Chuyên đề “dãy số”

CHUYấN ĐỀ “DÃY SỐ”
Kế hoạch bồi dưỡng gồm 7 buổi; mỗi buổi 2 tiết.
Buổi 1: Tiết 1: Cung cấp kiến thức về dãy số.
 Xác định quy luật của dãy số.
 Tiết 2: Dạng 1: Điền thêm số vào sau, giữa hoặc trước một dãy số. 
Buổi 2: Tiết 1: Dạng 2: Xác định số a có thuộc dãy đã cho hay không.
Tiết 2: Luyện tập dạng 1, dạng 2.
Buổi 3: Tiết 1: Dạng 3: Tìm số số hạng của dãy.
Tiết 2: Luyện tập dạng 3.
Buổi 4: Tiết 1: Dạng 4: Tính tổng các số hạng của dãy số.
Tiết 2: Luyện tập dạng 4.
Buổi 5: Luyện tập chung (2 tiết). 
Buổi 6: Tiết 1: Kiểm tra 40 phút.
Tiết 2: Chữa bài.
Buổi 7: Trả bài kiểm tra, nhận xét bài làm của học sinh.
 - Ra bài tập tự luyện.
	1. Muốn làm được các bài toán về dãy số ta cần phải nắm được các kiến thức sau:
Trong dãy số tự nhiên liên tiếp cứ một số chẵn lại đến một số lẻ rồi lại đến một số chẵn Vì vậy, nếu:
Dãy số bắt đầu từ số lẻ và kết thúc là số chẵn thì số lượng các số lẻ bằng số lượng các số chẵn.
Dãy số bắt đầu từ số chẵn và kết thúc cũng là số lẻ thì số lượng các số chẵn bằng số lượng các số lẻ.
Nếu dãy số bắt đầu từ số lẻ và kết thúc cũng là số lẻ thì số lượng các số lẻ nhiều hơn các số chẵn là 1 số.
Nếu dãy số bắt đầu từ số chẵn và kết thúc cũng là số chẵn thì số lượng các số chẵn nhiều hơn các số lẻ là 1 số.
	a. Trong dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số 1 thì số lượng các số trong dãy số chính bằng giá trị của số cuối cùng của số ấy.
	b. Trong dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số khác số 1 thì số lượng các số trong dãy số bằng hiệu giữa số cuối cùng của dãy số với số liền trước số đầu tiên.
2. Các bài toán về dãy số có thể phân ra các nhóm sau:
	+ Dãy số cách đều:
	- Dãy số tự nhiên.
	- Dãy số chẵn, lẻ.
	- Dãy số chia hết hoặc không chia hết cho một số nào đó.
	+ Dãy số không cách đều.
	- Dãy có tổng(hiệu) giữa hai số liên tiếp là một dãy số.
3. Cách giải các dạng toán về dãy số:
Dạng 1: Điền thêm số vào sau, giữa hoặc trước một dãy số
	Trước hết ta cần xác định lại quy luật của dãy số:
+ Mỗi số (kể từ số thứ 2) bằng số đứng trước nó cộng(hoặc trừ) với một số tự nhiên a.
+ Mỗi số (kể từ số thứ 2) bằng số đứng trước nó nhân (hoặc chia) với một số tự nhiên q khác 0.
+ Mỗi số (kể từ số thứ 3) bằng tổng 2 số đứng trước nó.
+ Mỗi số (kể từ số thứ 4) bằng tổng của số đứng trước nó cộng với số tự nhiên d rồi cộng với số thứ tự của số ấy.
+ Số đứng sau bằng số đứng trước nhân với số thứ tự.
+ Mỗi số (kể từ số thứ 2) trở đi, mỗi số liền sau bằng 3 lần số liền trước.
+ Mỗi số (kể từ số thứ 2) trở đi, mỗi số liền sau bằng 3 lần số liền trước trừ đi 1.
	Ví dụ 1:
1. Điền thêm 3 số vào dãy số sau:
	1; 2 ; 3 ;5 ; 8 ; 13; 2 ; 34 ;; ;.
Muốn giải được bài toán trên trước hết phải xác định quy luật của dãy số như sau:
	Ta thấy: 1 + 2 = 3	3 + 5 = 8
	 2 + 3 = 5	5 + 8 = 13
	Dãy số trên được lập theo quy luật sau: Kể từ số thứ 3 trở đi mỗi số hạng bằng tổng của hai số liền trước nó.
 Vậy dãy số được viết đầy đủ là: 	1; 2; 3; 5; 8; 13; 34; 55; 89; 144
2. Viết tiếp 3 số vào dãy số sau:	1, 3, 4, 8, 15, 27
Ta nhận thấy:	 8 = 1 + 3 + 4	27 = 4+ 8 + 15
	15 = 3 + 4 + 8	
Từ đó ta rút ra được quy luật của dãy số là: Mỗi số (kể từ số thứ 2) bằng tổng của ba số đứng trước nó.
Viết tiếp ba số, ta được dãy số sau: 1; 3; 4; 8; 15; 27; 50; 92; 169.
3. Tìm số đầu tiên của các dãy số sau :
a ;  ; 32 ; 64 ; 128 ; 25 ; 512 ; 1024 : biết rằng mỗi dãy số có 10 số .
b... ; ... ; 44 ; 5 ; 66 ; 77 ; 88 ; 99 ; 110 : biết rằng mỗi dãy số có 10 số .
	*) Giải:
	a. Ta nhận xét :
	Số thứ 10 là	: 1024 = 512 2
Số thứ 9 là:	 512 = 256 2
Số thứ 8 là: 256 = 128 2
Số thứ 7 là	: 128 = 64 2
..
Từ đó ta suy luận ra quy luật của dãy số đầu tiên là: mỗi số của dãy số gấp đôi số đứng liền trước đó.
Vậy số đầu tiên của dãy là: 1 2 = 2.
b. Ta nhận xét :
Số thứ 10 là: 110 = 11 10
 Số thứ 9 là: 99 = 11 9
 Số thứ 8 là: 88 = 11 8
 Số thứ 7 là: 77 = 11 7
..
Từ đó ta suy luận ra quy luật của dãy số trên là: Mỗi số bằng 11 nhân với số thứ tự của số ấy.
Vậy số đầu tiên của dãy là : 1 11 = 11.
	4. Tìm các số còn thiếu trong dãy số sau :
	a. 3 ; 9 ; 27 ; ... ;... ; 729, .... ;
 b. 3 ; 8 ; 23 ; ... ;.. ; 608,...;
Muốn tìm được các số còn thiếu trong mỗi dãy số, cần tìm được quy luật của mỗi dãy số đó.
	a. Ta nhận xét :	3 3 = 9 ; 9 3 = 27
Quy luật của dãy số là: Kể từ số thứ 2 trở đi, mỗi số liền sau bằng 3 lần số liền trước.
Vậy các số còn thiếu của dãy số đó là:
	27 3 = 81 ; 81 3 = 243 ; 243 3 = 729 (đúng).
Vậy dãy số còn thiếu hai số là : 81 và 243.
 	b. Ta nhận xét:	3 3 – 1 = 8 ; 	8 3 – 1 = 23.
	..........................................
Quy luật của dãy số là: Kể từ số thứ 2 trở đi, số sau bằng 3 lần số trước trừ đi 1, vì vậy, các số còn thiếu ở dãy số là:
	23 3 – 1 = 68 ;	68 3 – 1 = 203 ; 	203 3 – 1 = 608 (đúng).
 608 3 – 1 = 1823
Dãy số còn thiếu hai số là: 68 và 203 ; 1823.
5. Lúc 7giờ sáng, một người đi từ A đến B và một người đi từ B đến A ; cả hai cùng đi đến đích của mình lúc 2giờ chiều. Vì đường đi khó dần từ A đến B ; nên người đi từ A, giờ đầu đi được 15km, cứ mỗi giờ sau đó lại giảm đi 1km. Người đi từ B giờ cuối cùng đi được 15km, cứ mỗi giờ trước đó lại giảm 1km. Tính quãng đường AB.
	*) Giải:
	2 giờ chiều là 14 giờ trong ngày.
	2 người đi đến đích của mình trong số giờ là:
	14 – 7 = 7 (giờ).
	 Vận tốc của người đi từ A đến B lập thành dãy số:
	15; 14; 13; 12; 11; 10; 9.
	 Vận tốc của người đi từ B đến A lập thành dãy số:
	9; 10; 11; 12; 13; 14; 15.
Nhìn vào 2 dãy số ta nhận thấy đều có các số hạng giống nhau vậy quãng đường AB là: 	9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 84 (km).
 Đáp số: 84 km
* Bài tập tự luyện:
Viết số hạng còn thiếu trong dãy số sau:
a. 7; 10; 13;;; 22; 25.
b. 103, 95, 87,;; ; 55, 47.
c. 2; 4 ;8; 16;; ; ;256. 
 13; 19; 25;,
	Dãy số kể tiếp thêm 5 số nào?
	Số nào suy nghĩ thấp cao?
	Đố em đố bạn làm sao kể liền?
Lưu ý dạng1: Trong bài toán về dãy số thường người ta khụng cho biết cả dãy số (vì dãy số có nhiều số không thể viết ra hết được) vì vậy, phải tìm ra được quy luật của dãy mới tìm được các số mà dãy số không cho biết. Đó là những quy luật của dãy số cách đều, dãy số không cách đều hoặc dựa vào dấu hiệu chia hết để tìm ra quy luật.
Dạng 2: Xác định số a có thuộc dãy đã cho hay không?
 	Cách giải của dạng toán này:
	- Xác định quy luật của dãy;
	- Kiểm tra số a có thoả mãn quy luật đó hay không?
	Ví dụ: 
Cho dãy số: 2; 4; 6; 8;
	a. Nêu quy luật viết dãy số?
	b. Số 93 có thuộc dãy trên không? Vì sao?
*) Giải:
	a. Ta nhận thấy:	Số thứ 1:	2 = 2 1
	Số thứ 2:	4 = 2 2
	Số thứ 3:	6 = 2 3
	.........
	Số thứ n:	? = 2 n
Quy luật của dãy số là: Một số bằng 2 nhân với số thứ tự của số ấy trong dãy.
	b. Ta nhận thấy các số trong dãy là số chẵn, mà số 93 là số lẻ, nên số 93 không phải là số thuộc dãy trên.
Cho dãy số: 2; 5;8 ;11;14; 17;
	Viết tiếp 3 số vào dãy số trên?
	 Số 2000 có thuộc dãy số trên không? Tại sao?
*) Giải: 
	 Ta thấy:	8 – 5 = 3;	11 – 8 = 3; 
	Dãy số trên được viết theo quy luật sau: Kể từ số thứ 2 trở đi, mỗi số bằng số đứng liền trước nó cộng với 3.(Dãy cách đều 3 đơn vị, số đầu tiên của dãy là 2). Vậy 3 số tiếp theo của dãy số là: 20, 23, 26. 
* Số 2000 thuộc dãy số trên. Vì (2000 – 2 ): 3
Em hãy cho biết:
a. Các số 60; 483 có thuộc dãy 80; 85; 90; hay không?
b. Số 2002 có thuộc dãy 2; 5; 8 ; 11; hay không?
	 c. Số nào trong các số 798; 1000; 9999 có thuộc dãy 3; 6; 12; 24; giải thích tại sao?
*) Giải:
a. Cả 2 số 60; 483 đều không thuộc dãy đã cho vì:
- Các số của dãy đã cho đều lớn hơn 60.
 - Các số của dãy đã cho đều chia hết cho5,mà 483 không chia hết cho5.
 b. Số 2002 không thuộc dãy đã cho vì mọi số của dãy khi chia cho 3 đều dư 2, mà 2002 chia 3 thì dư 1.
 c. Cả 3 số 798; 1000; 9999 đều không thuộc dãy 3; 6; 12; 24; vì:
	* Mỗi số của dãy (kể từ số thứ 2) bằng số liền trước nhân với 2 hoặc quy luật là : 3 2 = 6
 3 (2 2) = 12
 3 (2 4) = 24 
 - Các số (kể từ số thứ 3) có số đứng liền trước chia cho 2 được kết quả là số chẵn, mà 798 : 2 = 399 (là số lẻ).
	- Các số của dãy đều chia hết cho 3, mà 1000 lại không chia hết cho 3.
	- Các số của dãy (kể từ số thứ 2) đều chẵn, mà 9999 là số lẻ.
Cho dãy số: 1996; 1993; 1990; 1997;; 55; 52; 49.
	Các số sau đây có phải là số của dãy không?
	100; 123; 456; 789; 1900; 1995; 1999?
*) Giải: 
Nhận xét: Đây là dãy số cách đều 3 đơn vị.Và số có giá trị bé nhất trong dãy chia cho 3 dư 1.Nên kể từ số thứ hai của dãy lấy đem chia cho chia cho 3 đều dư 1.
	- Trong dãy số này, số lớn nhất là 1996 và số bé nhất là 49. Do đó, số 1999 không phải là số của dãy số đã cho.
	- Mỗi số trong dãy số đã cho là số chia cho 3 dư 1. Do đó số 100 và số 1900 không thuộc dãy số đó. 
	Các số 123; 456; 789 và 1995 đều chia hết cho 3 nên các số đó cũng không phải là số thuộc dãy số đã cho.
* Bài tập tự luyện:
Cho dãy số: 1; 4; 7; 10;
a. Nêu quy luật của dãy số.
	b. Số 31 có phải là số thuộc dãy trên không, nếu phải thì số thứ bao nhiêu?
	c. Số 1995 có thuộc dãy này không? Vì sao?
Cho dãy số: 1004; 1010; 1016;; 3008.
Số 2004 và 1760 có thuộc dãy số trên hay không?
Cho dãy số: 1; 7; 13; 19;;
a. Nêu quy luật của dãy số rồi viết tiếp 3 số tiếp theo.
b. Trong hai số 1999 và 2001 thì số nào thuộc dãy số trên ? Vì sao?
Lưu ý dạng 2: Muốn kiểm tra số a có thoả mãn quy luật của dãy đã cho hay không? Ta cần xem dãy số cho trước và số cần xác định có cùng tính chất hay không? (Có cùng chia hết cho một số nào đó hoặc có cùng số dư) thỡ số đó thuộc dãy đã cho.
Dạng 3: Tìm số số hạng của dãy.
	* Cách giải ở dạng này là:
	- Sử dụng phương pháp giải toán khoảng cách (giải toán trồng cây). Ta có công thức sau:
	Số các số hạng của dãy = số khoảng + 1.
	- Nếu quy luật dãy là: Số hạng đứng trước ở vị trí thứ bao nhiêu trong dãy số thì số đó bằng tổng bấy nhiêu, số tự nhiên liên tiếp (bắt đầu từ 1) thì được tính theo công thức:	
	Ví dụ:
Cho dãy số: 2; 4; 6; 8; 10;; 1992.
 a. Hãy xác định dãy số trên có bao nhiêu số hạng?
	b. Nếu ta tiếp tục kéo dài các số hạng của dãy số thì số hạng thứ 2002 là số mấy?
	*) Giải:
	a. Ta có: 
	2	4	6	8	10		1992
	4 – 2 = 2	;	8 – 6 = 2
	6 – 4 = 2	;	
Vậy, quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng đứng sau bằng một số hạng đứng trước cộng với 2. Nói các khác: Đây là dãy số chẵn hoặc dãy số cách đều 2 đơn vị.
Dựa vào công thức trên:
	 Số số hạng = (Số hạng cuối – số hạng đầu) : khoảng cách + 1
Ta có: Số các số hạng của dãy là ...  một chữ số 7 vào bờn phải một số bất kỳ, ta được số mới bằng 10 lần số ban đầu cộng với 7. Vỡ vậy ta cú sơ đồ: 7
Số mới 
Số phải tỡm
1074
Số phải tỡm là: (1074 - 7) : (10 + 1) = 97
 Đỏp số: 97
Một phộp cộng cú hai số hạng. Biết số hạng thứ hai bằng 4 lần số hạng thứ nhất và tổng cỏc số: số hạng thứ nhất, số hạng thứ hai, tổng số bằng 250. Tỡm phộp cộng đú.
Hướng dẫn giải:
Cỏch 1: Theo đề bài ta cú sơ đồ:
Số hạng 1
Số hạng 2
Tổng số
 250 
205 bằng mấy lần số hạng thứ nhất?
 1 + 4 + 5 = 10 lần
Số hạng thứ nhất là: 250 : 10 = 25
Số hạng thứ hai là: 25 x 4 = 100
Tổng số là: 25 x 5 = 125
Phộp cộng đú là: 25 + 100 = 125
 Đỏp số: 25 + 100 = 125 
Cỏch 2: Ta cú: Số hạng 1 + Số hạng 2 + Tổng số = 250
 Tổng số + Tổng số = 250
 Tổng số là: 250 : 2 = 125
 Vậy ta cú sơ đồ:
Số hạng 1
Số hạng 2
 125 
 Nhỡn vào sơ đồ ta thấy:
 Số hạng thứ nhất là: 125 : ( 1 + 4 ) = 25
 Số hạng thứ hai là: 25 4 = 100
 Phộp cộng đú là: 25 + 100 = 125
 Đỏp số: 25 + 100 = 125 
Tỡm một số cú hai chữ số biết rằng nếu viết thờm vào bờn phải và bờn trỏi số đú mỗi bờn một chữ số 3 ta được số mới và tổng của số mới với số phải tỡm bằng 3322.
Hướng dẫn giải:
Cỏch 1: Khi viết thờm vào bờn phải một số một số cú hai chữ số một chữ số 3 ta được số mới thứ nhất cú ba chữ số bằng 10 lần số phải tỡm cộng với 3 đơn vị.
Khi viết thờm vào bờn trỏi số cú ba chữ số một chữ số 3 thỡ chữ số 3 đú ở hàng nghỡn nờn được số mới thứ hai lớn hơn số mới thứ nhất 3000 đơn vị.
Như vậy, số mới thứ hai bằng 10 lần số phải tỡm cộng với 3003. 
Giải ra ta cú đỏp số: 29.
Cỏch 2: Gọi số phải tỡm là , theo đề bài ta cú số mới là:
 mà = 10 + 3003.
Ta cú sơ đồ: 
 3003
Số phải tỡm 
Số mới
3322
Giải ra ta cú đỏp số là: 29.
Cỏch 3: Gọi số phải tỡm là thỡ số mới là ta cú:
	 	 	b = 9 vỡ chỉ cú 3 + 9 = 12 viết 2 nhớ 1
	+	
	 Vậy a = 2 vỡ 9 + 1 nhớ +a = 12 
 3322	 
 	Số phải tỡm là 29.	 
 Đỏp số: 29
 Cần lưu ý: Chữ số viết thờm bờn trỏi số đú đứng ở hàng nào để xỏc định số đú tăng thờm bao nhiờu đơn vị.
Bài tập tự luyện:
Cho một số, nếu viết thờm vào bờn phải số đú một chữ số ta được số mới và tổng của số mới với số đó cho bằng 1994. Tỡm:
 a) Số đó cho.
 b) Chữ số viết thờm.
Cho một số. Nếu viết thờm vào bờn phải số đú một chữ số ta được số mới. Đem số mới chia cho số đó cho ta cú phộp chia cú tổng cỏc số: số bị chia, số chia, số thương, số dư bằng 1093. Tỡm:
 a) Số đó cho.
 b) Chữ số viết thờm.
Cho một số, biết rằng nếu viết thờm vào bờn phải số đú một số cú hai chữ số ta được số mới. Đem số mới chia cho số đó cho ta cú phộp chia cú tổng cỏc số: số bị chia, số chia, số thương, số dư bằng 9181. Tỡm:
 a) Số đó cho.
 b) Chữ số viết thờm.
Cho số cú hai chữ số. Nếu ta viết thờm vào bờn phải hoặc bờn trỏi số đú chớnh số đú ta được số mới cú 4 chữ số và tổng của số mới với số đó cho bằng 8466. Tỡm số đó cho.
Cho hai số cú hai chữ số mà số lớn bằng 3 lần số bộ. Nếu đem số bộ viết vào bờn phải và bờn trỏi số lớn ta được 2 số mới mỗi số cú 4 chữ số. Tổng của hai số cú 4 chữ số đú bằng 4848. Tỡm hai số đó cho.
Cho hai số cú hai chữ số mà nếu lấy số lớn chia cho số bộ thỡ được thương là 4. Nếu đem số lớn ghộp vào bờn phải hoặc bờn trỏi số bộ ta được hai số cú 4 chữ số và tổng của hai số cú 4 chữ số đú bằng 12120. Tỡm hai số đó cho.
Cho một số cú chữ số ở hàng đơn vị là 3. Nếu xoỏ chữ số 3 đú ta được số mới. Biết tổng của số mới đú với số đó cho là 135. Tỡm số đó cho
II.2. Tỡm hai số khi biết hiệu số và tỉ số của hai số đú.
Người ra đề bài thường phỏt biểu về hiệu của hai số hoặc tỉ số của hai số dưới hỡnh thức khỏc, nờn khi giải bài toỏn: Tỡm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đú nhất thiết phải tỡm được: 
a) Hiệu của hai số phải tỡm.
b) Tỉ số của hai số phải tỡm.
c) Tỡm số phần ứng với hiệu số.
d) Tỡm giỏ trị của mỗi phần.
 Giỏ trị 1 phần = hiệu cỏc số : hiệu số phần.
e) Tỡm mỗi số phải tỡm.
* Bài toỏn: Cho hỡnh chữ nhật cú tỉ số chiều rộng so với chiều dài là . Chiều dài hơn chiều rộng 45m. Tớnh:
a) Chu vi hỡnh chữ nhật đó cho.
b) Diện tớch hỡnh chữ nhật đó cho.
Phõn tớch: Tỉ số chiều rộng so với chiều dài là thỡ chiều rộng chia thành 2 phần bằng nhau, chiều dài cú 5 phần như thế.
Giải: (Sau khi phõn tớch như trờn ta giải tiếp như sau):
Ta cú sơ đồ: 
Chiều rộng 
 45m 
Chiều dài 
45m chia thành mấy phần bằng nhau ?
5 – 2 = 3 (phần)
Giỏ trị của một phần là:
45 : 3 = 15 (m)
Chiều rộng là: 
15 2 = 30 (m)
Chiều dài là:
30 + 45 = 75 (m)
a) Chu vi hỡnh chữ nhật là:
(30 + 75) 2 = 210 (m)
b) Diện tớch hỡnh chữ nhật là:
75 30 = 2250 (m2)
 Đỏp số: a) 210m
 b) 2250m2
 Bài tập ỏp dụng:
Cho một số cú chữ số hàng đơn vị là 0. Nếu xoỏ chữ số 0 đú ta được số mới. Biết số đó cho lớn hơn số mới 549. Tỡm số đó cho.
Hướng dẫn giải:
Khi xoỏ một chữ số 0 ở hàng đơn vị của một số bất kỳ, ta đó chia số đú cho 10. Vậy số đó cho bằng 10 lần số mới. Ta cú sơ đồ:
Số đó cho 
Số mới
 549 
549 bằng mấy lần số mới?
 10 – 1 = 9 (lần)
Số mới là:
 549 : 9 = 61
Vậy số đó cho là: 610
 Đỏp số: 610
Cho hai số. Số lớn hơn trong hai số đú cú hàng đơn vị là 8. Nếu xoỏ chữ số 8 đú ta được số bộ. Hiệu của hai số đú là 485. Tỡm hai số đó cho.
Hướng dẫn giải:
Số lớn bằng 10 lần số bộ cộng với 8 đơn vị.
Ta cú sơ đồ: 
 8
Số lớn 
Số bộ
 485 
485 bằng mấy lần số bộ cộng với 8 đơn vị.
 10 – 1 = 9
9 lần số bộ là:
 485 – 8 = 477
Số bộ là:
 477 : 9 = 53
 Vậy số lớn là : 538
 Đỏp số: 53 ; 538
Cú hai số mà hiệu của chỳng là 9702. Nếu viết thờm hai chữ số giống nhau vào bờn phải số bộ ta được số lớn. Tỡm hai số đú. Cú mấy cặp số như thế?
Hướng dẫn giải:
Số lớn bằng 100 lần số bộ cộng với số cú hai chữ số giống nhau viết thờm. Nếu 9702 bằng 99 lần số bộ cộng số viết thờm. Nếu 9702 chia hết cho 99 thỡ số viết thờm là 00 hoặc 99. Nếu 9702 khụng chia hết cho 99 thỡ số dư là số viết thờm. Mà 9702 : 99 = 98 (khụng dư).
Vậy 98 là số bộ, số viết thờm là 00.
Nếu số viết thờm là 99 thỡ số bộ là:
 (9702 – 99) : 99 = 97
Số lớn sẽ là 9799.
 Đỏp số: Cú hai cặp số là:
 24 và 240 ; 23 và 239
Cho hai số biết tỉ số giữa hai số đó cho bằng số lớn nhất cú một chữ số. Hiệu của hai số đó cho bằng 504. Tỡm hai số đó cho.
Hướng dẫn giải: 
Số lớn nhất cú một chữ số là 9. Võy tỉ số giữa hai số là 9, nghĩa là số lớn bằng 9 lần số bộ.
Ta cú sơ đồ: 
Số lớn 
Số bộ
 504 
504 bằng mấy lần số bộ?
9 – 1 = 8 (lần)
Số bộ là: 504 : 8 = 63
Số lớn là: 63 + 504 = 567
 Đỏp số: 567 ; 63
Bài tập tự luyện:
Cho hai số biết tỉ số giữa hai số đó cho bằng tỉ số giữa hai số lẻ cú 3 chữ số giống nhau trong đú số bộ là số bộ nhất chia hết cho 3, số lớn là số lớn nhất chia hết cho 9. Hiệu của hai số đú là số cú hai chữ số giống nhau chia hết cho 8. Tỡm hai số đó cho.
Tuổi chỏu cú bao nhiờu thỏng thỡ tuổi ụng cú bấy nhiờu năm. ễng hơn chỏu 66 tuổi. Tớnh tuổi ụng, tuổi chỏu.
Minh hỏi chị Hồng: “Chị Hồng ơi, năm nay chị bao nhiờu tuổi?”. Chị Hồng đỏp: “15 năm nữa thỡ tuổi của chị sẽ gấp 3 lần tuổi của chị 15 năm trước”. Tụi khụng tớnh được tuổi của chị Hồng. Nhờ cỏc bạn tớnh giỳp tụi.
Cho hai số 53 và 13. Hỏi cựng phải bớt ở mỗi số cựng một số là bao nhiờu để được hai số mới cú tỉ số là ?
 Bài tập ôn luyện:
Bỏc Ba nuụi gà và vịt tổng cộng 80 con. Bỏc Ba đó bỏn hết 10 con gà và 7 con vịt nờn cũn lại số gà bằng số vịt.Hỏi lỳc chưa bỏn bỏc Ba cú bao nhiờu con gà? Bao nhiờu con vịt?
 Đỏp số: 28 con gà
 52 con vịt.
Một nhà mỏy cú 136 cụng nhõn chia thành hai tổ, biết số cụng nhõn của tổ một bằng số cụng nhõn của tổ hai. Hỏi mỗi tổ cú bao nhiờu cụng nhõn?
 Đỏp số: Tổ một: 51 cụng nhõn
 Tổ hai: 85 cụng nhõn
Biết tuổi bà gấp đụi tuổi mẹ, tuổi chỏu bằng tuổi mẹ,biết tổng số tuổi của chỏu và bà là: 65 tuổi. Hỏi bà bao nhiờu tuổi? Mẹ bao nhiờu tuổi? Chỏu bao nhiờu tuổi?
 Đỏp số: Bà: 60 tuổi
 Mẹ: 30 tuổi
 Chỏu: 5 tuổi
Một nhà mỏy cú 3 tổ cụng nhõn, tổ một cú số người gấp đụi tổ hai, tổ một cú số người bằng tổ ba, tổng số người của ba tổ là 108 người. Hỏi mỗi tổ cụng nhõn cú bao nhiều người?
 Đỏp số: Tổ một: 24 người
 Tổ hai: 12 người
 Tổ ba: 72 người
 Đỏp số: An: 26 viờn kẹo
 Bỡnh: 2 viờn kẹo
Hai lớp 4A và 4B tham gia trồng cõy. Biết rằng nếu lớp 4A trồng thờm được 18 cõy thỡ số cõy lớp 4A trồng được sẽ bằng số cõy lớp 4B. Hỏi mỗi lớp trồng được bao nhiờu cõy? Biết rằng lớp 4 A trồng đượcsố cõy bằng số cõy lớp 4B.
 Đỏp số: Lớp 4A: 27 cõy
 Lớp 4B: 45 cõy
Hiện nay bố 32 tuổi, em 5 tuổi. Hỏi bao nhiờu năm nữa tuổi của bố gấp 4 lần tuổi con? Đỏp số: 4 năm
Hiện nay tổng số tuổi của hai bố con là 50 tuổi, tuổi bố gấp 4 lần tuổi con. Hỏi bao nhiờu năm nữa tuổi bố gấp 3 lần tuổi con? Đỏp số: 5 năm
Biết tuổi của Dũng cỏch nay 3 năm bằng tuổi của Dũng 3 năm tới. Hỏi hiện nay Dũng bao nhiờu tuổi? Đỏp số: 15 tuổi
 Hiện nay tổng số của hai mẹ con bằng 64 tuổi, tuổi con bằng tuổi mẹ. Hỏi trước đõy mấy năm tuổi mẹ gấp 9 lần tuổi con. Đỏp số: 12 năm.
ĐỀ BÀI KIỂM TRA:
 (Thời gian 40 phỳt)
Bài 1: (1,5điểm)
Tỡm hai số cú hiệu bằng 516,biết rằng nếu lấy số lớn chia cho số bộ thỡ được thương bằng 4.
Bài 2: ( 1,5( điểm)
Hồng và Lam cú tổng cộng 40 quyển vở. Biết 3 lần số vở của Hồng thỡ bằng 2 lần số vở của Lam. Hỏi mỗi bạn cú bao nhiờu quyển vở?
Bài 3: ( 2,5 điểm)
 An cú nhiều hơn Bỡnh 24 viờn kẹo, biết rằng nếu An cho Bỡnh 6 viờn kẹo thỡ số kẹo của Bỡnh bằng số kẹo của An. Hỏi mỗi bạn cú bao nhiờu viờn kẹo?
Bài 4 : (4 điểm)
Cho hai số cú hai chữ số mà nếu lấy số lớn chia cho số bộ thỡ được thương là 4. Nếu đem số lớn ghộp vào bờn phải hoặc bờn trỏi số bộ ta được hai số cú 4 chữ số và tổng của hai số cú 4 chữ số đú bằng 12120. Tỡm 2 số đó cho.
Một số điểm “mấu chốt” giỳp học sinh dễ làm bài tập khi gặp dạng toỏn trong chuyờn đề “Tỡm hai số khi biết tổng hoặc hiệu số và tỉ số của hai số đú” như sau: 
Bước 1: Xỏc định, tỡm đỳng tổng hoặc hiệu số và tỉ số của hai số đú.
Bước 2: Lập luận hoặc vẽ sơ đồ minh hoạ cho bài toỏn.
Bước 3: Tỡm tổng (hoặc hiệu) số phần bằng nhau của hai số.
 Nhỡn vào sơ đồ:
 Tổng số phần = Số phần lớn + số phần bộ. 
 Hiệu số phần = Số phần lớn - số phần bộ.
Bước 4: Tỡm giỏ trị số ứng với mỗi phần bằng nhau.
 Giỏ trị mỗi phần = Tổng hai số : tổng số phần bằng nhau.
 Giỏ trị mỗi phần = Hiệu hai số : hiệu số phần bằng nhau.
Bước 5: Tỡm giỏ trị của mỗi số.
 Số lớn = Giỏ trị mỗi phần số chỉ phần lớn.
 Số bộ = Giỏ trị mỗi phần số chỉ phần bộ.
(Giỏo viờn cần để cho học sinh phỏt hiện, tỡm ra nhiều cỏch giải khỏc nhau).