C sao cho .
	Cách khác:	Trên AB lấy điểm B, trên AC lấy điểm C sao cho .
Cho tam giác ABC, biết phương trình một cạnh và hai đường cao. Viết phương trình hai cạnh và đường cao còn lại, với: (dạng 1)
	a) 
	b) 
	c) 
	d) 
Cho tam giác ABC, biết toạ độ một đỉnh và phương trình hai đường cao. Viết phương trình các cạnh của tam giác đó, với: (dạng 2)
	a) 
	b) 
Cho tam giác ABC, biết toạ độ một đỉnh và phương trình hai đường trung tuyến. Viết phương trình các cạnh của tam giác đó, với: (dạng 3)
	a) 
	b) 
Cho tam giác ABC, biết phương trình một cạnh và hai đường trung tuyến. Viết phương trình các cạnh còn lại của tam giác đó, với:
	a) 
	HD: a) 
Cho tam giác ABC, biết phương trình hai cạnh và toạ độ trung điểm của cạnh thứ ba. Viết phương trình của cạnh thứ ba, với: (dạng 4)
	a) 
	b) 
	c) 
	d) 
Cho tam giác ABC, biết toạ độ một đỉnh, phương trình một đường cao và một trung tuyến. Viết phương trình các cạnh của tam giác đó, với:
	a) 
	b) 
	c) 
	d) 
	a) 
VẤN ĐỀ 3: Vị trí tương đối của hai đường thẳng
	Cho hai đường thẳng D1: và D2: .
	Toạ độ giao điểm của D1 và D2 là nghiệm của hệ phương trình:
	(1)
	· D1 cắt D2 	Û hệ (1) có một nghiệm	Û 	(nếu )
	· D1 // D2 	Û hệ (1) vô nghiệm	Û (nếu )	· D1 º D2 	Û hệ (1) có vô số nghiệm	Û (nếu )
	Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui, ta có thể thực hiện như sau:
	– Tìm giao điểm của hai trong ba đường thẳng.
	– Chứng tỏ đường thẳng thứ ba đi qua giao điểm đó.
Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau, nếu chúng cắt nhau thì tìm toạ độ giao điểm của chúng:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
	e) 	f) 	
Cho hai đường thẳng d và D. Tìm m để hai đường thẳng:
	i) cắt nhau	ii) song song	iii) trùng nhau
	a) 	
	b) 
	c) 
	d) 
Tìm m để ba đường thẳng sau đồng qui:
	a) 
	b) 
	c) 
	d) 
Viết phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2 và:
	a) 
	b) 
	c) 
Tìm điểm mà các đường thẳng sau luôn đi qua với mọi m:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Cho tam giác ABC với A(0; –1), B(2; –3), C(2; 0).
	a) Viết phương trình các đường trung tuyến, phương trình các đường cao, phương trình các đường trung trực của tam giác.
	b) Chứng minh các đường trung tuyến đồng qui, ... p phương trình chính tắc của (P)
	Để lập phương trình chính tắc của (P) ta cần xác định tham số tiêu p của (P).
	Chú ý: Công thức xác định các yếu tố của (P):
	– Toạ độ tiêu điểm 	– Phương trình đường chuẩn D: .
Lập phương trình chính tắc của (P), biết:
	a) Tiêu điểm F(4; 0)	b) Tiêu điểm F(3; 0)	c) Đi qua điểm M(1; –4)
	c) Đường chuẩn D: 	d) Đường chuẩn D: 	e) Đi qua điểm M(1; –2)
Lập phương trình chính tắc của (P), biết:
	a) Tiêu điểm F trùng với tiêu điểm bên phải của elip (E): .
	b) Tiêu điểm F trùng với tiêu điểm bên phải của hypebol (H): .
	c) Tiêu điểm F trùng với tâm của đường tròn (C): .
	a) 
VẤN ĐỀ 3: Tìm điểm trên (P) thoả mãn điều kiện cho trước
	Chú ý: Công thức xác định độ dài bán kính qua tiêu điểm của điểm M(x; y) Î (P):
Cho parabol (P) và đường thẳng d vuông góc với trục đối xứng tại tiêu điểm F cắt (P) tại hai điểm M, N.
	i) Tìm toạ độ các điểm M, N.	ii) Tính .
	a) 	b) 	c) 	d) 
Cho parabol (P). 
	i) Tìm những điểm M Î (P) cách tiêu điểm F một đoạn bằng k.
	ii) Chọn M có tung độ dương. Tìm điểm A Î (P) sao cho DAFM vuông tại F.
	a) 	b) 	c) 
Cho parabol (P) và đường thẳng d có hệ số góc m quay quanh tiêu điểm F của (P) cắt (P) tại hai điểm M, N.
	i) Chứng minh không đổi.
	ii) Tính MF, NF, MN theo m.
	a) 	b) 	c) 	d) 
	a) 
VẤN ĐỀ 4: Tập hợp điểm
	Để tìm tập hợp các điểm M(x; y) thoả điều kiện cho trước, ta đưa về một trong các dạng:
	Dạng 1:	 Þ Tập hợp là (P) có tiêu điểm F.
	Dạng 2: 	 Þ Tập hợp là (P) có tiêu điểm .
Tìm tập hợp các tâm M của đường tròn (C) di động luôn đi qua điểm F và tiếp xúc với đường thẳng D, với:
	a) 	b) 	c) 
Cho parabol (P). Đường thẳng d quay quanh O cắt (P) tại điểm thứ hai là A. Tìm tập hợp của:
	i) Trung điểm M của đoạn OA	ii) Điểm N sao cho .
	a) 	b) 	c) 	d) 
	a) 
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III
Cho ba điểm A(2; 1), B(–2; 2), M(x; y).
	a) Tìm hệ thức giữa x và y sao cho tam giác AMB vuông tại M.
	b) Tìm phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường trung trực đoạn AB.
	c) Tìm phương trình của đường thẳng d đi qua A và tạo với AB một góc .
	HD: a) 	b) 
	c) 
Cho ba đường thẳng , , .
	a) Chứng tỏ rằng d1 và d2 song song. Tính khoảng cách giữa d1 và d2.
	b) Tìm phương trình đường thẳng d song song và cách đều d1 và d2 .
	c) Tìm điểm M trên d3 cách d1 một đoạn bằng 1.
	HD: a) 2	b) 	c) M(3; 2) hoặc M(1; 1)
Cho điểm A(2; –3) và hai đường thẳng , .
	a) Viết phương trình tham số của đường thẳng D đi qua A và cắt d, d¢ tại B, B¢ sao cho AB = AB¢.
	b) Gọi M là giao điểm của d và d¢ . Tính diện tích của tam giác MBB¢.
	HD: a) 	b) S = 5
Cho đường thẳng dm: .
	a) Chứng minh rằng dm luôn đi qua một điểm cố định A.
	b) Tìm m để dm cắt đoạn BC với B(2; 3), C(4; 0).
	c) Tìm phương trình đường thẳng đi qua A và tạo với BC một góc .
	d) Tìm m để đường thẳng dm tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính R = .
	HD: a) A(1; –3)	b) 	c) 
	d) 
Cho hai đường thẳng: 
	 và 
	 a) Chứng minh rằng d và d¢ lần lượt đi qua 2 điểm cố định A, A¢ và d ^ d¢.
	b) Tìm phương trình tập hợp giao điểm M của d và d¢ . Viết phương trình tiếp tuyến của tập hợp đó vẽ từ điểm B(5; 0).
	HD: a) A(3; 2), A¢(–1; 4)	b) (C): 
Cho ba điểm M(6; 1), N(7; 3), P(3; 5) lần lượt là trung điểm của ba cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC.
	a) Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C.
	b) Tìm phương trình các trung tuyến AM, BN, CP.
	c) Tính diện tích của tam giác ABC.
	HD: a) A(4; 7), B(2; 3), C(10; –1)
	 b) 	c) S = 20
Cho tam giác ABC có A(8; 0), B(0; 6), C(9; 3). Gọi H là chân đường cao vẽ từ C xuống cạnh AB.
	a) Tìm phương trình cạnh AB và đường cao CH.
	b) Gọi I, K lần lượt là hình chiếu của C trên Ox và Oy. Chứng minh I, H, K thẳng hàng.
Cho ba điểm A(0; –1), B(4; 1), C(4; 2). Viết phương trình đường thẳng d khi biết:
	a) d đi qua A và khoảng cách từ B đến d bằng hai lần khoảng cách từ C đến d.
	b) d đi qua C và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại E và F sao cho: .
	c) d đi qua B, cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại M, N với và sao cho:
	i) OM + ON nhỏ nhất	ii) nhỏ nhất.
	HD: a) 	b) 
	c) i) 	ii) 
Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC, biết:
	a) Đỉnh B(2; 6), phương trình một đường cao và một phân giác vẽ từ một đỉnh là:
	b) Đỉnh A(3; –1), phương trình một phân giác và một trung tuyến vẽ từ hai đỉnh khác nhau là:	.
	HD: a) 
	 b) 
Cho hai điểm A(3; 4), B(–1; –4) và đường thẳng .
	a) Viết phương trình đường tròn (C) qua A, B và có tâm I Î d. 
	b) Viết phương tiếp tuyến của (C) kẻ từ điểm . Tính độ dài của tiếp tuyến đó và tìm toạ độ tiếp điểm.
	c) Trên (C), lấy điểm F có . Viết phương trình đường tròn (C¢) đối xứng với (C) qua đường thẳng AF.
	HD: a) 	
	b) , d = , tiếp điểm (3; 4), (–1; 2)
	c) (C¢): 
Cho đường cong (Cm): .
	a) Chứng minh rằng với mọi m, (Cm) luôn là đường tròn và (Cm) luôn đi qua 2 điểm cố định A, B.
	b) Tìm m để (Cm) đi qua gốc toạ độ O. Gọi (C) là đường tròn ứng với giá trị m vừa tìm được. Viết phương trình đường thẳng D song song với đường thẳng và chắn trên (C) một dây cung có độ dài bằng 4.
	c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) có vectơ chỉ phương là .
	d) Tìm m để (Cm) tiếp xúc với trục tung. Viết phương trình đường tròn ứng với m đó.
	HD: a) A(1; 1), B(1; 3)	
	b) m = 2, (C): , 
	c) 	d) m = –2, 
 Cho đường cong (Ct): (0 < t < p).
	a) Chứng tỏ (Ct) là đường tròn với mọi t.
	b) Tìm tập hợp tâm I của (Ct) khi t thay đổi.
	c) Gọi (C) là đường tròn trong họ (Ct) có bán kính lớn nhất. Viết phương trình của (C).
	d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tạo với trục Ox một góc .
	HD: b)	c) 
	d) 
Cho hai đường thẳng .
	a) Viết phương trình hai đường tròn (C1), (C2) qua gốc toạ độ O và tiếp xúc với d1, d2. Xác định tâm và bán kính của 2 đường tròn đó. Gọi (C1) là đường tròn có bán kính lớn hơn.
	b) Gọi A và B là tiếp điểm của (C1) với d1 và d2. Tính toạ độ của A và B. Tính góc .
	c) Viết phương trình đường thẳng D cắt (C1) tạo ra 1 dây cung nhận điểm E(4; –2) làm trung điểm.
	d) Trên đường thẳng , tìm những điểm mà từ đó vẽ được 2 tiếp tuyến của (C1) vuông góc với nhau.
	HD: a) 
	b) A(2; 2), B(0; –2), 	c) D: 	d) (5; 3), (7; –3)
Cho đường tròn (C) đi qua điểm A(1; –1) và tiếp xúc với đường thẳng D: tại điểm B có .
	a) Viết phương trình đường tròn (C).
	b) Một đường thẳng d đi qua M(4; 0) và có hệ số góc k. Biện luận theo k số giao điểm của d và (C).
	HD: a) 
	b) : 2 điểm chung, : 1 điểm chung, : không điểm chung
Cho 4 số thực a, b, c, d thoả điều kiện: . Bằng phương pháp hình học, chứng minh rằng:	.
	HD: Xét đường tròn (C): và đường thẳng . Gọi M(a; b) Î (C), 	N(c; d) Î d.Gọi A, B là các giao điểm của (C) và d với đường thẳng y = x .
	Þ , . Tính , .
	Từ MN ³ AB ta suy ra đpcm. 
Cho elip (E): .
	a) Xác định độ dài các trục, tiêu cự, tâm sai, toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh của (E).
	b) Tính diện tích hình vuông có các đỉnh là giao điểm của (E) với 2 đường phân giác các góc toạ độ.
	HD: b) S = .
Cho elip (E): .
	a) Xác định độ dài các trục, tiêu cự, tâm sai, toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh của (E).
	b) Viết phương trình các đường phân giác của góc với và F1, F2 là các tiêu điểm của (E).
	HD: b) 
Cho elip (E): và điểm A(0; 5).
	a) Biện luận số giao điểm của (E) với đường thẳng d đi qua A và có hệ số góc k.
	b) Khi d cắt (E) tại M, N, tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn MN.
	HD: a) : 2 giao điểm,	: không giao điểm, : 1 giao điểm
	b) 
Cho họ đường cong (Cm): (*).
	a) Tìm các giá trị của m để (Cm) là đường tròn.
	b) Tìm phương trình tập hợp (E) các điểm M trong mặt phẳng Oxy sao cho ứng với mỗi điểm M ta có duy nhất 1 đường tròn thuộc họ (Cm) đi qua điểm M đó.
	HD: a) –1 £ m £ 1	b) (E): (Đưa PT (*) về PT với ẩn m. Tìm điều kiện 	để PT có nghiệm m duy nhất).
Cho elip (E): .
	a) Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) có 2 đỉnh là 2 tiêu điểm của (E) và 2 tiêu điểm là 2 đỉnh của (E).
	b) Tìm điểm M trên (H) sao cho 2 bán kính qua tiêu điểm của M vuông góc với nhau.
	c) Chứng minh tích các khoảng cách từ một điểm N bất kì trên (H) đến hai đường tiệm cận của (H) bằng một hằng số.
	HD: a) 	b) 4 điểm 	c) .
Cho hypebol (H): .
	a) Xác định độ dài các trục, tiêu cự, tâm sai, toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh của (H).
	b) Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(1; 4) và có hệ số góc k. Biện luận theo k số giao điểm của d và (H).
Cho các điểm và điểm M(x; y). Gọi M¢ là điểm đối xứng của M qua trục tung.
	a) Tìm toạ độ của điểm M¢ theo x, y . Tìm phương trình tập hợp (H) các điểm M thoả . Chứng tỏ (H) là một hypebol. Xác định toạ độ các tiêu điểm và phương trình các đường tiệm cận của (H).
	b) Viết phương trình của elip (E) có 2 đỉnh trên trục lớn của (E) trùng với 2 đỉnh của (H) và (E) đi qua điểm .
	c) Tìm toạ độ giao điểm của (H) với 2 đường chuẩn của (E).
	HD: a) 	b) (E): 	c) 4 điểm 
Cho hypebol (H): .
	a) Tìm tiêu điểm, tâm sai, tiệm cận của (H).
	b) Gọi (C) là đường tròn có tâm trùng với tiêu điểm F1 (có hoành độ âm) của (H) và bán kính R bằng độ dài trục thực của (H). M là tâm đường tròn đi qua tiêu điểm F2 và tiếp xúc ngoài với (C). Chứng minh rằng M ở trên (H).
	HD: b) (C): . Kiểm chứng Þ M Î (H).
Cho hypebol (H): .
	a) Viết phương trình của elip (E) có cùng tiêu điểm với (H) và đi qua điểm .
	b) Đường thẳng d đi qua đỉnh A2 của (E) (có hoành độ dương) và song song với đường thẳng D: . Viết phương trình của d. Tìm toạ độ giao điểm B (khác A2) của d với (E). Xác định điểm C Î (E) sao cho tam giác A2BC có diện tích lớn nhất.
	HD: a) 	b) d: , , 
Cho hypebol (H): . Gọi F1, F2 là 2 tiêu điểm và A1, A2 là 2 đỉnh của (H). Trên (H), lấy điểm M tuỳ ý, kẻ MP ^ Ox. Chứng minh:
	a) 	b) .
	HD: a) Viết .
	b) Tính theo toạ độ điểm M.
Cho parabol (P): .
	a) Tìm toạ độ tiêu điểm F và phương trình đường chuẩn D của (P).
	b) Tìm điểm M trên (P) mà khoảng cách từ M đến F bằng 5.
	HD: b) N(4; 4); N(4; –4)
Cho parabol (P): có tiêu điểm F và điểm (với t ¹ 0).
	a) Chứng tỏ rằng M nằm trên (P).
	b) Đường thẳng FM cắt (P) tại N (khác M). Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn MN theo t.
	c) Tìm tập hợp (P¢) các điểm I khi t thay đổi.
	HD: b) 	c) (P¢): 
Cho parabol (P): (p > 0). Một đường thẳng d đi qua tiêu điểm F cắt (P) tại M và N. Gọi t là góc của trục Ox và .
	a) Chứng minh rằng khi d di động quay quanh F thì tổng không đổi.
	b) Tìm giá trị nhỏ nhất của tích FM.FN. Suy ra vị trí của d.
	HD: a) Þ 
	b) Áp dụng BĐT Cô–si: ³ 
	Û Û 
	Dấu "=" xảy ra Û Û Û Û d ^ Ox.